Bem, me pediram para fazer a prova da derivada
da raiz quadrada de x, então eu pensei em fazer um vídeo rápido
sobre a prova da derivada da
raiz quadrada de x.
Sabemos pela definição de uma derivada que
a derivada da função quadrada de x, que é igual ao...
- deixe-me alterar a cor, só pra variar - que é igual ao
limite de delta x tendendo a 0.
E, sabe, alguns podem dizer "quando h tende a 0",
ou d tende a 0.
Eu uso apenas delta x.
Então a mudança em x sobre 0.
E então dizemos f de x multiplicado por delta x, então nesse
caso este é o f de x.
Então, é a raiz quadrada de x mais delta x, menos f de x que,
nesse caso, é a raiz quadrada de x.
Tudo isso sobre a "mudança em x", sobre o delta x.
Então, o que eu vou fazer, sabe,
agora, quando eu olho pra isso, não há muita simplificação
que eu possa fazer para isso se tornar algo mais claro.
Vou multiplicar esta fração pelo
Vou multiplicar o numerador e o denominador
pelo conjugado do numerador, é o que eu
quero dizer com isso.
Deixe-me escrever isso.
Limite é o delta de x tendendo a 0 - só estou reescrevendo
o que tenho aqui.
Então, eu disse que a raiz quadrada de x mais delta x, menos
a raiz quadrada de x.
Tudo isso sobre o delta x.
E eu vou multiplicar isso - depois de mudar a cor -
pela raiz quadrada de x mais delta x, mais a raiz quadrada
de x, sobre a raiz quadrada de x mais delta x mais a
raiz quadrada de x.
Isso é apenas 1, então claro que eu poderia multiplicar por isso -
se assumirmos que x e delta x são ambos diferente de 0,
este é um número definido e será 1
e podemos fazer isso.
Isso é 1/1, só estamos multiplicando isso pela
equação, e obtemos o limite de delta x tendendo a zero.
Isso é "a - b" vezes "a + b".
Deixe-me anotar isso aqui ao lado.
Deixe-me dizer "a + b" vezes "a - b" é igual ao
quadrado de a menos o quadrado de b
então isso é "a + b" vezes "a - b".
Então isso será igual ao quadrado de a.
Então qual é o quadrado desta quantidade ou o quadrado desta quantidade,
qualquer uma destas, estes são meus a's.
Bem, isso será apenas "x vezes delta x".
Então temos "x vezes delta x".
E então, o que será o quadrado de b?
Então, "menos raiz quadrada de x" é o b nessa analogia.
Então a a raiz quadrada do quadrado de x é só o x.
E tudo isso sobre "delta x vezes a raiz quadrada de x"
mais delta x mais a raiz quadrada de x.
Vejamos que simplificação podemos fazer.
Bem, temos um "x" e um "- x", então eles se
cancelam. X e -X.
E então temos o numerador e o denominador
só temos um delta x aqui e um delta x aqui, então vamos
dividir o numerador e o denominador por denta x.
Isso se torna 1 e isso se torna 1.
E então isso é igual ao limite - vou escrever menor porque estou
sem espaço - limite de delta x tendendo a zero, de 1 sobre -
e só podemos fazer isso assumindo que delta - bem
estamos dividindo delta x pra começar, então sabemos
que não é zero, só tende a zero.
então temos a raiz quadrada de x mais delta x
mais a raiz quadrada de x
e agora podemos apenas tirar o limite
que tende a zero.
Nós podemos definir delta x como zero.
Essa é a sua tendências.
Então, isso dá 1 sobre a raiz quadrada de x.
Certo, delta x é 0, então podemos ignorá-lo.
Podemos levar o limite até o zero.
E então, isto é, claro, só uma raiz quadrada de x aqui, mais
a raiz quadrada de x, e isso vai dar 1 sobre
2 vezes a raiz quadrada de x.
e isso resulta em 1/2 x elevado à 1/2 negativo.
Então provamos que x elevado a 1/2 potência, a derivada disso
é 1/2 x elevado à 1/2 negativo, e isso é consistente com
a propriedade geral de que a derivada de - hum, não sei -
a derivada de x elevado a n é igual a nx elevado a
n -1, mesmo nesse caso, quando n era 1/2.
Bem, espero que isso seja satisfatório.
Eu não provei para todas as frações, mas este é um começo.
Esse é comum, como pode ver, a raiz quadrada de x e,
espera-se, não muito complicado de provar.
Te vejo nos próximos vídeos.