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Bem, me pediram para fazer a prova da derivada
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da raiz quadrada de x, então eu pensei em fazer um vídeo rápido
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sobre a prova da derivada da
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raiz quadrada de x.
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Sabemos pela definição de uma derivada que
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a derivada da função quadrada de x, que é igual ao...
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- deixe-me alterar a cor, só pra variar - que é igual ao
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limite de delta x tendendo a 0.
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E, sabe, alguns podem dizer "quando h tende a 0",
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ou d tende a 0.
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Eu uso apenas delta x.
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Então a mudança em x sobre 0.
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E então dizemos f de x multiplicado por delta x, então nesse
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caso este é o f de x.
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Então, é a raiz quadrada de x mais delta x, menos f de x que,
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nesse caso, é a raiz quadrada de x.
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Tudo isso sobre a "mudança em x", sobre o delta x.
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Então, o que eu vou fazer, sabe,
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agora, quando eu olho pra isso, não há muita simplificação
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que eu possa fazer para isso se tornar algo mais claro.
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Vou multiplicar esta fração pelo
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Vou multiplicar o numerador e o denominador
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pelo conjugado do numerador, é o que eu
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quero dizer com isso.
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Deixe-me escrever isso.
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Limite é o delta de x tendendo a 0 - só estou reescrevendo
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o que tenho aqui.
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Então, eu disse que a raiz quadrada de x mais delta x, menos
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a raiz quadrada de x.
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Tudo isso sobre o delta x.
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E eu vou multiplicar isso - depois de mudar a cor -
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pela raiz quadrada de x mais delta x, mais a raiz quadrada
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de x, sobre a raiz quadrada de x mais delta x mais a
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raiz quadrada de x.
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Isso é apenas 1, então claro que eu poderia multiplicar por isso -
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se assumirmos que x e delta x são ambos diferente de 0,
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este é um número definido e será 1
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e podemos fazer isso.
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Isso é 1/1, só estamos multiplicando isso pela
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equação, e obtemos o limite de delta x tendendo a zero.
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Isso é "a - b" vezes "a + b".
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Deixe-me anotar isso aqui ao lado.
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Deixe-me dizer "a + b" vezes "a - b" é igual ao
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quadrado de a menos o quadrado de b
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então isso é "a + b" vezes "a - b".
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Então isso será igual ao quadrado de a.
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Então qual é o quadrado desta quantidade ou o quadrado desta quantidade,
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qualquer uma destas, estes são meus a's.
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Bem, isso será apenas "x vezes delta x".
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Então temos "x vezes delta x".
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E então, o que será o quadrado de b?
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Então, "menos raiz quadrada de x" é o b nessa analogia.
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Então a a raiz quadrada do quadrado de x é só o x.
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E tudo isso sobre "delta x vezes a raiz quadrada de x"
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mais delta x mais a raiz quadrada de x.
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Vejamos que simplificação podemos fazer.
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Bem, temos um "x" e um "- x", então eles se
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cancelam. X e -X.
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E então temos o numerador e o denominador
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só temos um delta x aqui e um delta x aqui, então vamos
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dividir o numerador e o denominador por denta x.
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Isso se torna 1 e isso se torna 1.
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E então isso é igual ao limite - vou escrever menor porque estou
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sem espaço - limite de delta x tendendo a zero, de 1 sobre -
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e só podemos fazer isso assumindo que delta - bem
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estamos dividindo delta x pra começar, então sabemos
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que não é zero, só tende a zero.
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então temos a raiz quadrada de x mais delta x
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mais a raiz quadrada de x
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e agora podemos apenas tirar o limite
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que tende a zero.
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Nós podemos definir delta x como zero.
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Essa é a sua tendências.
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Então, isso dá 1 sobre a raiz quadrada de x.
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Certo, delta x é 0, então podemos ignorá-lo.
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Podemos levar o limite até o zero.
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E então, isto é, claro, só uma raiz quadrada de x aqui, mais
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a raiz quadrada de x, e isso vai dar 1 sobre
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2 vezes a raiz quadrada de x.
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e isso resulta em 1/2 x elevado à 1/2 negativo.
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Então provamos que x elevado a 1/2 potência, a derivada disso
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é 1/2 x elevado à 1/2 negativo, e isso é consistente com
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a propriedade geral de que a derivada de - hum, não sei -
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a derivada de x elevado a n é igual a nx elevado a
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n -1, mesmo nesse caso, quando n era 1/2.
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Bem, espero que isso seja satisfatório.
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Eu não provei para todas as frações, mas este é um começo.
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Esse é comum, como pode ver, a raiz quadrada de x e,
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espera-se, não muito complicado de provar.
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Te vejo nos próximos vídeos.
