-
Nézzünk meg pár olyan egyenletet, amelyek abszolút értékekkel foglalkoznak!
-
És egy kis áttekintés gyanánt beszéljük meg,
-
mikor is beszélünk a számok abszolút értékéről!
-
Mondjuk, hogy a mínusz 1 abszolút értékét akarjuk venni!
-
Valójában ilyenkor azt nézzük, hogy
-
milyen messzire is helyezkedik el az értékünk a nullától.
-
És a mínusz 1 esetében, ha egy kis számegyenest rajzolunk ide,
-
... hát ez egy jó csúnya számegyenes...
-
nos, ha ide egy számegyenest rajzolunk... itt a nulla,
-
itt pedig a mínusz 1.
-
Akkor ez 1 egységre van a nullától.
-
Szóval a mínusz 1 abszolút értéke 1.
-
És ugye a plusz 1 abszolút értéke is 1, az is 1 egységnyire van a nullától.
-
Azaz ez is 1 lesz.
-
Szóval akkor az abszolút érték nem más, mint a nullától számított távolság.
-
De ha máshogy közelítjük meg, akkor
-
gyakorlatilag nem más, mint az adott számunk pozitív verziója.
-
A mínusz 7.346 abszolút értéke az 7.346.
-
Szóval ezt észben tartva nézzük meg,
-
meg tudunk-e oldani olyan egyenleteket, melyekben a abszolút értékek lelhetőek fel!
-
Mondjuk ez az egyenletünk:
-
Az X mínusz 5 abszolút értéke egyenlő 10-zel.
-
Egyféle értelmezés szerint...
-
és most én úgy szeretném, hogy így értelmezzük, ez gyakorlatilag
-
nem más, mint hogy az X és az 5 közötti távolság az 10-zel egyenlő.
-
Szóval hány szám létezik, ami 10 egységnyire van az 5-től?
-
Most már egyből elgondolkodhatunk a megoldáson, de
-
azért meg szeretném mutatni, hogy hogy is kell szisztematikusan eljárnunk!
-
Most ez az egyenlet két esetben lehet helytálló.
-
Vagy úgy, hogy az x mínusz 5 az plusz 10, ha
-
ez plusz 10-zel egyenlő, akkor
-
ha ennek abszolút értékét vesszük,
-
akkor plusz 10-et kapunk.
-
Vagy akár az X mínusz 5 mínuszban is jelölheti a 10-et.
-
Ha az X mínusz 5 mínusz 10-zel egyenlő, akkor ennek abszolút értéke
-
szintén plusz 10-et ad!
-
Szóval az X mínusz 5 mínusz 10-zel is egyenlő lehet.
-
Mindkét verzió ugyanis eleget tesz az egyenletben lefektetetteknek.
-
Most, hogy az egyenletet
-
megoldhassuk, adjunk hozzá mindkét oldalhoz 5-öt!
-
Azt kapjuk így, hogy X 15-tel egyenlő.
-
Ahhoz, hogy megkapjuk a megoldást mindkét oldalhoz 5-öt kell adni.
-
X az egyenlő mínusz 5-tel.
-
Így a megoldásunk,
-
iagzából két megoldása is van az egyenletünknek...
-
az X lehet 15.
-
A 15 mínusz 5 az 10, vegyük az abszolút értékét!
-
Ekkor 10-et kapunk. Vagy akár az X mínusz 5 is lehet.
-
Mínusz 5-ből 5 az mínusz 10
-
Ha ennek abszolút értékét vesszük, szintúgy 10-et kapunk.
-
És észre kell ugye vennünk, hogy az itteni
-
számok kereken 10 egységnyire vannak az 5-től.
-
Na akkor nézzünk még egy hasonlót!
-
Nézzünk egy másik példát!
-
Mondjuk ez van nekünk:
-
az X plusz 2 abszolút értéke egyenlő 6-tal.
-
Ez mit mond nekünk?
-
Ez annyit jelent, hogy vagy az X plusz 2-ben
-
belül szereplő ... az abszolút érték jelen belül lévő érték egyenlő 6-tal
-
vagy az abszolút érték jelén belül szereplő összeg
-
azaz az X plusz 2 mínusz 6-tal egyenlő.
-
Ha tehát ennek a műveletnek az eredménye mínusz 6,
-
ennek az abszolút értékét vesszük és úgy 6-ot kapunk.
-
Így az is lehet, hogy az X meg 2 az mínusz 6-tal egyenlő.
-
És ekkor, ha az egyenlet mindkét oldalából kivonjuk a kettőt, akkor
-
azt kapjuk, az X egyenlő lehet 4-gyel.
-
Ha az egyenlet mindkét oldalából kivonunk 2-t, akkor
-
azt kapjuk, hogy X egyenlő mínusz 8.
-
Szóval akkor ez a két megoldása van ennek az egyenletnek.
-
És hogy csak jól észben tartsuk, mi is az
-
abszolút érték, úgy is tekinthetünk rá, mint egy távolságra,
-
és így átírhatjuk a műveletünket úgy, mint
-
az X mínusz 6 abszolút értéke egyenlő 6.
-
És akkor ez a kérdés vetődik fel:
-
Mik azok az X-ek, amelyek pontosan 6 egységnyire vannak a mínusz 2-től?
-
Ne feledjük, itt fent azt kérdeztük, hogy
-
mik azok az X-ek, amelyek 10 egységnyire vannak a plusz 5-től!
-
Bármely olyan szám, melyet ha plusz 5-ből kivonunk, akkor
-
10 egységnyire vannak a plusz 5-től.
-
Most itt ez a kérdés:
-
mi az, ami 6 egységnyire van a mínusz 2-től?
-
És a válasz: 4 és mínusz 8 lesz.
-
Ezeket a számokat le is ellenőrizhetjük persze!
-
Na nézzünk meg még egy ilyen hasonlót!
-
Nézzünk meg még egyet! Ezt most lila színnel írjuk.
-
Mondjuk azt, hogy a 4x abszolút értéke szerepel itt.
-
És most egy kicsit változtassunk a műveleten.
-
4x mínusz 1.
-
Tehát a 4x mínusz 1 abszolút értéke...
-
egyenlő mondjuk...egyenlő 19-cel.
-
És éppúgy, mint az elmúlt pár példában
-
4x mínusz 1 legyen 19-cel egyenlő;
-
vagy azt is mondhatjuk, hogy ennek értéke mínusz 19.
-
Mivel, hogy ha ennek az abszolút értékét vesszük, akkor
-
ugyanúgy 19-et kapunk.
-
Azaz 4x mínusz 1 akár mínusz 19-cel is egyenlő lehet.
-
Akkor oldjuk meg ezt a két egyenletet!
-
Adjunk hozzá az egyenlet mindkét oldalához 1-et!
-
Akár szimultánban is elvégezhetjük...
-
Adjunk 1-et ezen művelet mindkét oldalához, és akkor azt kapjuk 4x 20-szal egyenlő.
-
Itt is adjunk hozzá 1-et mindkét oldalhoz, és
-
akkor azt kapjuk, 4x egyenlő mínusz 18-cal.
-
Osszuk el mindkét oldalt 4-gyel, és azt kapjuk, hogy x egyenlő 5-tel.
-
Osszuk el mindkét oldalt 4-gyel, és azt kapjuk, hogy x egyenlő mínusz 18 per 4.
-
Ez egyenlő mínusz 9 ketteddel.
-
Szóval mindkét oldal így kapott x érték eleget tesz az egyenletben felírottaknak.
-
Ellenőrizzük is le!
-
Mínusz 9 ketted szorozva 4-gyel.
-
Ez annyi lesz, mint mínusz 18.
-
Mínusz 18-ból 1 az mínusz 19.
-
Ha ennek abszolút értékét vesszük, 19-et kapunk.
-
Helyettesítsük be az 5-öt! 4-szer 5 az 20.
-
Ebből kivonva 1 az 19-et ad!
-
Ennek abszolút értékét véve
-
újfent azt kapjuk, hogy 19.
-
Próbáljunk meg egyet grafikonosan ábrázolni a móka kedvéért!
-
Mondjuk azt...
-
Az y-unk egyenlő az x plusz 3 abszolút értékével.
-
Ez tehát egy függvény, vagy egy grafikon, melyben
-
szerepel egy abszolút érték.
-
Akkor most gondolkozzunk el a két lehetséges eshetőségen!
-
Itt az első forgatókönyv az az,
-
ahol az abszolút érték jelen belül az érték pozitív.
-
Szóval ezen eshetőségben x egyenlő 3-mal...
-
Le is írom ide, hogy x plusz 3 nagyobb a 0-nál.
-
És aztán ott van még az a lehetőség is, melyben x plusz 3 kisebb a 0-nál.
-
Ha az x plusz 3 nagyobb a 0-nál, akkor
-
ez a grafikon, vagy ez a vonal...úgy vélem, ezt nevezhetjük vonalnak is...ez a
-
függvény egyenlő azzal, hogy y egyenlő x plusz 3-mal.
-
Ha ez a rész itt 0-nál nagyobb, akkor
-
ez az abszolút érték jel irreveláns.
-
Szóval akkor ez a művelet egyenlő lesz
-
azzal, hogy y egyenlő x plusz 3-mal.
-
De mikor is nagyobb az x plusz 3 a 0-nál?
-
Nos, ha mindkét oldalból 3-at vonunk ki, akkor
-
ez kapjuk: x nagyobb mínusz 3-nál.
-
Így amikor x nagyobb mínusz 3-nál,
-
ez a grafikon úgy néz ki, hogy y egyenlő x plusz 3-mal.
-
Most jöjjön, amikor x plusz 3 kisebb a 0-nál!
-
Amikor az a helyzet áll fenn...
-
hogy az abszolút érték jelén belül negatív az összeg.
-
Ebben a helyzetben az egyenletünk ezzel lesz egyenlő:
-
y egyenlő az x mínusz 3 negatív értékével.
-
Hogy is van ez?
-
Nos, láthatjuk, hogy ha ez egy negatív szám, ha tehát
-
az x plusz 3 egy negatív szám lesz...
-
most ezt tételezzük fel...ha tehát ez egy negatív szám lesz,
-
akkor amikor a negatív szám abszolút értékét vesszük,
-
ebből pozitív érték válik.
-
Ez olyan, mint hogyha mínusz 1-gyel megszoroztuk volna.
-
Ezt úgy is vehetjük, hogy amikor egy negatív szám abszolút értékét vesszük,
-
akkor gyakorlatilag ezt a számot mínusz 1-gyel megszorozzuk, mivel
-
így válik az pozitív előjelűvé.
-
És itt most ez a helyzet.
-
x plusz 3 az kisebb, mint 0.
-
Ha mindkét oldalból kivonunk 3-at, akkor x kisebb lesz, mint
-
mínusz 3.
-
Szóval, amikor az x kisebb, mint mínusz 3, akkor az ábránk
-
így fog kinézni.
-
Amikor pedig az x nagyobb, mint mínusz 3, akkor az ábra
-
így fog festeni.
-
Akkor most lássuk, hogy a teljes ábra
-
hogyan fog kinézni!
-
Hadd rajzoljam le a tengelyeket!
-
Ez itt az x tengelyem, ez itt pedig az y tengelyem.
-
Akkor ezt most szorozzuk is össze! Így már csak X
-
plusz b felírásunk lesz!
-
Ez így egyenlő mínusz x mínusz 3-mal.
-
Akkor most ötöljük ki, hogy ez az ábra
-
hogyan is festene általánosságban!
-
Mínusz x mínusz 3.
-
Az y metszet mínusz 3, szóval 1, 2 és 3.
-
És a negatívban lévő x azt jelenti, hogy lefelé tart a vonal, a
-
lejtés mértéke 1.
-
Szóval így nézne ki!
-
Az x metszet ott lenne ... x egyenlő ...
-
Szóval, ha atz mondjuk, y 0-val egyenlő, az akkor következne be, ha
-
x mínusz 3-mal egyenlő.
-
Szóval ez itt ezen a vonalon halad át,
-
ez a pont lesz itt!
-
És ez az ábra, ha nem lenne meg ez a kitételünk itt,
-
akkor valahogy így nézne ki!
-
Ez akkor lenne, ha nem lenne bizonyos intervallumokra megkötés
-
az x tengelyen.
-
Na most akkor ez az ábra hogyan is néz ki?
-
Lássuk is!
-
Az y metszete plusz 3-nál helyezkedik el!
-
Éppen így!
-
És hol van az x metszet akkor?
-
Amikor az y nulla, akkor az x mínusz 3.
-
Szóval akkor ezen a ponton halad át és a
-
lejtése egy egység.
-
Akkor tehát valahogy így nézne ki!
-
Na akkor ez az, ahogy az ábránk kinéz!
-
Most, amit mi kiszámoltunk az nem más, mint ez az abszolút érték
-
függvény. Ez az a lila színű ábra itt, amikor az x kisebb, mint
-
a mínusz 3.
-
Szóval, amikor az x kisebb mínusz 3-nál, akkor ... az x itt egyenlő
-
mínusz 3-mal ... amikor tehát x kisebb, mint mínusz 3,
-
akkor ez ennek a lila ábrának felel meg.
-
Ez itt az!
-
Szóval ez az, ahol az x kisebb a mínusz 3-nál.
-
De amikor az x nagyobb, mint a mínusz 3, akkor ez a zöld
-
színnel jelölt ábrán látható.
-
Így néz ekkor ki ...
-
Szóval ez az ábra egy furcsa v betű alakúnak néz ki.
-
Amikor az x nagyobb a mínusz 3-nál, akkor ez pozitív lesz.
-
Szóval akkor az ábránk .... az ábránknak pozitív görbülése lesz.
-
De akkor, amikor az x kisebb a mínusz 3-nál, akkor alapjában
-
véve a negatív függvényt kell, hogy vegyük. Ha úgy akarjuk, akkor erre
-
tekinthetünk úgy, hogy ez egy negatív görbület.
-
Szóval ily módon egy ilyen v alakú függvényt kapunk, és ez az
-
a v alakú függvény, amely arra enged következtetni, hogy
-
abszolút értékkel van dolgunk.
