WEBVTT

00:00:00.590 --> 00:00:03.880
Vi skal lave nogle ligninger, der indeholder absolutte værdier.

00:00:03.880 --> 00:00:05.119
Vi genopfrisker lige, hvad det vil sige,

00:00:05.119 --> 00:00:07.650
når vi tager den absolutte værdi af et tal.

00:00:07.650 --> 00:00:10.680
Lad os sige, at vi skal finde den absolutte værdi af minus 1.

00:00:10.680 --> 00:00:12.263
Vi skal spørge os selv,

00:00:12.263 --> 00:00:16.090
hvor langt tallet er fra 0.

00:00:16.090 --> 00:00:20.620
Vi tegner en tallinje.

00:00:20.620 --> 00:00:23.310
.

00:00:23.310 --> 00:00:26.230
Det her er 0.

00:00:26.230 --> 00:00:28.470
Det her er minus 1.

00:00:28.470 --> 00:00:30.230
Minus 1 er 1 væk fra 0.

00:00:30.230 --> 00:00:33.250
Den absolutte værdi af minus 1 er altså 1.

00:00:33.250 --> 00:00:38.850
Den absolutte værdi af 1 er også 1. 1 er også 1 væk fra 0.

00:00:38.850 --> 00:00:40.610
Det er også lig med 1.

00:00:40.610 --> 00:00:43.500
Den absolutte værdi er altså, hvor langt tallet er væk fra 0.

00:00:43.500 --> 00:00:45.587
En lidt mere simpel måde at tænke på det på er,

00:00:45.587 --> 00:00:48.600
at det altid ender med at blive den positive version af tallet.

00:00:48.600 --> 00:00:59.360
Den absolutte værdi af minus 7346 er lig med 7346.

00:00:59.360 --> 00:01:00.779
Det husker vi på,

00:01:00.779 --> 00:01:05.050
når vi løser ligninger med absolutte værdier.

00:01:05.050 --> 00:01:06.675
Vi har ligningen

00:01:06.675 --> 00:01:14.500
den absolutte værdi af x minus 5 er lig med 10.

00:01:14.500 --> 00:01:15.895
En måde, vi kan tænke på det er,

00:01:15.895 --> 00:01:18.161
at det betyder,

00:01:18.161 --> 00:01:23.120
at afstanden mellem x og 5 er lig med 10.

00:01:23.120 --> 00:01:26.750
Hvor mange tal er præcis 10 væk fra 5?

00:01:26.750 --> 00:01:29.430
Vi kan allerede nu gætte løsningen,

00:01:29.430 --> 00:01:31.960
men vi gør det systematisk.

00:01:31.960 --> 00:01:36.510
I 2 tilfælde vil x være 10 væk fra 5.

00:01:36.510 --> 00:01:41.800
Enten er x lig med minus 5 eller 10.

00:01:41.800 --> 00:01:44.630
Hvis det er 10,

00:01:44.630 --> 00:01:46.610
får vi 10,

00:01:46.610 --> 00:01:48.380
når vi tager den absolutte værdi af det.

00:01:48.380 --> 00:01:53.130
Når x er minus 5, bliver det minus 10.

00:01:53.130 --> 00:01:58.700
Når vi tager den absolutte værdi af minus 10,

00:01:58.700 --> 00:01:59.950
får vi igen 10.

00:01:59.950 --> 00:02:04.280
x minus 5 kan altså være lig med minus 10.

00:02:04.280 --> 00:02:07.730
Både 10 og minus 5 passer som løsning i ligningen.

00:02:07.730 --> 00:02:08.958
For at løse den

00:02:08.958 --> 00:02:11.500
lægger vi 5 til på begge sider af lighedstegnet.

00:02:11.500 --> 00:02:14.160
Vi får, at x er lig med 15.

00:02:14.160 --> 00:02:17.830
Vi lægger altså 5 til på begge sider i den her ligningen.

00:02:17.830 --> 00:02:20.900
x er lig med minus 5.

00:02:20.900 --> 00:02:21.963
.

00:02:21.963 --> 00:02:24.910
Der er altså to x-værdier, der passer som løsning til ligningen.

00:02:24.910 --> 00:02:26.890
x kan være 15.

00:02:26.890 --> 00:02:29.502
15 minus 5 er 10, og tager vi den absolutte værdi,

00:02:29.502 --> 00:02:32.690
får vi 10. x kan også være minus 5.

00:02:32.690 --> 00:02:36.060
Minus 5 minus 5 er minus 10.

00:02:36.060 --> 00:02:39.020
Tager vi den absolutte værdi af det, får vi 10.

00:02:39.020 --> 00:02:41.632
Begge tal er præcis

00:02:41.632 --> 00:02:45.750
10 væk fra tallet 5.

00:02:45.750 --> 00:02:48.050
Lad os lave en til.

00:02:48.050 --> 00:02:51.130
Vi laver en ligning til.

00:02:51.130 --> 00:02:52.182
Vi har ligningen

00:02:52.182 --> 00:02:58.580
den absolutte værdi af x plus 2 er lig med 6.

00:02:58.580 --> 00:02:59.610
Hvad fortæller det os?

00:02:59.610 --> 00:03:03.132
Det fortæller os,

00:03:03.132 --> 00:03:07.030
at x plus 2, som står som absolut værdi, kan være lig med 6.

00:03:07.030 --> 00:03:10.380
Det fortæller os også,

00:03:10.380 --> 00:03:12.050
at x plus 2 kan være lig med minus 6.

00:03:12.050 --> 00:03:13.910
Hvis det bliver minus 6,

00:03:13.910 --> 00:03:16.210
og vi tager den absolutte værdi af det, får vi 6.

00:03:16.210 --> 00:03:20.340
x plus 2 kan altså være lig med minus 6.

00:03:20.340 --> 00:03:22.880
Vi trækker 2 fra på begge sider,

00:03:22.880 --> 00:03:25.850
og x kan nu være lig med 4.

00:03:25.850 --> 00:03:29.780
Når vi har trukket 2 fra på begge sider,

00:03:29.780 --> 00:03:33.690
kan x også være lig med minus 8.

00:03:33.690 --> 00:03:37.240
Det er altså de 2 løsninger til ligningen.

00:03:37.240 --> 00:03:39.740
VI skal huske, at den absolutte værdi kan ses

00:03:39.740 --> 00:03:42.500
som afstanden fra 0.

00:03:42.500 --> 00:03:43.940
Vi kan omskrive opgaven

00:03:43.940 --> 00:03:50.410
til den absolutte værdi af x minus minus 2 er lig med 6.

00:03:50.410 --> 00:03:52.759
Vi skal altså finde ud af,

00:03:52.759 --> 00:03:57.590
hvilke x-værdier, der er præcis 6 væk fra minus 2

00:03:57.590 --> 00:03:59.168
Heroppe spurgte vi,

00:03:59.168 --> 00:04:03.560
hvilke x-værdier, der er præcis 10 væk fra 5?

00:04:03.560 --> 00:04:05.990
Ligemeget hvilket tal, vi trækker fra 5,

00:04:05.990 --> 00:04:08.560
vil begge tal være 10 væk fra 5.

00:04:08.560 --> 00:04:09.515
Den her spørger,

00:04:09.515 --> 00:04:13.080
hvad der er præcis 6 væk fra minus 2.

00:04:13.080 --> 00:04:15.510
Det vil enten være 4 eller minus 8.

00:04:15.510 --> 00:04:17.959
Man kan selv prøve de her tal af.

00:04:17.959 --> 00:04:20.459
Lad os lave en til.

00:04:20.459 --> 00:04:25.330
Vi laver en i lilla skrift.

00:04:25.330 --> 00:04:30.190
Til at starte med har vi den absolutte værdi af 4x.

00:04:30.190 --> 00:04:31.430
Vi tilføjer lidt til opgaven.

00:04:31.430 --> 00:04:33.390
4x minus 1.

00:04:33.390 --> 00:04:36.583
Den absolutte værdi af 4x minus 1

00:04:36.583 --> 00:04:40.200
er lig med 19.

00:04:40.200 --> 00:04:41.769
Ligesom i de sidste opgaver

00:04:41.769 --> 00:04:47.640
kan 4x minus 1 være lig med 19.

00:04:47.640 --> 00:04:51.670
Det kan også være lig med minus 19.

00:04:51.670 --> 00:04:53.130
Når vi tager den absolutte værdi af det,

00:04:53.130 --> 00:04:54.800
får vi 19 igen.

00:04:54.800 --> 00:04:59.100
4x minus 1 kan altså også være lig med minus 19.

00:04:59.100 --> 00:05:00.970
Nu løser vi de 2 ligninger.

00:05:00.970 --> 00:05:02.945
Vi lægger 1 til på begge sider af lighedstegnet.

00:05:02.945 --> 00:05:04.274
Det gør vi på begge ligninger.

00:05:04.274 --> 00:05:08.510
Her lægger vi 1 til på begge sider, og nu er 4x lig med 20.

00:05:08.510 --> 00:05:11.005
Her lægger vi også 1 til på begge sider,

00:05:11.005 --> 00:05:15.340
og nu er 4x lig med minus 18.

00:05:15.340 --> 00:05:20.210
Nu dividerer vi begge sider med 4, og x er nu lig med 5.

00:05:20.210 --> 00:05:23.920
Her dividerer vi også begge sider med 4,

00:05:23.920 --> 00:05:31.770
og x er lig med minus 18/4, der er det samme som minus 9/2.

00:05:31.770 --> 00:05:35.730
Begge x-værdierne passer ind i ligningen.

00:05:35.730 --> 00:05:36.587
Vi prøver.

00:05:36.587 --> 00:05:39.580
Minus 9/2 gange 4.

00:05:39.580 --> 00:05:41.570
Det bliver minus 18.

00:05:41.570 --> 00:05:44.200
Minus 18 minus 1 er minus 19.

00:05:44.200 --> 00:05:46.740
Vi tager den absolutte værdi af minus 19 og får 19.

00:05:46.740 --> 00:05:49.920
Vi indsætter 5 her. 4 gange 5 er 20.

00:05:49.920 --> 00:05:51.960
20 minus 1 er 19.

00:05:51.960 --> 00:05:53.260
Vi tager den absolutte værdi af det.

00:05:53.260 --> 00:05:55.920
Igen giver det 19.

00:05:55.920 --> 00:05:58.580
Lad os for sjov prøve at tegne en af dem her.

00:05:58.580 --> 00:05:59.283
.

00:05:59.283 --> 00:06:04.990
Vi har, at y er lig med den absolutte værdi af x plus 3.

00:06:04.990 --> 00:06:07.840
Det er altså en funktion, eller en graf,

00:06:07.840 --> 00:06:09.410
der indeholder en absolut værdi.

00:06:09.410 --> 00:06:11.820
Lad os tænke på 2 muligheder.

00:06:11.820 --> 00:06:13.136
Den ene mulighed er,

00:06:13.136 --> 00:06:16.430
at tallet i den absolutte værdi er positivt.

00:06:16.430 --> 00:06:18.873
.

00:06:18.873 --> 00:06:23.420
Vi skriver det her. x plus 3 er større end 0.

00:06:23.420 --> 00:06:29.370
Der er også den mulighed, at x plus 3 er mindre end 0.

00:06:29.370 --> 00:06:32.658
Når x plus 3 er større end 0,

00:06:32.658 --> 00:06:36.490
er den her graf eller funktion

00:06:36.490 --> 00:06:41.690
det samme som y er lig med x plus 3.

00:06:41.690 --> 00:06:44.370
Hvis det her er større end 0,

00:06:44.370 --> 00:06:46.750
er den absolutte værdi irrelevant.

00:06:46.750 --> 00:06:48.780
I så fald er det her det samme som

00:06:48.780 --> 00:06:50.280
y er lig med x plus 3.

00:06:50.280 --> 00:06:52.590
Hvornår er x plus 3 over 0?

00:06:52.590 --> 00:06:56.366
Vi trækker 3 fra begge sider, og så står der,

00:06:56.366 --> 00:06:59.910
at x er større end minus 3.

00:06:59.910 --> 00:07:02.249
Når x er større end minus 3,

00:07:02.249 --> 00:07:08.460
vil grafen se ud, som hvis det var y er lig med x plus 3.

00:07:08.460 --> 00:07:11.500
Nu kigger vi på, når x plus 3 er mindre end 0.

00:07:11.500 --> 00:07:13.328
Når tallet imellem tegnene

00:07:13.328 --> 00:07:16.509
for absolut værdi er negativt,

00:07:16.509 --> 00:07:20.356
vil ligningen sige,

00:07:20.356 --> 00:07:26.250
at y er lig med den negative version af x plus 3.

00:07:26.250 --> 00:07:27.540
Hvordan ved vi det?

00:07:27.540 --> 00:07:30.520
Hvis vi går ud fra,

00:07:30.520 --> 00:07:33.060
at x plus 3 giver et negativt tal,

00:07:33.060 --> 00:07:36.010
tager vi den absolutte værdi af det,

00:07:36.010 --> 00:07:38.090
og så bliver det et positivt tal.

00:07:38.090 --> 00:07:40.050
.

00:07:40.050 --> 00:07:43.280
Det er ligesom at gange med minus 1.

00:07:43.280 --> 00:07:45.870
Hvis vi tager den absolutte værdi af et negativt tal,

00:07:45.870 --> 00:07:48.890
er det ligesom at gange tallet med minus 1.

00:07:48.890 --> 00:07:51.010
På den måde bliver det positivt.

00:07:51.010 --> 00:07:53.870
Det er situationen her.

00:07:53.870 --> 00:07:55.840
x plus 3 er mindre end 0.

00:07:55.840 --> 00:07:59.850
Vi trækker 3 fra på begge sider,

00:07:59.850 --> 00:08:01.280
og så er x mindre end minus 3.

00:08:01.280 --> 00:08:03.920
Når x er mindre end minus 3,

00:08:03.920 --> 00:08:05.040
ser grafen således her ud.

00:08:05.040 --> 00:08:08.280
Når x er større end minus 3,

00:08:08.280 --> 00:08:09.600
ser grafen således her ud.

00:08:09.600 --> 00:08:11.300
Lad os se,

00:08:11.300 --> 00:08:13.670
hvordan hele grafen ser ud.

00:08:13.670 --> 00:08:21.520
Vi tegner vores akser.

00:08:21.520 --> 00:08:26.070
Det her er x-aksen, og det her er y-aksen.

00:08:26.070 --> 00:08:29.090
Vi ganger det ud,

00:08:29.090 --> 00:08:29.870
så vi har det i formen ax plus b.

00:08:29.870 --> 00:08:36.070
Det her er lig med minus x minus 3.

00:08:36.070 --> 00:08:37.409
Lad os finde ud af,

00:08:37.409 --> 00:08:38.620
hvordan hele grafen ser ud.

00:08:38.620 --> 00:08:42.020
Minus x minus 3.

00:08:42.020 --> 00:08:47.380
Skæringspunktet på y-aksen er minus 3. 1, 2, 3.

00:08:47.380 --> 00:08:51.060
Minus x betyder, at grafen hælder nedad.

00:08:51.060 --> 00:08:52.290
Den har en negativ hældning på 1.

00:08:52.290 --> 00:08:53.540
Den ser således ud.

00:08:56.840 --> 00:09:02.830
.

00:09:02.830 --> 00:09:07.740
Hvis vi siger, at y er lig med 0,

00:09:07.740 --> 00:09:08.575
skærer grafen x-aksen, hvor x er minus 3.

00:09:08.575 --> 00:09:10.380
Det er altså gennem

00:09:10.380 --> 00:09:11.920
det her punkt.

00:09:11.920 --> 00:09:14.190
Hvis vi ikke havde det her krav,

00:09:14.190 --> 00:09:15.600
så grafen sådan her ud.

00:09:19.890 --> 00:09:22.760
Det her er, hvis vi ikke begrænsede den

00:09:22.760 --> 00:09:23.880
til et bestemt interval på x-aksen.

00:09:23.880 --> 00:09:27.080
Hvordan ser grafen ud?

00:09:27.080 --> 00:09:27.480
Lad os se.

00:09:27.480 --> 00:09:31.810
Skæringspunktet på y-aksen er 3.

00:09:31.810 --> 00:09:33.230
Her.

00:09:33.230 --> 00:09:35.260
Hvor skærer grafen x-aksen?

00:09:35.260 --> 00:09:37.970
Det gør den, når y er lig med 0. Så er x lig med minus 3.

00:09:37.970 --> 00:09:39.760
Den går altså også gennem punktet her,

00:09:39.760 --> 00:09:40.620
og hældningen er på 1.

00:09:40.620 --> 00:09:43.710
Den ser cirka således ud.

00:09:43.710 --> 00:09:45.330
Det her er sådan, grafen ser ud.

00:09:45.330 --> 00:09:48.100
Vi har nu fundet ud af, at den her funktion med en absolut værdi

00:09:48.100 --> 00:09:52.030
ser ud som den her lilla graf,

00:09:52.030 --> 00:09:53.830
når x er mindre end minus 3.

00:09:53.830 --> 00:09:57.070
Det her er der, hvor x er lig med minus 3.

00:09:57.070 --> 00:09:59.593
Når x er mindre end minus 3,

00:09:59.593 --> 00:10:03.170
ser grafen ud som den lilla her.

00:10:03.170 --> 00:10:04.570
.

00:10:04.570 --> 00:10:07.390
Det her er, når x er mindre end minus 3.

00:10:07.390 --> 00:10:10.830
Når x er større end minus 3,

00:10:10.830 --> 00:10:12.160
ser funktonen ud som den grønne graf her.

00:10:12.160 --> 00:10:14.640
Den ser således ud.

00:10:14.640 --> 00:10:17.480
Grafen ligner altså et underligt v.

00:10:17.480 --> 00:10:21.430
Når x er større end minus 3, er det her positivt.

00:10:21.430 --> 00:10:24.950
Hældningen er positiv.

00:10:24.950 --> 00:10:28.270
Når x er mindre end minus 3,

00:10:28.270 --> 00:10:30.550
tager vi i virkeligheden den negative funktion.

00:10:30.550 --> 00:10:32.280
Hældningen er negativ.

00:10:32.280 --> 00:10:35.060
Funktionen er altså formet som et v,

00:10:35.060 --> 00:10:38.250
og når den er det, betyder det,

00:10:38.250 --> 00:10:39.950
at det er en funktion med en absolut værdi.