Como o problema das pontes de Königsberg mudou a matemática — Dan Van der Vieren

Vejam a lição completa: http://ed.ted.com/lessons/how-the-konigsberg-bridge-problem-changed-mathematics-dan-van-der-vieren

Terão muita dificuldade em encontrar Königsberg em qualquer mapa moderno, mas uma certa peculiaridade na sua geografia tornou-a numa das cidades mais famosas da matemática. Dan Van der Vieren explica como a luta com o quebra-cabeças das sete pontes de Königsberg levou o conhecido matemático Leonhard Euler a inventor uma nova área da matemática.

Lição de Dan Van der Vieren, animação de Artrake Studio

Terão muita dificuldade em encontrar
Königsberg em qualquer mapa moderno,

mas uma certa peculiaridade
na sua geografia

tornou-a numa das cidades
mais famosas da matemática.

A cidade medieval germânica situava-se
de ambos os lados do Rio Pregel.

No centro havia duas grandes ilhas.

As duas ilhas estavam ligadas
uma à outra e às margens do rio

por sete pontes.

Carl Gottlieb Ehler, um matemático

que veio a ser o prefeito
duma cidade vizinha,

começou a ficar obcecado
com estas ilhas e pontes.

Voltava sempre a uma única pergunta:

Que caminho permitiria que uma pessoa
atravessasse as sete pontes

sem cruzar nenhuma delas
mais do que uma vez?

Pensem nisso por instantes.

Desistem?

É melhor.

Não é possível.

Mas a tentativa de explicar porquê,

levou Leonhard Euler,
o conhecido matemático,

a inventar uma nova área da matemática.

Carl escreveu a Euler, pedindo ajuda
para o problema.

A princípio, Euler achou que o problema
não tinha nada a ver com a matemática.

Mas quanto mais pensava nisso,

mais lhe parecia que, afinal,
podia haver ali qualquer coisa.

A resposta que encontrou
tinha a ver com um tipo de geometria

que ainda não existia
e a que ele chamou a Geometria de Posição,

hoje conhecida por Teoria dos Grafos.

A primeira conclusão de Euler

foi que o caminho tomado entre a entrada
de uma ilha ou de uma margem do rio

e a sua saída não era importante.

Portanto, o mapa podia ser simplificado
representando por um simples ponto

cada uma das quatro massas terrestres,

aquilo a que hoje chamamos um nodo.

As pontes seriam representadas
por linhas, ou arestas, entre elas.

Este grafo simplificado permite-nos
contar facilmente os graus de cada nodo.

É o número de pontes
em que cada massa terrestre toca.

Porque é que estes graus são importantes?

Segundo as regras do problema,

quando os viajantes chegassem
a uma massa terrestre por uma ponte,

teriam que sair de lá
por uma ponte diferente.

Por outras palavras, as pontes
que chegavam a um nodo

e as que dele saiam

tinham que ocorrer em pares distintos,

ou seja, o número de pontes que tocavam
em cada massa terrestre visitada

teria que ser par.

As únicas exceções possíveis seriam

a localização do início
e a do fim da caminhada.

Olhando para o grafo, verifica-se

que todos os quatro nodos
têm um grau ímpar.

Assim, seja qual for o caminho escolhido,

a certa altura, seria necessário
cruzar duas vezes a mesma ponte.

Euler usou esta prova
para formular uma teoria geral

que se aplica a todos os grafos
com dois ou mais nodos.

Um caminho euleriano
que visita cada aresta apenas uma vez

só é possível num de dois cenários.

O primeiro é quando há exatamente
dois nodos de grau ímpar,

o que significa que todos os restantes
são pares.

Aí, o ponto de partida
é um dos nodos ímpar

e o ponto de chegada é o outro.

O segundo é quando todos os nodos
são de grau par.

Aí, o caminho euleriano pode começar
e terminar no mesmo local

o que também lhe dá o nome
de circuito euleriano.

Então, como podíamos criar
um caminho euleriano em Konigsberg?

Muito simplesmente.

Basta retirar qualquer uma das pontes.

Acontece que a História criou
um caminho euleriano, por si mesma.

Durante a II Guerra Mundial,

a Força Aérea Soviética destruiu
duas das pontes da cidade,

possibilitando um caminho euleriano.

Mas, para ser franco, provavelmente
a intenção deles não era essa.

Esse bombardeamento quase varreu
Konigsberg do mapa

que foi posteriormente reconstruída
como a cidade russa de Kaliningrado.

Embora Konigsberg e as suas sete pontes
talvez já não existam,

serão recordadas na História

por este quebra-cabeças
aparentemente trivial

que levou ao aparecimento
de toda uma nova área da matemática.