WEBVTT

00:00:09.036 --> 00:00:14.106
Terão muita dificuldade em encontrar
Königsberg em qualquer mapa moderno,

00:00:14.106 --> 00:00:17.575
mas uma certa peculiaridade
na sua geografia

00:00:17.575 --> 00:00:21.435
tornou-a numa das cidades
mais famosas da matemática.

00:00:22.205 --> 00:00:26.214
A cidade medieval germânica situava-se
de ambos os lados do Rio Pregel.

00:00:26.214 --> 00:00:28.875
No centro havia duas grandes ilhas.

00:00:28.875 --> 00:00:33.204
As duas ilhas estavam ligadas
uma à outra e às margens do rio

00:00:33.204 --> 00:00:34.974
por sete pontes.

00:00:35.884 --> 00:00:38.296
Carl Gottlieb Ehler, um matemático

00:00:38.296 --> 00:00:41.296
que veio a ser o prefeito
duma cidade vizinha,

00:00:41.296 --> 00:00:44.395
começou a ficar obcecado
com estas ilhas e pontes.

00:00:44.395 --> 00:00:47.205
Voltava sempre a uma única pergunta:

00:00:47.205 --> 00:00:51.095
Que caminho permitiria que uma pessoa
atravessasse as sete pontes

00:00:51.095 --> 00:00:54.276
sem cruzar nenhuma delas
mais do que uma vez?

00:00:55.136 --> 00:00:56.866
Pensem nisso por instantes.

00:01:03.996 --> 00:01:05.076
Desistem?

00:01:05.076 --> 00:01:06.198
É melhor.

00:01:06.198 --> 00:01:07.513
Não é possível.

00:01:07.673 --> 00:01:10.036
Mas a tentativa de explicar porquê,

00:01:10.036 --> 00:01:12.778
levou Leonhard Euler,
o conhecido matemático,

00:01:12.778 --> 00:01:15.997
a inventar uma nova área da matemática.

00:01:15.997 --> 00:01:18.648
Carl escreveu a Euler, pedindo ajuda
para o problema.

00:01:18.888 --> 00:01:23.367
A princípio, Euler achou que o problema
não tinha nada a ver com a matemática.

00:01:23.367 --> 00:01:25.316
Mas quanto mais pensava nisso,

00:01:25.316 --> 00:01:28.507
mais lhe parecia que, afinal,
podia haver ali qualquer coisa.

00:01:29.277 --> 00:01:33.166
A resposta que encontrou
tinha a ver com um tipo de geometria

00:01:33.166 --> 00:01:38.608
que ainda não existia
e a que ele chamou a Geometria de Posição,

00:01:38.608 --> 00:01:41.137
hoje conhecida por Teoria dos Grafos.

00:01:41.897 --> 00:01:43.783
A primeira conclusão de Euler

00:01:43.783 --> 00:01:48.687
foi que o caminho tomado entre a entrada
de uma ilha ou de uma margem do rio

00:01:48.687 --> 00:01:50.708
e a sua saída não era importante.

00:01:50.708 --> 00:01:54.427
Portanto, o mapa podia ser simplificado
representando por um simples ponto

00:01:54.427 --> 00:01:56.717
cada uma das quatro massas terrestres,

00:01:56.717 --> 00:01:59.257
aquilo a que hoje chamamos um nodo.

00:01:59.487 --> 00:02:04.198
As pontes seriam representadas
por linhas, ou arestas, entre elas.

00:02:04.428 --> 00:02:09.299
Este grafo simplificado permite-nos
contar facilmente os graus de cada nodo.

00:02:09.619 --> 00:02:12.579
É o número de pontes
em que cada massa terrestre toca.

00:02:12.709 --> 00:02:14.968
Porque é que estes graus são importantes?

00:02:14.968 --> 00:02:17.048
Segundo as regras do problema,

00:02:17.048 --> 00:02:20.678
quando os viajantes chegassem
a uma massa terrestre por uma ponte,

00:02:20.678 --> 00:02:23.800
teriam que sair de lá
por uma ponte diferente.

00:02:23.800 --> 00:02:26.558
Por outras palavras, as pontes
que chegavam a um nodo

00:02:26.558 --> 00:02:28.368
e as que dele saiam

00:02:28.368 --> 00:02:30.707
tinham que ocorrer em pares distintos,

00:02:30.707 --> 00:02:34.417
ou seja, o número de pontes que tocavam
em cada massa terrestre visitada

00:02:34.417 --> 00:02:36.268
teria que ser par.

00:02:36.368 --> 00:02:39.239
As únicas exceções possíveis seriam


00:02:39.239 --> 00:02:42.267
a localização do início
e a do fim da caminhada.

00:02:42.267 --> 00:02:44.378
Olhando para o grafo, verifica-se

00:02:44.378 --> 00:02:47.218
que todos os quatro nodos
têm um grau ímpar.

00:02:47.218 --> 00:02:49.337
Assim, seja qual for o caminho escolhido,

00:02:49.337 --> 00:02:53.440
a certa altura, seria necessário
cruzar duas vezes a mesma ponte.

00:02:54.230 --> 00:02:57.839
Euler usou esta prova
para formular uma teoria geral

00:02:57.839 --> 00:03:01.461
que se aplica a todos os grafos
com dois ou mais nodos.

00:03:01.801 --> 00:03:05.910
Um caminho euleriano 
que visita cada aresta apenas uma vez

00:03:05.910 --> 00:03:08.959
só é possível num de dois cenários.

00:03:09.459 --> 00:03:13.769
O primeiro é quando há exatamente
dois nodos de grau ímpar,

00:03:13.769 --> 00:03:16.310
o que significa que todos os restantes
são pares.

00:03:16.310 --> 00:03:19.659
Aí, o ponto de partida
é um dos nodos ímpar

00:03:19.659 --> 00:03:21.770
e o ponto de chegada é o outro.

00:03:22.680 --> 00:03:26.091
O segundo é quando todos os nodos
são de grau par.

00:03:26.091 --> 00:03:31.081
Aí, o caminho euleriano pode começar
e terminar no mesmo local

00:03:31.081 --> 00:03:34.318
o que também lhe dá o nome
de circuito euleriano.

00:03:34.888 --> 00:03:38.200
Então, como podíamos criar
um caminho euleriano em Konigsberg?

00:03:38.200 --> 00:03:39.482
Muito simplesmente.

00:03:39.482 --> 00:03:41.652
Basta retirar qualquer uma das pontes.

00:03:41.652 --> 00:03:45.710
Acontece que a História criou
um caminho euleriano, por si mesma.

00:03:46.080 --> 00:03:47.663
Durante a II Guerra Mundial,

00:03:47.663 --> 00:03:50.682
a Força Aérea Soviética destruiu
duas das pontes da cidade,

00:03:50.682 --> 00:03:53.531
possibilitando um caminho euleriano.

00:03:53.831 --> 00:03:57.241
Mas, para ser franco, provavelmente
a intenção deles não era essa.

00:03:57.441 --> 00:04:00.781
Esse bombardeamento quase varreu
Konigsberg do mapa

00:04:00.781 --> 00:04:04.910
que foi posteriormente reconstruída
como a cidade russa de Kaliningrado.

00:04:05.200 --> 00:04:09.083
Embora Konigsberg e as suas sete pontes
talvez já não existam,

00:04:09.083 --> 00:04:11.940
serão recordadas na História

00:04:11.940 --> 00:04:13.618
por este quebra-cabeças
aparentemente trivial

00:04:13.618 --> 00:04:17.662
que levou ao aparecimento
de toda uma nova área da matemática.