Nézzünk meg pár olyan egyenletet, amelyek abszolút értékekkel foglalkoznak!
És egy kis áttekintés gyanánt beszéljük meg,
mikor is beszélünk a számok abszolút értékéről!
Mondjuk, hogy a mínusz 1 abszolút értékét akarjuk venni!
Valójában ilyenkor azt nézzük, hogy
milyen messzire is helyezkedik el az értékünk a nullától.
És a mínusz 1 esetében, ha egy kis számegyenest rajzolunk ide,
... hát ez egy jó csúnya számegyenes...
nos, ha ide egy számegyenest rajzolunk... itt a nulla,
itt pedig a mínusz 1.
Akkor ez 1 egységre van a nullától.
Szóval a mínusz 1 abszolút értéke 1.
És ugye a plusz 1 abszolút értéke is 1, az is 1 egységnyire van a nullától.
Azaz ez is 1 lesz.
Szóval akkor az abszolút érték nem más, mint a nullától számított távolság.
De ha máshogy közelítjük meg, akkor
gyakorlatilag nem más, mint az adott számunk pozitív verziója.
A mínusz 7.346 abszolút értéke az 7.346.
Szóval ezt észben tartva nézzük meg,
meg tudunk-e oldani olyan egyenleteket, melyekben a abszolút értékek lelhetőek fel!
Mondjuk ez az egyenletünk:
Az X mínusz 5 abszolút értéke egyenlő 10-zel.
Egyféle értelmezés szerint...
és most én úgy szeretném, hogy így értelmezzük, ez gyakorlatilag
nem más, mint hogy az X és az 5 közötti távolság az 10-zel egyenlő.
Szóval hány szám létezik, ami 10 egységnyire van az 5-től?
Most már egyből elgondolkodhatunk a megoldáson, de
azért meg szeretném mutatni, hogy hogy is kell szisztematikusan eljárnunk!
Most ez az egyenlet két esetben lehet helytálló.
Vagy úgy, hogy az x mínusz 5 az plusz 10, ha
ez plusz 10-zel egyenlő, akkor
ha ennek abszolút értékét vesszük,
akkor plusz 10-et kapunk.
Vagy akár az X mínusz 5 mínuszban is jelölheti a 10-et.
Ha az X mínusz 5 mínusz 10-zel egyenlő, akkor ennek abszolút értéke
szintén plusz 10-et ad!
Szóval az X mínusz 5 mínusz 10-zel is egyenlő lehet.
Mindkét verzió ugyanis eleget tesz az egyenletben lefektetetteknek.
Most, hogy az egyenletet
megoldhassuk, adjunk hozzá mindkét oldalhoz 5-öt!
Azt kapjuk így, hogy X 15-tel egyenlő.
Ahhoz, hogy megkapjuk a megoldást mindkét oldalhoz 5-öt kell adni.
X az egyenlő mínusz 5-tel.
Így a megoldásunk,
iagzából két megoldása is van az egyenletünknek...
az X lehet 15.
A 15 mínusz 5 az 10, vegyük az abszolút értékét!
Ekkor 10-et kapunk. Vagy akár az X mínusz 5 is lehet.
Mínusz 5-ből 5 az mínusz 10
Ha ennek abszolút értékét vesszük, szintúgy 10-et kapunk.
És észre kell ugye vennünk, hogy az itteni
számok kereken 10 egységnyire vannak az 5-től.
Na akkor nézzünk még egy hasonlót!
Nézzünk egy másik példát!
Mondjuk ez van nekünk:
az X plusz 2 abszolút értéke egyenlő 6-tal.
Ez mit mond nekünk?
Ez annyit jelent, hogy vagy az X plusz 2-ben
belül szereplő ... az abszolút érték jelen belül lévő érték egyenlő 6-tal
vagy az abszolút érték jelén belül szereplő összeg
azaz az X plusz 2 mínusz 6-tal egyenlő.
Ha tehát ennek a műveletnek az eredménye mínusz 6,
ennek az abszolút értékét vesszük és úgy 6-ot kapunk.
Így az is lehet, hogy az X meg 2 az mínusz 6-tal egyenlő.
És ekkor, ha az egyenlet mindkét oldalából kivonjuk a kettőt, akkor
azt kapjuk, az X egyenlő lehet 4-gyel.
Ha az egyenlet mindkét oldalából kivonunk 2-t, akkor
azt kapjuk, hogy X egyenlő mínusz 8.
Szóval akkor ez a két megoldása van ennek az egyenletnek.
És hogy csak jól észben tartsuk, mi is az
abszolút érték, úgy is tekinthetünk rá, mint egy távolságra,
és így átírhatjuk a műveletünket úgy, mint
az X mínusz 6 abszolút értéke egyenlő 6.
És akkor ez a kérdés vetődik fel:
Mik azok az X-ek, amelyek pontosan 6 egységnyire vannak a mínusz 2-től?
Ne feledjük, itt fent azt kérdeztük, hogy
mik azok az X-ek, amelyek 10 egységnyire vannak a plusz 5-től!
Bármely olyan szám, melyet ha plusz 5-ből kivonunk, akkor
10 egységnyire vannak a plusz 5-től.
Most itt ez a kérdés:
mi az, ami 6 egységnyire van a mínusz 2-től?
És a válasz: 4 és mínusz 8 lesz.
Ezeket a számokat le is ellenőrizhetjük persze!
Na nézzünk meg még egy ilyen hasonlót!
Nézzünk meg még egyet! Ezt most lila színnel írjuk.
Mondjuk azt, hogy a 4x abszolút értéke szerepel itt.
És most egy kicsit változtassunk a műveleten.
4x mínusz 1.
Tehát a 4x mínusz 1 abszolút értéke...
egyenlő mondjuk...egyenlő 19-cel.
És éppúgy, mint az elmúlt pár példában
4x mínusz 1 legyen 19-cel egyenlő;
vagy azt is mondhatjuk, hogy ennek értéke mínusz 19.
Mivel, hogy ha ennek az abszolút értékét vesszük, akkor
ugyanúgy 19-et kapunk.
Azaz 4x mínusz 1 akár mínusz 19-cel is egyenlő lehet.
Akkor oldjuk meg ezt a két egyenletet!
Adjunk hozzá az egyenlet mindkét oldalához 1-et!
Akár szimultánban is elvégezhetjük...
Adjunk 1-et ezen művelet mindkét oldalához, és akkor azt kapjuk 4x 20-szal egyenlő.
Itt is adjunk hozzá 1-et mindkét oldalhoz, és
akkor azt kapjuk, 4x egyenlő mínusz 18-cal.
Osszuk el mindkét oldalt 4-gyel, és azt kapjuk, hogy x egyenlő 5-tel.
Osszuk el mindkét oldalt 4-gyel, és azt kapjuk, hogy x egyenlő mínusz 18 per 4.
Ez egyenlő mínusz 9 ketteddel.
Szóval mindkét oldal így kapott x érték eleget tesz az egyenletben felírottaknak.
Ellenőrizzük is le!
Mínusz 9 ketted szorozva 4-gyel.
Ez annyi lesz, mint mínusz 18.
Mínusz 18-ból 1 az mínusz 19.
Ha ennek abszolút értékét vesszük, 19-et kapunk.
Helyettesítsük be az 5-öt! 4-szer 5 az 20.
Ebből kivonva 1 az 19-et ad!
Ennek abszolút értékét véve
újfent azt kapjuk, hogy 19.
Próbáljunk meg egyet grafikonosan ábrázolni a móka kedvéért!
Mondjuk azt...
Az y-unk egyenlő az x plusz 3 abszolút értékével.
Ez tehát egy függvény, vagy egy grafikon, melyben
szerepel egy abszolút érték.
Akkor most gondolkozzunk el a két lehetséges eshetőségen!
Itt az első forgatókönyv az az,
ahol az abszolút érték jelen belül az érték pozitív.
Szóval ezen eshetőségben x egyenlő 3-mal...
Le is írom ide, hogy x plusz 3 nagyobb a 0-nál.
És aztán ott van még az a lehetőség is, melyben x plusz 3 kisebb a 0-nál.
Ha az x plusz 3 nagyobb a 0-nál, akkor
ez a grafikon, vagy ez a vonal...úgy vélem, ezt nevezhetjük vonalnak is...ez a
függvény egyenlő azzal, hogy y egyenlő x plusz 3-mal.
Ha ez a rész itt 0-nál nagyobb, akkor
ez az abszolút érték jel irreveláns.
Szóval akkor ez a művelet egyenlő lesz
azzal, hogy y egyenlő x plusz 3-mal.
De mikor is nagyobb az x plusz 3 a 0-nál?
Nos, ha mindkét oldalból 3-at vonunk ki, akkor
ez kapjuk: x nagyobb mínusz 3-nál.
Így amikor x nagyobb mínusz 3-nál,
ez a grafikon úgy néz ki, hogy y egyenlő x plusz 3-mal.
Most jöjjön, amikor x plusz 3 kisebb a 0-nál!
Amikor az a helyzet áll fenn...
hogy az abszolút érték jelén belül negatív az összeg.
Ebben a helyzetben az egyenletünk ezzel lesz egyenlő:
y egyenlő az x mínusz 3 negatív értékével.
Hogy is van ez?
Nos, láthatjuk, hogy ha ez egy negatív szám, ha tehát
az x plusz 3 egy negatív szám lesz...
most ezt tételezzük fel...ha tehát ez egy negatív szám lesz,
akkor amikor a negatív szám abszolút értékét vesszük,
ebből pozitív érték válik.
Ez olyan, mint hogyha mínusz 1-gyel megszoroztuk volna.
Ezt úgy is vehetjük, hogy amikor egy negatív szám abszolút értékét vesszük,
akkor gyakorlatilag ezt a számot mínusz 1-gyel megszorozzuk, mivel
így válik az pozitív előjelűvé.
És itt most ez a helyzet.
x plusz 3 az kisebb, mint 0.
Ha mindkét oldalból kivonunk 3-at, akkor x kisebb lesz, mint
mínusz 3.
Szóval, amikor az x kisebb, mint mínusz 3, akkor az ábránk
így fog kinézni.
Amikor pedig az x nagyobb, mint mínusz 3, akkor az ábra
így fog festeni.
Akkor most lássuk, hogy a teljes ábra
hogyan fog kinézni!
Hadd rajzoljam le a tengelyeket!
Ez itt az x tengelyem, ez itt pedig az y tengelyem.
Akkor ezt most szorozzuk is össze! Így már csak X
plusz b felírásunk lesz!
Ez így egyenlő mínusz x mínusz 3-mal.
Akkor most ötöljük ki, hogy ez az ábra
hogyan is festene általánosságban!
Mínusz x mínusz 3.
Az y metszet mínusz 3, szóval 1, 2 és 3.
És a negatívban lévő x azt jelenti, hogy lefelé tart a vonal, a
lejtés mértéke 1.
Szóval így nézne ki!
Az x metszet ott lenne ... x egyenlő ...
Szóval, ha atz mondjuk, y 0-val egyenlő, az akkor következne be, ha
x mínusz 3-mal egyenlő.
Szóval ez itt ezen a vonalon halad át,
ez a pont lesz itt!
És ez az ábra, ha nem lenne meg ez a kitételünk itt,
akkor valahogy így nézne ki!
Ez akkor lenne, ha nem lenne bizonyos intervallumokra megkötés
az x tengelyen.
Na most akkor ez az ábra hogyan is néz ki?
Lássuk is!
Az y metszete plusz 3-nál helyezkedik el!
Éppen így!
És hol van az x metszet akkor?
Amikor az y nulla, akkor az x mínusz 3.
Szóval akkor ezen a ponton halad át és a
lejtése egy egység.
Akkor tehát valahogy így nézne ki!
Na akkor ez az, ahogy az ábránk kinéz!
Most, amit mi kiszámoltunk az nem más, mint ez az abszolút érték
függvény. Ez az a lila színű ábra itt, amikor az x kisebb, mint
a mínusz 3.
Szóval, amikor az x kisebb mínusz 3-nál, akkor ... az x itt egyenlő
mínusz 3-mal ... amikor tehát x kisebb, mint mínusz 3,
akkor ez ennek a lila ábrának felel meg.
Ez itt az!
Szóval ez az, ahol az x kisebb a mínusz 3-nál.
De amikor az x nagyobb, mint a mínusz 3, akkor ez a zöld
színnel jelölt ábrán látható.
Így néz ekkor ki ...
Szóval ez az ábra egy furcsa v betű alakúnak néz ki.
Amikor az x nagyobb a mínusz 3-nál, akkor ez pozitív lesz.
Szóval akkor az ábránk .... az ábránknak pozitív görbülése lesz.
De akkor, amikor az x kisebb a mínusz 3-nál, akkor alapjában
véve a negatív függvényt kell, hogy vegyük. Ha úgy akarjuk, akkor erre
tekinthetünk úgy, hogy ez egy negatív görbület.
Szóval ily módon egy ilyen v alakú függvényt kapunk, és ez az
a v alakú függvény, amely arra enged következtetni, hogy
abszolút értékkel van dolgunk.