Terão muita dificuldade em encontrar Königsberg em qualquer mapa moderno,
mas uma certa peculiaridade na sua geografia
tornou-a numa das cidades mais famosas da matemática.
A cidade medieval germânica situava-se de ambos os lados do Rio Pregel.
No centro havia duas grandes ilhas.
As duas ilhas estavam ligadas uma à outra e às margens do rio
por sete pontes.
Carl Gottlieb Ehler, um matemático
que veio a ser o prefeito duma cidade vizinha,
começou a ficar obcecado com estas ilhas e pontes.
Voltava sempre a uma única pergunta:
Que caminho permitiria que uma pessoa atravessasse as sete pontes
sem cruzar nenhuma delas mais do que uma vez?
Pensem nisso por instantes.
Desistem?
É melhor.
Não é possível.
Mas a tentativa de explicar porquê,
levou Leonhard Euler, o conhecido matemático,
a inventar uma nova área da matemática.
Carl escreveu a Euler, pedindo ajuda para o problema.
A princípio, Euler achou que o problema não tinha nada a ver com a matemática.
Mas quanto mais pensava nisso,
mais lhe parecia que, afinal, podia haver ali qualquer coisa.
A resposta que encontrou tinha a ver com um tipo de geometria
que ainda não existia e a que ele chamou a Geometria de Posição,
hoje conhecida por Teoria dos Grafos.
A primeira conclusão de Euler
foi que o caminho tomado entre a entrada de uma ilha ou de uma margem do rio
e a sua saída não era importante.
Portanto, o mapa podia ser simplificado representando por um simples ponto
cada uma das quatro massas terrestres,
aquilo a que hoje chamamos um nodo.
As pontes seriam representadas por linhas, ou arestas, entre elas.
Este grafo simplificado permite-nos contar facilmente os graus de cada nodo.
É o número de pontes em que cada massa terrestre toca.
Porque é que estes graus são importantes?
Segundo as regras do problema,
quando os viajantes chegassem a uma massa terrestre por uma ponte,
teriam que sair de lá por uma ponte diferente.
Por outras palavras, as pontes que chegavam a um nodo
e as que dele saiam
tinham que ocorrer em pares distintos,
ou seja, o número de pontes que tocavam em cada massa terrestre visitada
teria que ser par.
As únicas exceções possíveis seriam
a localização do início e a do fim da caminhada.
Olhando para o grafo, verifica-se
que todos os quatro nodos têm um grau ímpar.
Assim, seja qual for o caminho escolhido,
a certa altura, seria necessário cruzar duas vezes a mesma ponte.
Euler usou esta prova para formular uma teoria geral
que se aplica a todos os grafos com dois ou mais nodos.
Um caminho euleriano que visita cada aresta apenas uma vez
só é possível num de dois cenários.
O primeiro é quando há exatamente dois nodos de grau ímpar,
o que significa que todos os restantes são pares.
Aí, o ponto de partida é um dos nodos ímpar
e o ponto de chegada é o outro.
O segundo é quando todos os nodos são de grau par.
Aí, o caminho euleriano pode começar e terminar no mesmo local
o que também lhe dá o nome de circuito euleriano.
Então, como podíamos criar um caminho euleriano em Konigsberg?
Muito simplesmente.
Basta retirar qualquer uma das pontes.
Acontece que a História criou um caminho euleriano, por si mesma.
Durante a II Guerra Mundial,
a Força Aérea Soviética destruiu duas das pontes da cidade,
possibilitando um caminho euleriano.
Mas, para ser franco, provavelmente a intenção deles não era essa.
Esse bombardeamento quase varreu Konigsberg do mapa
que foi posteriormente reconstruída como a cidade russa de Kaliningrado.
Embora Konigsberg e as suas sete pontes talvez já não existam,
serão recordadas na História
por este quebra-cabeças aparentemente trivial
que levou ao aparecimento de toda uma nova área da matemática.