Equations avec valeurs absolues

Equations avec valeurs absolues

Nous allons travailler sur des équations avec des valeurs absolues.

Commençons par réviser un peu,

pour prendre la valeur absolue d'un nombre,

disons que je prenne la valeur absolue de -1.

Ce que vous allez vraîment faire c'est

vous demander, à quelle distance du 0 se trouve ce nombre ?

Et dans le cas de -1, si nous dessinons la ligne des nombres ici

-- c'est une ligne des nombre très mal dessinée.

Si nous dessinons la ligne des nombres ici, le 0 est là.

Vous avez -1 juste ici.

Et, c'est à une distance de 1 unité du 0.

Donc la valeur absolue de -1 c'est 1.

Et la valeur absolue de 1 est également à une distance de 1 unité du 0.

Ce qui est égal à 1.

Donc d'une certaine façon, la valeur absolue c'est la distance par rapport au 0.

Un autre manière, j'imagine plus simple, de voir la chose,

c'est que c'est la version positive d'un nombre.

La valeur absolue de -7346 est égale à 7346.

En ayant ça à l'esprit, essayons de résoudre

quelques équations contenant des valeurs absolues.

Prenons l'équation suivante

la valeur absolue de x-5 est égale à 10.

Une manière de l'interpréter

et j'aimerais que vous y réflechissiez, c'est que cela revient à dire

que la distance entre x et 5 est égale à 10.

Donc combien de nombres sont exactement à 10 unités de 5 ?

Et vous pouvez déjà penser à la résolution de cette équation,

mais je vais vous montrer comment la résoudre de manière systématique.

Bien ceci doit être vrai dans deux cas.

Soit x-5 est égal à +10.

Si ceci est évalué à +10,

alors quand vous prenez sa valeur absolue,

vous devez obtenir +10.

Ou alors x-5 peut valoir -10.

Si x-5 vaut -10, quand vous prenez sa valeur absolue,

vous devez obtenir 10 également.

Donc x-5 pourrait également être égal à -10.

Ces 2 cas répondrons à l'équation.

Maintenant, pour résoudre celui-ci,

ajoutons 5 aux deux cotés de l'équation.

Cela donne x est égal à 15.

Pour résoudre celle-là, ajoutons 5 aux deux cotés de l'équation.

x est égal à -5.

Donc notre solution,

il y a 2 valeurs de x qui satisfont cette équation.

x pourrait être égal à 15.

15 - 5 égal 10, en prenant la valeur absolue,

vous obtenez 10, ou x pourrait être égal à -5.

-5 moins 5 égale -10.

En prenant la valeur absolue, vous obtenez 10.

Et notez, que ces 2 nombres

sont exactement à 10 unités du nombre 5.

Prenons un autre exemple de ce genre.

Prenons un autre exemple.

Disons que nous avons

la valeur absolue de x + 2 est égale à 6.

Donc qu'est-ce que ça nous dit ?

Cela dit que soit x+2,

c'est la chose qui est à l'intérieur du signe valeur absolue, est égale à 6.

Ou que la chose à l'intérieur du signe valeur absolue,

x + 2, pourrait être égal à -6.

Si tout ça vaut -6,

et que vous prenez la valeur absolue, vous obtenez 6.

Et donc, x + 2 pourrait être égal à -6.

Quand vous faite la soustraction de 2 des deux cotés de cette équation,

vous obtenez que x pourrait être égal à 4.

Si vous retranchez 2 des deux cotés de cette équation,

vous obtenez que x pourrait être égal à -8.

Donc ce sont les deux solutions de cette équation.

Et une bonne manière de le graver dans votre esprit,

cette valeur absolue, vous pouvez l'imaginez comme une distance,

vous pourriez reformuler ce problème

comme la valeur absolue de x moins -2 est égale à 6.

Et donc la question qui m'est posée est,

quels sont tous les x qui sont exactement à une distance de 6 unités de -2.

Rappelez-vous, jusqu'ici on disait,

quels sont les x qui sont exactement à 10 unités de +5 ?

Quelquesoit le nombre que vous soustrayez à partir de +5,

ils sont tous deux à 10 unités de +5.

Cela revient à demander

qu'est-ce qu'il y a à exactement 6 unités de -2?

Et en fait le nombre 4, ou -8.

Vous pouvez vérifier par vous-même que ça marche avec ces nombres.

Prenons un autre exemple du même genre.

Prenons un autre exemple, et on le fera en violet.

Disons que nous avons la valeur absolue de 4x.

Je vais compliquer un peu le problème.

4x - 1.

La valeur absolue de 4x - 1, est égale à --

-- est égale à 19.

Donc, comme pour les problèmes précédents,

4x -1 pourrait être égal à 19.

Ou 4x-1 pourrait valoir -19.

Parce qu'alors quand vous prenez la valeur absolue,

vous obtenez 19 à nouveau.

Ou 4x - 1 pourrait être égal à -19.

Donc, vous avez juste à résoudre ces 2 équations.

Ajoutons 1 des deux cotés de cette équation --

on pourrait le faire simultanément, même.

Ajoutons 1 aux deux cotés de ceci, vous obtenez 4x est égal à 20.

Ajoutons 1 des deux cotés de cette équation,

vous obtenez 4x est égal à -18.

Divison les deux coté de ceci par 4, vous avez x est égal à 5.

Divisons les deux cotés de cela par 4, vous avez x est égal à -18/4.

qui est égal à -9/2.

Donc ces deux valurs de x satisfont à l'équation.

Essayez.

-9/2 x 4.

Cela va donner -18.

-18 moins 1 égale -19.

En prenant la valeur absolue, vous avez 19.

Vous mettez un 5 ici, 4 x 5 égale 20.

Moins 1 cela fait -19.

Donc en prenant la valeur absolue.

Une fois de plus, vous avez 19.

Essayons de représenter cela sous la forme d'un graphique, pour le plaisir.

Donc nous disons que

j'ai y est égal à la valeur absolue de x + 3.

Il s'agit d'une fonction, ou d'un graphique,

avec une valeur absolue dedans.

Réflechissons à deux scénarios.

Premier scénario

ou la chose à l'intérieur de la valeur absolue est positive.

Donc vous avez le scénario où x+3

je vais l'écrire ici : x+3 est plus grand que 0.

Et ensuite vous avez le scénario où x+3 est inférieur à 0.

Quand x+6 est plus grand que 0,

ce graphique, ou cette ligne -- je ne suis pas sûr qu'on puisse l'appeler ligne --

cette fonction, est la même chose que y est égal à x+3.

Si ceci ici est plus grand que 0,

alors le signe de la valeur absolue n'est pas significatif.

Donc ceci est la même chose

que y est égal à x+3.

Mais que veut dire x+3 plus grand que 0 ?

Et bien, soustrayons 3 des deux cotés,

vous obtenez x est plus grand que -3.

Donc quand x est plus grand que -3,

ce graphe va ressembler à y est égal à x+3.

Maintenant, quand x+3 est inférieur à 0.

Quand la situation où ceci --

l'intérieur du signe valeur absolue -- est négatif.

dans cette situation l'équation sera

y est égal à la valeur négative de x+3.

Comment je peux cela ?

Et bien, regardons, si ceci devient un nombre négatif, si x

plus 3 devient un nombre négatif-- c'est ce que

nous supposons ici-- si ça devient un nombre négatif,

et que vous preniez la valeur absolue d'un nombre

négatif, vous le rendez positif.

C'est comme si on le multipliait par -1.

Si vous savez que vous prenez la valeur absolue d'un nombre

négatif, c'est comme si vous le multipliez par -1,

parce qu'alors vous le rendez positif.

Et c'est ce qui va arriver.

x plus 3 est moins que 0.

Si on retranche 3 des deux cotés, quand x est inférieur à

moins 3.

Donc quand x est inférieur à moins 3, le graphe va

ressembler à çà.

Quand x est plus grand que moins 3, le graphe va

ressembler à çà.

Voyons à quoi va ressembler le

graphique complet.

Dessinons les axes.

C'est l'axe des x, et c'est l'axe des y.

Donc laissez moi multiplier ceci, comme nous l'avons dans

dans la forme mx + b.

Donc c'est égal à moins x moins 3.

Voyons à quoi ce graphe

va ressembler en général.

Moins x moins 3.

L'axe y est intercepté avec moins 3, donc 1, 2, 3.

Et moins x signifie que la pente descendante, avec une

pente descendante de 1.

Donc ça va ressembler à çà.

L'axe des x est intercepté avec x egal à --.

donc si vous dites que y est égal à 0, ça va arriver quand x est

égal à moins 3.

Donc on va suivre cette ligne,

jusqu'à ce point ici.

Et ce graphe, si on n'avait pas de contraintes

ici, ressemblerait à quelque chose comme çà.

Comme çà si on est n'était pas contraint dans un certain intervalle sur

l'axe des x.

Maintenant ce graphique, à quoi il ressemnle ?

Voyons.

Il intercepte l'axe des y à plus 3.

Comme ceci.

Et où intercepte-t-il l'axe des x ?

Quand y est égal à 0, x vaut moins 3.

Donc le graphe passe par ce point là, et a

une pente de 1.

Donc cela va ressembler à çà.

Voilà à quoi resemble le graphe.

Maintenant, ce qu'on a compris c'est que cette

fonction valeur absolue, ressemble à ce graphique violet quand x est inférieur

à moins 3.

Donc quand x est inférieur à -3 -- x est égal à

moins 3 juste ici--- quand x est inférieur à moins

3, cela resemble à ce graphique violet.

Et voilà.

Donc c'est quand x est inférieur à moins 3.

Mais quand x est plus grand que moins 3, cela ressemble

au graphique vert.

Cela ressemble à çà.

Ce graphique ressemble à cet étrange v.

Quand x est plus grand que moins 3, c'est positif.

Donc nous avons un graphique-- nous avons une pente positive.

Mais quand x est inférieur à moins 3, nous prenons

la valeur négative de la fonction, si vous voulez le voir

de cette façon, et donc nous avons cette pente négative.

Et vous avez ce genre de fonction en forme de v, ce

graphique en forme de v, qui est indicatif d'une

fonction valeur absolue.