Chain rule example

Máme zde funkci f(x), která je přirozený
logaritmus z druhé odmocniny z x

a v tomto videu budeme
chtít spočítat derivaci f.

Hlavní je si uvědomit, že na f se můžeme
dívat jako na složení dvou funkcí.

Můžeme si to
i nakreslit.

Když do předpisu funkce f dosadíme x,
co uděláme jako první?

Nejprve spočítáme
jeho odmocninu.

Když do předpisu dosadíme nějaké x,
tak nejdříve spočítáme jeho odmocninu,

čímž dostaneme
odmocninu z x.

Co uděláme potom?

Máme tuto odmocninu
a spočítáme její přirozený logaritmus.

Můžeme se na to dívat tak,
že to dosadíme do jiné funkce,

která spočítá přirozený logaritmus
toho, co do ní dosadíme.

Dělám tady tyhle čtverečky,
aby bylo vidět, co kam dosazujeme.

Co nám
teď vyjde?

Vyjde nám přirozený
logaritmus z odmocniny z x,

což se rovná f(x).

Na f(x) se tedy můžeme dívat
jako na tento celý soubor,

nebo spíše celou
kombinaci těchto funkcí.

Toto je f(x), která je v zásadě
složením dvou funkcí.

Nejprve dosadíme do jedné funkce
a výsledek pak dosadíme do druhé funkce.

Máme zde tedy funkci ‚u‘, která spočítá
druhou odmocninu toho, co do ní dosadíme,

takže u(x) se rovná
odmocnina z x.

Výslednou hodnotu této funkce pak dosadíme
do další funkce, kterou si označíme ‚v‘.

Co dělá
funkce ‚v‘?

Spočítá přirozený logaritmus toho,
co do ní dosadíme.

V tomto případě, tedy v případě
funkce f, kterou jsem takto nakreslil,

‚v‘ spočítá
přirozený logaritmus...

Dosazujeme do ní
odmocninu z x,

takže spočítá přirozený
logaritmus odmocniny z x.

Kdybychom chtěli napsat ‚v‘ v bodě x,
tak to je přirozený logaritmus z x.

Vidíme, že f(x)...

Už jsem to dopředu
barevně označil.

f(x) se rovná přirozenému
logaritmu z odmocniny z x,

což je ‚v‘ v bodě odmocnina z x,
tedy ‚v‘ v bodě u(x).

Je to tedy
složená funkce,

což nám napovídá,
že když ji chceme zderivovat,

pravidlo pro derivaci složené
funkce se bude velmi hodit.

Pravidlo pro derivaci
složené funkce říká,

že f s čárkou v bodě x se rovná derivaci
vnější funkce podle této vnitřní funkce,

což je ‚v‘ s čárkou
v bodě u(x),

krát derivace této vnitřní funkce
podle x, což je ‚u‘ s čárkou v bodě x.

Jak tyto
věci spočítáme?

Víme, jak zderivovat
u(x) a v(x).

‚u‘ s čárkou
v bodě x se rovná...

Druhá odmocnina z x je totéž
jako x na jednu polovinu,

takže použijeme
derivaci mocniny.

Jednu polovinu napíšeme dopředu,
takže to bude (1 lomeno 2) krát x na...

Nyní musíme
exponent zmenšit o 1.

(1 lomeno 2) minus 1
je minus (1 lomeno 2).

Čemu se
rovná v(x)?

Pardon, čemu se rovná
‚v‘ s čárkou v bodě x?

Derivace přirozeného logaritmu z x
se rovná 1 lomeno x.

Ukázali jsme si to
v jiném videu.

Nyní už tedy víme, čemu se
rovná ‚u‘ s čárkou v bodě x.

Víme také, čemu se rovná
‚v‘ s čárkou v bodě x,

ale čemu se rovná
‚v‘ s čárkou v bodě u(x)?

‚v‘ s čárkou
v bodě u(x)...

Kdekoliv vidíme x,
musíme místo něj napsat...

Napíšu to
trochu lépe.

Musíme místo
něj napsat u(x),

takže ‚v‘ s čárkou v bodě u(x)
se rovná 1 lomeno u(x),

což se rovná
1 lomeno...

u(x) je odmocnina z x.

...1 lomeno
odmocnina z x.

Zjistili jsme tedy, že tohle se
rovná 1 lomeno odmocnina z x

a že ‚u‘ s čárkou v bodě x je
(1 lomeno 2) krát x na minus (1 lomeno 2).

x na minus
(1 lomeno 2)...

Tohle bych mohl přepsat jako (1 lomeno 2)
krát 1 lomeno (x na (1 lomeno 2)),

což je totéž jako (1 lomeno 2) krát
1 lomeno odmocnina z x,

což ještě mohu napsat jako
1 lomeno (2 krát odmocnina z x).

Čemu se tohle
tedy rovná?

To se rovná...

Napíšu to
zeleně.

‚v‘ s čárkou v bodě x je
1 lomeno odmocnina z x,

tohle krát ‚u‘ s čárkou v bodě x,
což je 1 lomeno (2 krát odmocnina z x).

Čemu se
rovná tohle?

Rovná se to...

Teď už je
to algebra.

...1 lomeno...

Máme zde 2 a odmocnina z x
krát odmocnina z x se rovná x,

takže se nám to zjednoduší na
1 lomeno (2 krát x).

Snad vám to
dává smysl.

Schválně jsem
to nakreslil,

abyste si zlepšili své schopnosti
v poznávání složených funkcí

a abyste lépe rozuměli některým výrazům
ve vzorci pro derivaci složené funkce,

které můžete vidět během hodiny
diferenciálního počtu nebo v učebnici.

S trochou cviku budete ale schopni
počítat, aniž byste psali tohle všechno.

Řeknete si: „Tohle je složená funkce, je
to přirozený logaritmus z odmocniny z x.“

„Je to ‚v‘ v bodě u(x),

takže musím zderivovat tuto vnější
funkci podle téhle vnitřní funkce.“

„Derivace přirozeného logaritmu z něčeho
podle toho něčeho je 1 lomeno to něco.“

Přesně to jsme
tady udělali.

Můžeme se na
to dívat tak...

Jaká by byla derivace
přirozeného logaritmu z x?

Bylo by to
1 lomeno x,

ale není to přirozený logaritmus z x,
nýbrž z odmocniny z x,

takže to bude
1 lomeno odmocnina z x.

Zderivujete tedy vnější funkci
podle vnitřní funkce

a pak vynásobíte derivací
vnitřní funkce podle x.

A máme hotovo.