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Na primeira versão do
vídeo da prova
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da derivada do logaritmo
natural de x, onde a primeira
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vez que eu provei foi a alguns anos atras.
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E no vídeo seguinte,
provei que a derivada
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de e elevado a x é
igual a e elevado a x.
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Eu fui acusado de fazer uma
prova circular, e
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eu estou convencido que minha
prova não foi circular.
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O que quero fazer nesse
vídeo, agora que tenho mais
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espaço para trabalhar, com
ferramentas mais sofisticadas,
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eu vou refazer as provas e
eu vou fazer elas
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no mesmo vídeo, para mostrar para você
que em nenhum momento eu assumo algo
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antes de eu mostrar.
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Vamos começar com a prova.
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A primeira coisa que eu preciso
fazer é provar isso aqui.
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Quero acompanhar isso.
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Eu não assumo isso
antes de eu provar.
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Então vamos começar com
a prova, a derivada do
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logaritmo natural de x.
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Então, a derivada do logaritmo
natural de x, nós podemos
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ir para a definição básica de derivada.
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É igual ao limite de delta
x tendendo a 0 do
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logaritmo natural de x mais delta x,
menos logaritmo natural de x.
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Tudo isso sobre delta x.
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Agora podemos usar a
propriedade de logaritmo.
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Se eu tenho o logaritmo de a menos
o logaritmo de b, é o mesmo
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que o logaritmo de a sobre b.
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Então deixe-me reescrever deste modo.
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Isso vai ser igual ao limite de delta x
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tendendo a zero.
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Eu posso pegar esse um
sobre delta x aqui.
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um sobre delta x vezes o logaritmo
natural de, x mais delta
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x dividido por esse x.
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Só utilizando as propriedades
de logaritmo aqui.
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Posso reescrever isso-- primeiro,
se tenho
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esse coeficiente na frente de um
logaritmo, posso
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fazer dele meu expoente.
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E então eu posso simplificar isso.
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Isso vai ser igual ao limite de
delta x tendendo a
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zero do logaritmo natural--
deixe-me colocar uma nova cor.
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Deixe-me fazer em uma cor nova.
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O logaritmo natural de--
aqui dentro eu só vou
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dividir tudo por x.
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Então, x dividido por x é um.
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Mais delta x sobre x.
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Depois eu tinha esse um sobre
delta x de lado, e eu posso
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fazer disso o expoente.
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Isso é apenas a regra do expoente aqui, ou
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uma propriedade do logaritmo.
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Um sobre delta x.
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Agora farei uma substituição
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Lembre-se, tudo isso, isso veio
tudo da minha definição da derivada.
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Isso tudo é igual a derivada do
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logaritmo natural de x.
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Eu ainda não usei isso, de forma alguma.
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E eu não vou usar até que
eu mostre para você.
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Eu fiquei na defensiva com
relação a tais reclamações
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de circularidade.
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Elas são minha culpa porque
mostram que eu não fui claro o
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suficiente nas primeiras versões
dessas provas, então vou
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tentar ser mais claro.
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Vamos ver se podemos simplificar para
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termos que conheçamos.
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Vamos fazer a substituição para
que apareça "e" em termos
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que conheçamos.
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Vamos fazer a substituição: delta x
sobre x é igual a um sobre n.
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Se multiplicarmos--
isso é a mesma coisa.
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Isso é o equivalente da substituição.
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Se multiplicarmos os dois lados
disso por x, dizemos que
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delta x é igual a x sobre n.
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São equivalentes.
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Eu só multipliquei os dois
lados por x aqui.
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Agora se nós tomamos do limite quando
n tende a infinito desse
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termo bem aqui, é equivalente
-- é totalmente
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equivalente a tomar o limite quando
delta x tende a zero.
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E estamos definindo delta x como
isso, e tomamos o
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limite quando o denominador
aproxima de zero, estamos
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fazendo delta x ir para zero.
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Vamos fazer a substituição.
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Tudo isso vai ser igual
ao limite de-- agora
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nos livramos do delta x.
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Nós vamos dizer o limite quando
n tende a infinito do
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logaritmo natural--
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o logaritmo natural de um mais-- agora,
eu digo isso em vez de delta x sobre x,
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eu fiz a substituição que isso
é igual a um sobre n.
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Então aquilo é um mais um sobre n.
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E então o que é um sobre delta x?
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Delta x é igual a x sobre n, então
um sobre delta x vai ser
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igual ao inverso disso.
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Vai ser n sobre x.
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Então podemos reescrever
essa expressão aqui--
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deixe-me reescrever.
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Isso é igual ao limite quando
n tende a infinito do
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logaritmo natural de um mais um sobre n.
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O que eu posso fazer é separar
esse n do um sobre x.
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Posso dizer isso elevado a
n, e então tudo isso
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elevado a um sobre x.
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Mais uma vez, isso é uma
propriedade de expoente.
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Se eu elevo algo a n e
então a um sobre x, posso
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simplesmente multiplicar os expoentes
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e obter n sobre x.
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Essas duas afirmações são equivalentes.
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Mas agora podemos usar a
propriedade de logaritmo para dizer que
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se é o expoente, posso passar
para a frente
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do coeficiente bem aqui.
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Posso colocá-lo bem aqui.
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E lembre-se, tudo isso é a
derivada com relação
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a x do logaritmo natural de x.
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Quanto vale isso?
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Nós podemos tirar esse um do x na frente.
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Esse um fora do termo x, não
tem nada a ver com n.
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É como um termo constante quando
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pensamos em termos de n.
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Então nós podemos
tirar do limite.
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Podemos colocar nos dois lugares.
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Então podemos dizer um
sobre x vezes tudo aquilo.
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O limite quando n tende a
infinito do logaritmo natural
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de um mais um sobre n elevado a n.
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O logaritmo natural disso.
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Ou, só para deixar claro,
podemos reescrever essa
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parte-- igual a um sobre x
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vezes o logaritmo natural do
limite quando n tende a infinito.
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Eu só estou mudando a ordem
aqui, pois obviamente que
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nos importa o que ocorre com esse tempo
quando n tende ao infinito,
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de um mais um sobre n elevado a n.
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O que é-- isso deve parecer
familiar para você
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em alguns dos primeiros vídeos
em que falamos sobre e--
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esse é uma das definições de e.
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e é definido.
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Só estou sendo claro aqui
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Eu ainda não estou usando isso.
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Só estou declarando que pela
definição de e, e é igual
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ao limite quando n tende
a infinito de um mais
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um sobre n elevado a n.
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Essa é a definição de e.
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E o logaritmo natural é definido
como o logaritmo
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da base, disso tudo.
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Tudo isso é e.
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Estou dizendo que a derivada
do logaritmo natural
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de x é igual a um sobre x
vezes o logaritmo natural.
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Isso bem aqui é e.
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Isso é a definição de e.
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Eu não estou usando a definição
da derivada de e, ou
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a definição da derivada
de e elevado a x.
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Só estou usando a definição de e.
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E a definição do logaritmo
natural é log da base e.
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Isso da a potência que você
deve elevar e para obter e,
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bom isso é igual a um.
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Ali nós temos que a derivada
do logaritmo natural
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de x é igual a um sobre x.
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Acredito que até aqui você estará
satisfeito com a prova
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dessa primeira afirmação, e de
forma alguma usamos
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essa afirmação aqui.
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Só utilizei a definição de e,
mas está tudo certo.
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Quero dizer, assumimos que sabemos
a definição de e, mesmo quando
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só falamos sobre o logaritmo natural,
assumimos que é base e.
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De forma alguma eu assumi isso.
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Agora, dado que mostramos
isso e não assumimos
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isso, vamos ver se conseguimos
mostrar este.
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Que a derivada-- vamos fazer
um exercício aqui.
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Eu posso fazer nas margens.
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Vamos fazer a derivada dessa função.
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Do logaritmo natural de e elevado a x.
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Há duas maneiras de fazer isso.
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O primeiro modo, nós podemos
simplificar isso e dizer que é
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exatamente igual a derivada--
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nós podemos colocar esse
x na frente, vezes o
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logaritmo natural de e.
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E o que é o logaritmo natural de e?
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O logaritmo natural de e, nós
já sabemos, é igual a um.
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Então isso é apenas a derivada de x.
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E a derivada de x é igual a um.
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Isso é bastante direto.
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A derivada, de forma alguma
eu assumi isso para começar.
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Nós só simplificamos essa
expressão para apenas, isso é
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a mesma coisa que a
derivada de x, pois esse
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termo se cancela.
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E a derivada de x é apenas um.
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Ou podemos fazer
de outra forma.
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Fazer pela regra da cadeia.
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Podemos dizer que isso pode ser
visto como a derivada dessa
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função interna, então a derivada
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dessa expressão interna,
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eu não sei qual ela é.
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Eu não estou assumindo nada.
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Só não sei qual ela é.
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Então vou escrever em amarelo aqui.
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Então é igual a derivada com relação
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a x de e elevado a x.
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Não sei o que é isso.
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Não faço ideia do que seja, e não assumi
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nada sobre isso.
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Só estou usando a regra da cadeia.
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Se a derivada dessa função
interna com relação a
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x, que é esta bem aqui,
vezes a derivada dessa
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função de fora com
relação a função interna.
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Então a derivada do logaritmo
natural de x com relação
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a x é um sobre x.
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E a derivada do logaritmo
natural de qualquer coisa
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com relação a qualquer coisa
é um sobre qualquer coisa.
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Então vai ser igual a-- a
derivada do logaritmo
-
natural de x com relação a e
elevado a x é igual
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a um sobre e elevado a x.
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Mais uma vez, não estou de forma alguma
assumindo a derivada de e elevado a x.
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Em nada que fizemos nós assumimos aquilo.
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Mas é claro, minhas derivadas, dos
dois modos que eu resolvi--
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da primeira forma deu um.
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Da segunda forma, eu não
resolvi por completo.
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Obtive essa expressão bem aqui.
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Elas devem ser iguais entre si.
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Deixe-me escrever isso.
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Isso tem que ser igual a aquilo.
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Só olhamos de formas diferentes e
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obtivemos resultados diferentes.
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Mas eu ainda não sei o que é isso.
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Eu só deixei um pouco aberto.
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Só disse qualquer que seja
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a derivada de e elevado a x.
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Mas nós sabemos que como essas duas
expressões são iguais, sabemos
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que a derivada com relação
a x de e elevado
-
a x-- qualquer que seja o resultado
da derivada de
-
e elevado a x, nós sabemos que
quando a multiplicarmos
-
por um sobre e elevado a x--
isso é quando fizemos a
-
regra da cadeia-- deveríamos obter
o mesmo resultado
-
que quando resolvemos do outro modo.
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Aquilo deveria ser igual a essa
abordagem, pois são duas
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formas diferentes de olhar
para a derivada
-
do logaritmo natural de e elevado a x.
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Então aquilo deve ser igual a um.
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Estamos quase lá.
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Nós podemos simplificar isso
e resolver para a
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nossa derivada de e elevado a x.
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Multiplicando os dois lados da equação
por e elevado a x, e você
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tem que, a derivada com relação
a x de e elevado a x é
-
igual a e elevado a x.
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E eu quero esclarecer isso.
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Que em nenhum momento dessa prova
inteira, em nenhum ponto
-
eu assumi isso.
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Na verdade, essa é a primeira
vez que estou
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fazendo essa afirmação.
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Eu não tive que assumir isso
quando eu mostrei que
-
a derivada do logaritmo
natural de x é um sobre x.
-
E eu não tive que assumir isso
para chegar a isso.
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Então de forma alguma
essa prova é circular.
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De qualquer forma, eu não queria
parecer na defensiva, mas
-
eu queria esclarecer isso.
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Porque eu não quero culpar aqueles
que pensam que
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minha prova original era circular.
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É minha culpa, pois eu não
expliquei corretamente.
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Então espero que isso forneça mais
-
clareza a este problema.
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[Traduzido por: Victória]
[Revisado por: Evelin Farias]
