Ligninger med absolutte værdier

Ligninger med absolutte værdier - de plottes ligeledes i et koordinatsystem.

Vi skal lave nogle ligninger, der indeholder absolutte værdier.

Vi genopfrisker lige, hvad det vil sige,

når vi tager den absolutte værdi af et tal.

Lad os sige, at vi skal finde den absolutte værdi af minus 1.

Vi skal spørge os selv,

hvor langt tallet er fra 0.

Vi tegner en tallinje.

.

Det her er 0.

Det her er minus 1.

Minus 1 er 1 væk fra 0.

Den absolutte værdi af minus 1 er altså 1.

Den absolutte værdi af 1 er også 1. 1 er også 1 væk fra 0.

Det er også lig med 1.

Den absolutte værdi er altså, hvor langt tallet er væk fra 0.

En lidt mere simpel måde at tænke på det på er,

at det altid ender med at blive den positive version af tallet.

Den absolutte værdi af minus 7346 er lig med 7346.

Det husker vi på,

når vi løser ligninger med absolutte værdier.

Vi har ligningen

den absolutte værdi af x minus 5 er lig med 10.

En måde, vi kan tænke på det er,

at det betyder,

at afstanden mellem x og 5 er lig med 10.

Hvor mange tal er præcis 10 væk fra 5?

Vi kan allerede nu gætte løsningen,

men vi gør det systematisk.

I 2 tilfælde vil x være 10 væk fra 5.

Enten er x lig med minus 5 eller 10.

Hvis det er 10,

får vi 10,

når vi tager den absolutte værdi af det.

Når x er minus 5, bliver det minus 10.

Når vi tager den absolutte værdi af minus 10,

får vi igen 10.

x minus 5 kan altså være lig med minus 10.

Både 10 og minus 5 passer som løsning i ligningen.

For at løse den

lægger vi 5 til på begge sider af lighedstegnet.

Vi får, at x er lig med 15.

Vi lægger altså 5 til på begge sider i den her ligningen.

x er lig med minus 5.

.

Der er altså to x-værdier, der passer som løsning til ligningen.

x kan være 15.

15 minus 5 er 10, og tager vi den absolutte værdi,

får vi 10. x kan også være minus 5.

Minus 5 minus 5 er minus 10.

Tager vi den absolutte værdi af det, får vi 10.

Begge tal er præcis

10 væk fra tallet 5.

Lad os lave en til.

Vi laver en ligning til.

Vi har ligningen

den absolutte værdi af x plus 2 er lig med 6.

Hvad fortæller det os?

Det fortæller os,

at x plus 2, som står som absolut værdi, kan være lig med 6.

Det fortæller os også,

at x plus 2 kan være lig med minus 6.

Hvis det bliver minus 6,

og vi tager den absolutte værdi af det, får vi 6.

x plus 2 kan altså være lig med minus 6.

Vi trækker 2 fra på begge sider,

og x kan nu være lig med 4.

Når vi har trukket 2 fra på begge sider,

kan x også være lig med minus 8.

Det er altså de 2 løsninger til ligningen.

VI skal huske, at den absolutte værdi kan ses

som afstanden fra 0.

Vi kan omskrive opgaven

til den absolutte værdi af x minus minus 2 er lig med 6.

Vi skal altså finde ud af,

hvilke x-værdier, der er præcis 6 væk fra minus 2

Heroppe spurgte vi,

hvilke x-værdier, der er præcis 10 væk fra 5?

Ligemeget hvilket tal, vi trækker fra 5,

vil begge tal være 10 væk fra 5.

Den her spørger,

hvad der er præcis 6 væk fra minus 2.

Det vil enten være 4 eller minus 8.

Man kan selv prøve de her tal af.

Lad os lave en til.

Vi laver en i lilla skrift.

Til at starte med har vi den absolutte værdi af 4x.

Vi tilføjer lidt til opgaven.

4x minus 1.

Den absolutte værdi af 4x minus 1

er lig med 19.

Ligesom i de sidste opgaver

kan 4x minus 1 være lig med 19.

Det kan også være lig med minus 19.

Når vi tager den absolutte værdi af det,

får vi 19 igen.

4x minus 1 kan altså også være lig med minus 19.

Nu løser vi de 2 ligninger.

Vi lægger 1 til på begge sider af lighedstegnet.

Det gør vi på begge ligninger.

Her lægger vi 1 til på begge sider, og nu er 4x lig med 20.

Her lægger vi også 1 til på begge sider,

og nu er 4x lig med minus 18.

Nu dividerer vi begge sider med 4, og x er nu lig med 5.

Her dividerer vi også begge sider med 4,

og x er lig med minus 18/4, der er det samme som minus 9/2.

Begge x-værdierne passer ind i ligningen.

Vi prøver.

Minus 9/2 gange 4.

Det bliver minus 18.

Minus 18 minus 1 er minus 19.

Vi tager den absolutte værdi af minus 19 og får 19.

Vi indsætter 5 her. 4 gange 5 er 20.

20 minus 1 er 19.

Vi tager den absolutte værdi af det.

Igen giver det 19.

Lad os for sjov prøve at tegne en af dem her.

.

Vi har, at y er lig med den absolutte værdi af x plus 3.

Det er altså en funktion, eller en graf,

der indeholder en absolut værdi.

Lad os tænke på 2 muligheder.

Den ene mulighed er,

at tallet i den absolutte værdi er positivt.

.

Vi skriver det her. x plus 3 er større end 0.

Der er også den mulighed, at x plus 3 er mindre end 0.

Når x plus 3 er større end 0,

er den her graf eller funktion

det samme som y er lig med x plus 3.

Hvis det her er større end 0,

er den absolutte værdi irrelevant.

I så fald er det her det samme som

y er lig med x plus 3.

Hvornår er x plus 3 over 0?

Vi trækker 3 fra begge sider, og så står der,

at x er større end minus 3.

Når x er større end minus 3,

vil grafen se ud, som hvis det var y er lig med x plus 3.

Nu kigger vi på, når x plus 3 er mindre end 0.

Når tallet imellem tegnene

for absolut værdi er negativt,

vil ligningen sige,

at y er lig med den negative version af x plus 3.

Hvordan ved vi det?

Hvis vi går ud fra,

at x plus 3 giver et negativt tal,

tager vi den absolutte værdi af det,

og så bliver det et positivt tal.

.

Det er ligesom at gange med minus 1.

Hvis vi tager den absolutte værdi af et negativt tal,

er det ligesom at gange tallet med minus 1.

På den måde bliver det positivt.

Det er situationen her.

x plus 3 er mindre end 0.

Vi trækker 3 fra på begge sider,

og så er x mindre end minus 3.

Når x er mindre end minus 3,

ser grafen således her ud.

Når x er større end minus 3,

ser grafen således her ud.

Lad os se,

hvordan hele grafen ser ud.

Vi tegner vores akser.

Det her er x-aksen, og det her er y-aksen.

Vi ganger det ud,

så vi har det i formen ax plus b.

Det her er lig med minus x minus 3.

Lad os finde ud af,

hvordan hele grafen ser ud.

Minus x minus 3.

Skæringspunktet på y-aksen er minus 3. 1, 2, 3.

Minus x betyder, at grafen hælder nedad.

Den har en negativ hældning på 1.

Den ser således ud.

.

Hvis vi siger, at y er lig med 0,

skærer grafen x-aksen, hvor x er minus 3.

Det er altså gennem

det her punkt.

Hvis vi ikke havde det her krav,

så grafen sådan her ud.

Det her er, hvis vi ikke begrænsede den

til et bestemt interval på x-aksen.

Hvordan ser grafen ud?

Lad os se.

Skæringspunktet på y-aksen er 3.

Her.

Hvor skærer grafen x-aksen?

Det gør den, når y er lig med 0. Så er x lig med minus 3.

Den går altså også gennem punktet her,

og hældningen er på 1.

Den ser cirka således ud.

Det her er sådan, grafen ser ud.

Vi har nu fundet ud af, at den her funktion med en absolut værdi

ser ud som den her lilla graf,

når x er mindre end minus 3.

Det her er der, hvor x er lig med minus 3.

Når x er mindre end minus 3,

ser grafen ud som den lilla her.

.

Det her er, når x er mindre end minus 3.

Når x er større end minus 3,

ser funktonen ud som den grønne graf her.

Den ser således ud.

Grafen ligner altså et underligt v.

Når x er større end minus 3, er det her positivt.

Hældningen er positiv.

Når x er mindre end minus 3,

tager vi i virkeligheden den negative funktion.

Hældningen er negativ.

Funktionen er altså formet som et v,

og når den er det, betyder det,

at det er en funktion med en absolut værdi.