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Equations avec valeurs absolues

  • 0:01 - 0:04
    Nous allons travailler sur des équations avec des valeurs absolues.
  • 0:04 - 0:05
    Commençons par réviser un peu,
  • 0:05 - 0:08
    pour prendre la valeur absolue d'un nombre,
  • 0:08 - 0:11
    disons que je prenne la valeur absolue de -1.
  • 0:11 - 0:12
    Ce que vous allez vraîment faire c'est
  • 0:12 - 0:16
    vous demander, à quelle distance du 0 se trouve ce nombre ?
  • 0:16 - 0:21
    Et dans le cas de -1, si nous dessinons la ligne des nombres ici
  • 0:21 - 0:23
    -- c'est une ligne des nombre très mal dessinée.
  • 0:23 - 0:26
    Si nous dessinons la ligne des nombres ici, le 0 est là.
  • 0:26 - 0:28
    Vous avez -1 juste ici.
  • 0:28 - 0:30
    Et, c'est à une distance de 1 unité du 0.
  • 0:30 - 0:33
    Donc la valeur absolue de -1 c'est 1.
  • 0:33 - 0:39
    Et la valeur absolue de 1 est également à une distance de 1 unité du 0.
  • 0:39 - 0:41
    Ce qui est égal à 1.
  • 0:41 - 0:44
    Donc d'une certaine façon, la valeur absolue c'est la distance par rapport au 0.
  • 0:44 - 0:46
    Un autre manière, j'imagine plus simple, de voir la chose,
  • 0:46 - 0:49
    c'est que c'est la version positive d'un nombre.
  • 0:49 - 0:59
    La valeur absolue de -7346 est égale à 7346.
  • 0:59 - 1:01
    En ayant ça à l'esprit, essayons de résoudre
  • 1:01 - 1:05
    quelques équations contenant des valeurs absolues.
  • 1:05 - 1:07
    Prenons l'équation suivante
  • 1:07 - 1:14
    la valeur absolue de x-5 est égale à 10.
  • 1:14 - 1:16
    Une manière de l'interpréter
  • 1:16 - 1:18
    et j'aimerais que vous y réflechissiez, c'est que cela revient à dire
  • 1:18 - 1:23
    que la distance entre x et 5 est égale à 10.
  • 1:23 - 1:27
    Donc combien de nombres sont exactement à 10 unités de 5 ?
  • 1:27 - 1:29
    Et vous pouvez déjà penser à la résolution de cette équation,
  • 1:29 - 1:32
    mais je vais vous montrer comment la résoudre de manière systématique.
  • 1:32 - 1:37
    Bien ceci doit être vrai dans deux cas.
  • 1:37 - 1:42
    Soit x-5 est égal à +10.
  • 1:42 - 1:45
    Si ceci est évalué à +10,
  • 1:45 - 1:47
    alors quand vous prenez sa valeur absolue,
  • 1:47 - 1:48
    vous devez obtenir +10.
  • 1:48 - 1:53
    Ou alors x-5 peut valoir -10.
  • 1:53 - 1:59
    Si x-5 vaut -10, quand vous prenez sa valeur absolue,
  • 1:59 - 2:00
    vous devez obtenir 10 également.
  • 2:00 - 2:04
    Donc x-5 pourrait également être égal à -10.
  • 2:04 - 2:08
    Ces 2 cas répondrons à l'équation.
  • 2:08 - 2:09
    Maintenant, pour résoudre celui-ci,
  • 2:09 - 2:12
    ajoutons 5 aux deux cotés de l'équation.
  • 2:12 - 2:14
    Cela donne x est égal à 15.
  • 2:14 - 2:18
    Pour résoudre celle-là, ajoutons 5 aux deux cotés de l'équation.
  • 2:18 - 2:21
    x est égal à -5.
  • 2:21 - 2:22
    Donc notre solution,
  • 2:22 - 2:25
    il y a 2 valeurs de x qui satisfont cette équation.
  • 2:25 - 2:27
    x pourrait être égal à 15.
  • 2:27 - 2:30
    15 - 5 égal 10, en prenant la valeur absolue,
  • 2:30 - 2:33
    vous obtenez 10, ou x pourrait être égal à -5.
  • 2:33 - 2:36
    -5 moins 5 égale -10.
  • 2:36 - 2:39
    En prenant la valeur absolue, vous obtenez 10.
  • 2:39 - 2:42
    Et notez, que ces 2 nombres
  • 2:42 - 2:46
    sont exactement à 10 unités du nombre 5.
  • 2:46 - 2:48
    Prenons un autre exemple de ce genre.
  • 2:48 - 2:51
    Prenons un autre exemple.
  • 2:51 - 2:52
    Disons que nous avons
  • 2:52 - 2:59
    la valeur absolue de x + 2 est égale à 6.
  • 2:59 - 3:00
    Donc qu'est-ce que ça nous dit ?
  • 3:00 - 3:03
    Cela dit que soit x+2,
  • 3:03 - 3:07
    c'est la chose qui est à l'intérieur du signe valeur absolue, est égale à 6.
  • 3:07 - 3:10
    Ou que la chose à l'intérieur du signe valeur absolue,
  • 3:10 - 3:12
    x + 2, pourrait être égal à -6.
  • 3:12 - 3:14
    Si tout ça vaut -6,
  • 3:14 - 3:16
    et que vous prenez la valeur absolue, vous obtenez 6.
  • 3:16 - 3:20
    Et donc, x + 2 pourrait être égal à -6.
  • 3:20 - 3:23
    Quand vous faite la soustraction de 2 des deux cotés de cette équation,
  • 3:23 - 3:26
    vous obtenez que x pourrait être égal à 4.
  • 3:26 - 3:30
    Si vous retranchez 2 des deux cotés de cette équation,
  • 3:30 - 3:34
    vous obtenez que x pourrait être égal à -8.
  • 3:34 - 3:37
    Donc ce sont les deux solutions de cette équation.
  • 3:37 - 3:40
    Et une bonne manière de le graver dans votre esprit,
  • 3:40 - 3:42
    cette valeur absolue, vous pouvez l'imaginez comme une distance,
  • 3:42 - 3:44
    vous pourriez reformuler ce problème
  • 3:44 - 3:50
    comme la valeur absolue de x moins -2 est égale à 6.
  • 3:50 - 3:53
    Et donc la question qui m'est posée est,
  • 3:53 - 3:58
    quels sont tous les x qui sont exactement à une distance de 6 unités de -2.
  • 3:58 - 3:59
    Rappelez-vous, jusqu'ici on disait,
  • 3:59 - 4:04
    quels sont les x qui sont exactement à 10 unités de +5 ?
  • 4:04 - 4:06
    Quelquesoit le nombre que vous soustrayez à partir de +5,
  • 4:06 - 4:09
    ils sont tous deux à 10 unités de +5.
  • 4:09 - 4:10
    Cela revient à demander
  • 4:10 - 4:13
    qu'est-ce qu'il y a à exactement 6 unités de -2?
  • 4:13 - 4:16
    Et en fait le nombre 4, ou -8.
  • 4:16 - 4:18
    Vous pouvez vérifier par vous-même que ça marche avec ces nombres.
  • 4:18 - 4:20
    Prenons un autre exemple du même genre.
  • 4:20 - 4:25
    Prenons un autre exemple, et on le fera en violet.
  • 4:25 - 4:30
    Disons que nous avons la valeur absolue de 4x.
  • 4:30 - 4:31
    Je vais compliquer un peu le problème.
  • 4:31 - 4:33
    4x - 1.
  • 4:33 - 4:37
    La valeur absolue de 4x - 1, est égale à --
  • 4:37 - 4:40
    -- est égale à 19.
  • 4:40 - 4:42
    Donc, comme pour les problèmes précédents,
  • 4:42 - 4:48
    4x -1 pourrait être égal à 19.
  • 4:48 - 4:52
    Ou 4x-1 pourrait valoir -19.
  • 4:52 - 4:53
    Parce qu'alors quand vous prenez la valeur absolue,
  • 4:53 - 4:55
    vous obtenez 19 à nouveau.
  • 4:55 - 4:59
    Ou 4x - 1 pourrait être égal à -19.
  • 4:59 - 5:01
    Donc, vous avez juste à résoudre ces 2 équations.
  • 5:01 - 5:03
    Ajoutons 1 des deux cotés de cette équation --
  • 5:03 - 5:04
    on pourrait le faire simultanément, même.
  • 5:04 - 5:09
    Ajoutons 1 aux deux cotés de ceci, vous obtenez 4x est égal à 20.
  • 5:09 - 5:11
    Ajoutons 1 des deux cotés de cette équation,
  • 5:11 - 5:15
    vous obtenez 4x est égal à -18.
  • 5:15 - 5:20
    Divison les deux coté de ceci par 4, vous avez x est égal à 5.
  • 5:20 - 5:24
    Divisons les deux cotés de cela par 4, vous avez x est égal à -18/4.
  • 5:24 - 5:32
    qui est égal à -9/2.
  • 5:32 - 5:36
    Donc ces deux valurs de x satisfont à l'équation.
  • 5:36 - 5:37
    Essayez.
  • 5:37 - 5:40
    -9/2 x 4.
  • 5:40 - 5:42
    Cela va donner -18.
  • 5:42 - 5:44
    -18 moins 1 égale -19.
  • 5:44 - 5:47
    En prenant la valeur absolue, vous avez 19.
  • 5:47 - 5:50
    Vous mettez un 5 ici, 4 x 5 égale 20.
  • 5:50 - 5:52
    Moins 1 cela fait -19.
  • 5:52 - 5:53
    Donc en prenant la valeur absolue.
  • 5:53 - 5:56
    Une fois de plus, vous avez 19.
  • 5:56 - 5:59
    Essayons de représenter cela sous la forme d'un graphique, pour le plaisir.
  • 5:59 - 5:59
    Donc nous disons que
  • 5:59 - 6:05
    j'ai y est égal à la valeur absolue de x + 3.
  • 6:05 - 6:08
    Il s'agit d'une fonction, ou d'un graphique,
  • 6:08 - 6:09
    avec une valeur absolue dedans.
  • 6:09 - 6:12
    Réflechissons à deux scénarios.
  • 6:12 - 6:13
    Premier scénario
  • 6:13 - 6:16
    ou la chose à l'intérieur de la valeur absolue est positive.
  • 6:16 - 6:19
    Donc vous avez le scénario où x+3
  • 6:19 - 6:23
    je vais l'écrire ici : x+3 est plus grand que 0.
  • 6:23 - 6:29
    Et ensuite vous avez le scénario où x+3 est inférieur à 0.
  • 6:29 - 6:33
    Quand x+6 est plus grand que 0,
  • 6:33 - 6:36
    ce graphique, ou cette ligne -- je ne suis pas sûr qu'on puisse l'appeler ligne --
  • 6:36 - 6:42
    cette fonction, est la même chose que y est égal à x+3.
  • 6:42 - 6:44
    Si ceci ici est plus grand que 0,
  • 6:44 - 6:47
    alors le signe de la valeur absolue n'est pas significatif.
  • 6:47 - 6:49
    Donc ceci est la même chose
  • 6:49 - 6:50
    que y est égal à x+3.
  • 6:50 - 6:53
    Mais que veut dire x+3 plus grand que 0 ?
  • 6:53 - 6:56
    Et bien, soustrayons 3 des deux cotés,
  • 6:56 - 7:00
    vous obtenez x est plus grand que -3.
  • 7:00 - 7:02
    Donc quand x est plus grand que -3,
  • 7:02 - 7:08
    ce graphe va ressembler à y est égal à x+3.
  • 7:08 - 7:12
    Maintenant, quand x+3 est inférieur à 0.
  • 7:12 - 7:13
    Quand la situation où ceci --
  • 7:13 - 7:17
    l'intérieur du signe valeur absolue -- est négatif.
  • 7:17 - 7:20
    dans cette situation l'équation sera
  • 7:20 - 7:26
    y est égal à la valeur négative de x+3.
  • 7:26 - 7:28
    Comment je peux cela ?
  • 7:28 - 7:31
    Et bien, regardons, si ceci devient un nombre négatif, si x
  • 7:31 - 7:33
    plus 3 devient un nombre négatif-- c'est ce que
  • 7:33 - 7:36
    nous supposons ici-- si ça devient un nombre négatif,
  • 7:36 - 7:38
    et que vous preniez la valeur absolue d'un nombre
  • 7:38 - 7:40
    négatif, vous le rendez positif.
  • 7:40 - 7:43
    C'est comme si on le multipliait par -1.
  • 7:43 - 7:46
    Si vous savez que vous prenez la valeur absolue d'un nombre
  • 7:46 - 7:49
    négatif, c'est comme si vous le multipliez par -1,
  • 7:49 - 7:51
    parce qu'alors vous le rendez positif.
  • 7:51 - 7:54
    Et c'est ce qui va arriver.
  • 7:54 - 7:56
    x plus 3 est moins que 0.
  • 7:56 - 8:00
    Si on retranche 3 des deux cotés, quand x est inférieur à
  • 8:00 - 8:01
    moins 3.
  • 8:01 - 8:04
    Donc quand x est inférieur à moins 3, le graphe va
  • 8:04 - 8:05
    ressembler à çà.
  • 8:05 - 8:08
    Quand x est plus grand que moins 3, le graphe va
  • 8:08 - 8:10
    ressembler à çà.
  • 8:10 - 8:11
    Voyons à quoi va ressembler le
  • 8:11 - 8:14
    graphique complet.
  • 8:14 - 8:22
    Dessinons les axes.
  • 8:22 - 8:26
    C'est l'axe des x, et c'est l'axe des y.
  • 8:26 - 8:29
    Donc laissez moi multiplier ceci, comme nous l'avons dans
  • 8:29 - 8:30
    dans la forme mx + b.
  • 8:30 - 8:36
    Donc c'est égal à moins x moins 3.
  • 8:36 - 8:37
    Voyons à quoi ce graphe
  • 8:37 - 8:39
    va ressembler en général.
  • 8:39 - 8:42
    Moins x moins 3.
  • 8:42 - 8:47
    L'axe y est intercepté avec moins 3, donc 1, 2, 3.
  • 8:47 - 8:51
    Et moins x signifie que la pente descendante, avec une
  • 8:51 - 8:52
    pente descendante de 1.
  • 8:52 - 8:54
    Donc ça va ressembler à çà.
  • 8:57 - 9:03
    L'axe des x est intercepté avec x egal à --.
  • 9:03 - 9:08
    donc si vous dites que y est égal à 0, ça va arriver quand x est
  • 9:08 - 9:09
    égal à moins 3.
  • 9:09 - 9:10
    Donc on va suivre cette ligne,
  • 9:10 - 9:12
    jusqu'à ce point ici.
  • 9:12 - 9:14
    Et ce graphe, si on n'avait pas de contraintes
  • 9:14 - 9:16
    ici, ressemblerait à quelque chose comme çà.
  • 9:20 - 9:23
    Comme çà si on est n'était pas contraint dans un certain intervalle sur
  • 9:23 - 9:24
    l'axe des x.
  • 9:24 - 9:27
    Maintenant ce graphique, à quoi il ressemnle ?
  • 9:27 - 9:27
    Voyons.
  • 9:27 - 9:32
    Il intercepte l'axe des y à plus 3.
  • 9:32 - 9:33
    Comme ceci.
  • 9:33 - 9:35
    Et où intercepte-t-il l'axe des x ?
  • 9:35 - 9:38
    Quand y est égal à 0, x vaut moins 3.
  • 9:38 - 9:40
    Donc le graphe passe par ce point là, et a
  • 9:40 - 9:41
    une pente de 1.
  • 9:41 - 9:44
    Donc cela va ressembler à çà.
  • 9:44 - 9:45
    Voilà à quoi resemble le graphe.
  • 9:45 - 9:48
    Maintenant, ce qu'on a compris c'est que cette
  • 9:48 - 9:52
    fonction valeur absolue, ressemble à ce graphique violet quand x est inférieur
  • 9:52 - 9:54
    à moins 3.
  • 9:54 - 9:57
    Donc quand x est inférieur à -3 -- x est égal à
  • 9:57 - 10:00
    moins 3 juste ici--- quand x est inférieur à moins
  • 10:00 - 10:03
    3, cela resemble à ce graphique violet.
  • 10:03 - 10:05
    Et voilà.
  • 10:05 - 10:07
    Donc c'est quand x est inférieur à moins 3.
  • 10:07 - 10:11
    Mais quand x est plus grand que moins 3, cela ressemble
  • 10:11 - 10:12
    au graphique vert.
  • 10:12 - 10:15
    Cela ressemble à çà.
  • 10:15 - 10:17
    Ce graphique ressemble à cet étrange v.
  • 10:17 - 10:21
    Quand x est plus grand que moins 3, c'est positif.
  • 10:21 - 10:25
    Donc nous avons un graphique-- nous avons une pente positive.
  • 10:25 - 10:28
    Mais quand x est inférieur à moins 3, nous prenons
  • 10:28 - 10:31
    la valeur négative de la fonction, si vous voulez le voir
  • 10:31 - 10:32
    de cette façon, et donc nous avons cette pente négative.
  • 10:32 - 10:35
    Et vous avez ce genre de fonction en forme de v, ce
  • 10:35 - 10:38
    graphique en forme de v, qui est indicatif d'une
  • 10:38 - 10:40
    fonction valeur absolue.
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Equations avec valeurs absolues
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Equations avec valeurs absolues

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English
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