ln(x) ve e^x'in türevlerinin kanıtlanması

İki kanıtlamayı da aynı videoda yaparak orijinal kanıtın dairesel olmadığını göstermek.

.

d/dx (ln x) = 1/x ifadesini kanıtladığım ilk videoyu

hazırlayalı

birkaç yıl oluyor.

Ve bir sonraki videoda da

d/dx (e^x) = e^x kanıtladım.

Bazıları videodaki kanıtın dairesel olduğunu öne sürdü.

Daha önceden yaptığım kanıtların dairesel olmadığına eminim.

Şimdi biraz daha fazla alana ve daha sofistike aletlere sahip olduğuma göre bu videoda

yapmak istediğim...

Aynı kanıtı yapacağım ve aynı videoda yapacağım ki

hiç bir varsayım olmadan

açıkça her şeyi gösterebilelim.

Şimdi kanıtla başlayalım.

İlk yapmam gereken şey kanıtı buraya yazmak.

Bunun devamını getirmek istiyorum.

Gösterene kadar varsaymıyorum.

O zaman d/dx (ln x)'le

başlayalım.

d/dx (ln x) için

türevin sade tanımını kullanabiliriz.

d/dx (ln x) = lim (Δx →0) ( (ln(x + Δx) - ln x)/ Δx)

.

.

Şimdi logaritmaların özelliğini görebiliriz.

log (a) - log (b) = log (a/b)

log (a) - log (b) = log (a/b)

O şekilde yeniden yazayım.

Bunlar lim ( Δx →0) 1/Δx ln((x +Δx)/x) ifadesine eşittir.

Bunlar lim ( Δx →0) 1/Δx ln((x +Δx)/x) ifadesine eşittir.

Bunlar lim ( Δx →0) 1/Δx ln((x +Δx)/x) ifadesine eşittir.

Bunlar lim ( Δx →0) 1/Δx ln((x +Δx)/x) ifadesine eşittir.

Bunlar lim ( Δx →0) 1/Δx ln((x +Δx)/x) ifadesine eşittir.

Sadece logaritmanın özelliklerini kullanıyoruz.

Bu ifadeyi yeniden yazabilirim.

Öncelikle logaritmanın önündeki katsayıyı ( 1/Δx)

üstel hale getirebilirim.

Sonrada burayı sadeleştirebilirim.

Yani bu lim (Δx →0) ln(1+ ( Δx/x))' eşittir.

Bu arada karışıklığa sebep olmamak için renk değiştirdim.

.

(x+Δx)/x ifadesini

x'e bölüyoruz.

x/x = 1.

Sonradan da Δx/x'i ekliyoruz.

Sonradan katsayı olarak duran

1/Δx'i üstel hale getiriyorum.

Bu logaritmaların

üstellerle ilgili kuralıydı.

1/Δx.

Şimdi bir değiştirme yapacağım.

Unutmayın bunların hepsi

türevin tanımındandı.

Bunların hepsi

d/dx (ln x)'e eşitti.

Yine de bunu kullanmam lazım.

Ama size gösterene kadar kullanmayacağım.

Dairesel kanıtlarla ilgili oldukça

hassas hale geldim.

Tabi ki benim hatamdan kaynaklanan bir sorun

çünkü daha önceki videolarda yeterince açık olmadığımı gösterir

ve bu sefer daha anlaşılır olmaya çalışacağım.

Şimdi bakalım bu ifadeyi tanıdığımız terimlere

sadeleştirebilecek miyiz?

Şimdi değiştirmeyi yapalım ki

e'yi tanıdığımız terimler içinde elde edebilecek miyiz, görelim.

Δx/x = 1/n değiştirmesini yapalım.

Çarpmayı yaparsak aynı şey haline geliyorlar.

Değiştirmeye denktir.

Bu eşitliğin iki tarafını da x'le çarparsak

Δx = x/n ifadesini elde etmişiz oluruz.

Yani bunlar denk ifadeler.

İki tarafı da x'le çarptım sadece.

x/n'in lim (n → ∞)'de limitini almakla

Δx → 0'da limitini almak tamamen aynı.

.

.

Eğer Δx'i x/n olarak tanımlıyorsak

ve limiti paydası 0'a yaklaşırken alıyorsak

Δx'i 0'a yönlendireceğiz.

O zaman o değiştirmeyi yapalım.

O zaman bunların hepsi limite eşit olacak.

Çünkü Δx'ten kurtulduk.

lim (n →∞) ln(1 + 1/n)^(n/x).

Δx/x yerine 1/n yazıyorum.

Δx = x/n'di o yüzden 1/Δx'te tam tersi olacak.

Yani n/x.

.

.

.

.

.

Sonra bu ifadeyi

yeniden yazacağız.

lim (n →∞) ln ( 1 + (1/n)^n )^(1/x) )

.

Şimdi n/x üstelini ayıracağım.

İlk üstel n

ve onun üsteli 1/x olacak.

Bu sadece bir üstel özellik.

Bu iki üsteli çarparsak

yeniden n/x

üstelini elde edeceğiz.

Yani bu iki tür yazım tamamıyla aynı.

Ama şimdi logaritmik özellikleri kullanarak

üstelleri katsayıların

önüne koyabiliriz.

Yani hemen buraya koyabilirim.

Ve unutmayın bunların hepsi

x ln x'in türeviyle yapılıyordu.

Yani bunların hepsi neye eşit oldu.

1'i ön tarafa koyabiliriz.

Aslında düşününce 1'in n'le alakası yok.

n cinsinden düşününce

bir tür sabit terim.

Yani bunu en başa kadar koyabiliriz.

İki yerden birine koyabiliriz.

d/dx (şn x) = 1/x çarpı eflatunla yazılmış herşey.

d/dx (ln x) 0 1/x lim (n →∞) ln( (1+(1+n))^n)

.

Yani her şeyin doğal logaritması.

Ya da daha anlaşılır olmak için bu kısmı yeniden yazabiliriz.

1/x ln (lim(n →∞) ( 1+ (1+(1/n)^n) )

.

Biraz değişiklik yapıyorum çünkü bizim için önemli olan

bariz bir şekilde bu terime sonsuza yaklaşırken ne olacağı.

.

Bu daha önceki videolarda

tanıttığımız e'nin

tanımlarından bir tanesi.

e tanımlandı.

Sadece anlaşılır olmaya çaba gösteriyorum.

Hala bunu hiç kullanmıyorum.

Sadece e'nin tanımını beyan ediyorum.

e= lim (n →∞) (1 + (1/n) )^n

.

Bu sadece e'nin tanımı.

Ve ln'de bu ifadeyi taban alan logaritmadır.

.

Yani bu ifade e'dir.

d/dx (ln x) = 1/x (ln e).

.

Burası e.

e'nin tanımı budur.

e'nin türevini ya da

e'nin x'e giderken ki türevinin tanımını kullanmıyorum.

Sadece e'nin tanımını kullanıyorum.

Ve doğal logaritmanın tanımı e tabanlı log'dur.

e'yi e'ye ulaşmak için kalkındırman gerek üstel kuvvetin

1 olduğunu söyler.

d/dx (ln x) = 1/x.

Bu tanımdan bunu çıkarırız.

Yukarıdaki ilk ifadeyi

kanıtladığımdan şu ana kadar tatmin olmuşsunuzdur.

Ve diğer ifadeyi şu ana kadar hiç kullanmadık.

Sadece e'nin tanımını kullandım ve bu kabul edilebilir.

Yani e'nin tanımını herkesin bildiğini varsayıyorum, sadece doğal logaritmadan

konuşuyor olsak bilse tabanının e olduğunu kabul ediyoruz.

Bu ifadeyi hiç kullanmadım bile.

Bunu gösterdiğimize ve bu ifadeyi hiç kullanmadığımıza göre

bunu gösterebiliyor muyuz, bakalım.

Biraz alıştırma yapalım.

.

Aslında büyük ihtimalle sınırlar içinde kalabilirim.

Bu fonksiyonun türevini alalım.

d/dx(ln e^x)

.

İki yoldan çözüme ulaşabiliriz.

İk yol: Bunu sadeleştirebiliriz ve

bunun türevle tamamen aynı şey olduğunu söyleyebiliriz.

Bu x'i ön tarafa katsayı olarak alabiliriz.

d/dx x ln e

Peki ln e nedir?

ln e bildiğimiz üzere 1'e eşittir.

Bu sadece x'in türevi demek oluyor.

Ve x'in türevi 1'e eşittir. d/dx x = 1.

Bu oldukça bariz.

Turuncuyla çerçevelenmiş sarıyla yazılmış ifadeyi varsayım olarak kullanmadık.

Sadece bu ifadeyi sadeleştirerek

bunun x'in türevi olduğunu gösterdik

çünkü bu terim iptal oluyor.

Ve x'in türevi yalnızca 1'dir.

Ya da öbür yoldan yapabiliriz.

Zincir kuralını uygulayabiliriz.

Bunun içteki fonksiyonun

türevi olduğunu ve dolayısıyla

içteki fonksiyonun türevinin....

Bunun ne olduğunu bilmiyorum...

Bunun hakkında herhangi bir varsayımda bulunmuyorum.

Sadece ne olduğunu bilmiyorum.

O yüzden sarıyla buraya yazacağım.

d/dx(e^x)

.

Bunun ne olduğunu bilmiyorum.

Bunun ne olduğu hakkında en ufak bir fikrim yok.

Ve herhangi bir varsayımda bulunmadım dahi.

Sadece zincir kuralını kullanıyorum.

İçerideki fonksiyonun x'e olan bağlantısıyla türevinin

dışarıdaki fonksiyonun içerideki fonksiyona olan bağlantısıyla olan

türevinin çarpımıdır.

Yani ln x'in x'e olan bağlantısıyla alınan türevi 1/x'tir.

.

Yani genelleme yaparsak

doğal logaritmanın herhangi bir şeye bağlantısıyla türevini alırsak sonuç (1/ o sayıdır).

Yani sonuç

d/dx(e^x).(1/e^x) olacaktır.

.

Bir daha söylüyorum hiç bir şekilde bunu varsaymadım.

Şu ana kadar yaptığımız hiç bir işlemde o varsayımda bulunmadık.

Ama açıkça türevlerim herhangi yoldan çözsem de---

bir yoldan çözdüm ve 1 sonucunu elde ettim.

Diğer yolu aslında tam olarak bitirmedim.

Elime bu ifade geçti.

Bu ikisi birbirine eşit olmalı.

O zaman şöyle yazayım.

Bu ona eşit olmalı.

İki farklı yoldan gittik ve

iki farklı sonuç elde ettik.

Ama hala bunun ne olduğunu bilmiyorum.

Açıkta kaldı sanki.

Sadece e^x'in türevi

neyse odur dedim.

Ama iki ifade eşit olduğundan biliyoruz ki

d/dx(e^x).1/(e^x) = 1

.

.

Ki bu sonuca zincir kuralını kullanmamızdan ulaşabiliyoruz.

O zaman iki çözüm yolunda da aynı sonuca ulaşmalıyız.

.

Aynı olmalılar

çünkü ikisi de

d/dx ln ( e^x)'i çözmeye çalışıyor.

Yani 1'e eşit oluyor.

Neredeyse bitirdik sayılır.

Bunu sadeleştirip

d/dx (e^x)'in gizemini çözebiliriz.

Eşitliğin iki tarafını da e^x'le çarpın ve

elinize d/dx (e^x) = e^x

geçecektir.

Açıklığa kavuşturmak istiyoruz.

Tekrardan açıklığa kavuşturmak istiyorum,

video boyunca hiç bir yerde bu ifadeyi varsaymadım.

Hatta, bu ifadeyi ilk defa

beyan ediyorum.

Varsayımı d/dx ln x = 1/x'i kanıtlarken

dahi yapmam gerekmedi.

Ve bu sonuca ulaşmak içinde kullanmam gerekmedi.

Yani hiç bir şekilde bu kanıt dairesel değil.

Alıngan görünmek istemiyorum

ama her şeyi açıklığa kavuşturmak istiyorum.

Çünkü hiç bir şekilde kanıtımın

dairesel olduğunu düşünenleri suçlamak istemiyorum.

Benim hatam çünkü yeterince açık olamadım.

O yüzden umarım ki

her şey netlik kazanmıştır.

.