线性代数：相同行的行列式
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0:01 - 0:05假设我有一个矩阵A，A的形状是n×n
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0:05 - 0:07所以它看着大概是这样的
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0:07 - 0:11之前你都看过了，a11,a12一直到
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0:11 - 0:14a1n
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0:14 - 0:17然后往下走一行得到a21一直到
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0:17 - 0:19a2n
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0:19 - 0:22然后假设这里某一行，第i行
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0:22 - 0:28这看着是ai1一直到ain
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0:28 - 0:34然后你还有一行j，里面是aj1一直到
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0:34 - 0:36ajn
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0:36 - 0:42然后一直到an1,an1
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0:42 - 0:45一直到ann
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0:45 - 0:48这就是一个n×n矩阵，我专门花了点时间
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0:48 - 0:54写出了第i行
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0:54 - 0:55和第j行
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0:55 - 0:58然后为了让事情更简单点
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0:58 - 1:03让我定义一下……因为一些符号上的原因
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1:03 - 1:05如果你想，你可以把这些当做行向量
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1:05 - 1:07但我还没有正式定义行向量
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1:07 - 1:09所以我就先不这么叫了
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1:09 - 1:15让我定义ri，称为第i行，等于
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1:15 - 1:24ai1,ai2一直到ain
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1:24 - 1:25如果你想，你可以
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1:25 - 1:26将其写成行向量那样
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1:26 - 1:29我们还没定义行向量上的运算
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1:29 - 1:31但我估计你大概了解了
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1:31 - 1:35我们可以用r1代替这个，用r2代替这个
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1:35 - 1:36一直下去
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1:36 - 1:37我在之后几个视频里
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1:37 - 1:40也会这么写，因为这样简单点
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1:40 - 1:42让事情更好理解了
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1:42 - 1:47所以我可以将这个n×n矩阵
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1:47 - 1:51通过ri来重写
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1:51 - 1:53这看着像一个向量
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1:53 - 1:56这是一个行向量
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1:56 - 1:59我照着向量的方式写
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1:59 - 2:01这我有点偷懒了因为之前
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2:01 - 2:04我们的向量都是列向量，但我觉得
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2:04 - 2:05你应该懂了
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2:05 - 2:10那这个叫r1，下一行是r2
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2:10 - 2:12一直往下
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2:12 - 2:15一直往下到ri，就是这一行
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2:15 - 2:17ri
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2:17 - 2:24然后继续往下，到rj，然后你
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2:24 - 2:25一直到第n行
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2:25 - 2:28然后这里每一个都会包含n项，因为
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2:28 - 2:30矩阵总共有n列
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2:30 - 2:31这是同一个n×n
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2:31 - 2:34矩阵的另一种写法
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2:34 - 2:37现在，我要创建一个新的
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2:37 - 2:41矩阵，矩阵里的
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2:41 - 2:44i和j对调
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2:44 - 2:47我要将这i和j这两行对调
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2:47 - 2:49那这个矩阵是什么样呢？
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2:49 - 2:51其它的都相等
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2:51 - 2:55这里还是第一行，在i或者j不等于1的假设前提下
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2:55 - 2:56当然这也是有可能的
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2:56 - 3:01第二行，一直到……这里会到第j行
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3:01 - 3:05而不是第i行，然后再往下你会到
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3:05 - 3:09第i行而不是第j行
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3:09 - 3:12之后一直到rn
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3:12 - 3:13那我们都干了些什么？我们将这两个对调了
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3:13 - 3:15那我们都干了些什么？我们将这两个对调了
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3:15 - 3:17这个对调矩阵是这样的
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3:17 - 3:19如果我没记错的话，几个视频之前
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3:19 - 3:23我们学过假如你对调任意一个n×n矩阵里的两行
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3:23 - 3:28结果是新的矩阵的行列式是
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3:28 - 3:31原本行列式的负数
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3:31 - 3:38所以我们会得到i和j行对调的S的行列式
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3:38 - 3:42等于A的行列式的
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3:42 - 3:43负数
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3:46 - 3:49那现在我有个问题想问你们
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3:49 - 3:53假如这两行是一样的呢？
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3:53 - 3:58假如说ri等于rj
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3:58 - 4:02回头看一下，这就代表所有这些
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4:02 - 4:05等于这一行
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4:05 - 4:09这个元素等于这个，然后
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4:09 - 4:11这一行的第二列一直到第n个元素
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4:11 - 4:14等于这里的第n个元素
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4:14 - 4:17我刚说两行相等
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4:17 - 4:18就是这个意思
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4:18 - 4:21假如这两行相等的话，那这个矩阵
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4:21 - 4:24和这个矩阵就没区别了，尽管我们做了对调
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4:24 - 4:25和这个矩阵就没区别了，尽管我们做了对调
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4:25 - 4:27假如你对调两个完全相等的行
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4:27 - 4:30那结果是一样的
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4:30 - 4:36让我把这写下来，假如i行等于
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4:36 - 4:42j行，那么这个对调后的矩阵S
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4:42 - 4:45等于A
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4:45 - 4:46它们完全相同
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4:46 - 4:48你对调了完全一样的两行
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4:48 - 4:56这就表明对调后的矩阵的行列式
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4:56 - 4:59等于A的行列式
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4:59 - 5:01但我们说过，对调矩阵里的
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5:01 - 5:04两行，新的行列式等于A的行列式的负数
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5:04 - 5:08所以这必须等于A的行列式
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5:08 - 5:10的负数
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5:10 - 5:11这说明什么？
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5:11 - 5:15这说明如果两行相等
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5:15 - 5:20然后我将它们对调，行列式会
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5:20 - 5:22变成负数，但假如两行相等
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5:22 - 5:25我们得到同样的矩阵
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5:25 - 5:30所以假如A里有两行相等，假如i行
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5:30 - 5:33等于j行，那么A的行列式
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5:33 - 5:35必须等于负的A的行列式
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5:35 - 5:38因为对调前后的A是相等的
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5:38 - 5:41但是对调之后的行列式
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5:41 - 5:43又必须是原本A的行列式的负数
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5:43 - 5:45所以这两个必须相等
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5:45 - 5:49那什么数字等于其负数呢？
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5:49 - 5:53假如我告诉你x等于-x
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5:53 - 5:56那x等于什么数？
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5:56 - 5:59只有一种可能
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5:59 - 6:03x必须等于0
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6:03 - 6:08所以结论是，假如你有相同的两行
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6:08 - 6:13你还可以延伸到三或者四行都相同
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6:13 - 6:18那这个矩阵的
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6:18 - 6:22行列式等于0
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6:22 - 6:24这个结果其实不是意料之外
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6:24 - 6:27想想我们很早之前学的
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6:27 - 6:28假如两行相同
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6:28 - 6:39我们知道一个矩阵是可逆的，当且仅当
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6:39 - 6:45它的行最简形矩阵是单位矩阵
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6:45 - 6:46这是我们之前讲过的
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6:46 - 6:51但假如你有两行相同，假设
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6:51 - 6:54这两行相等，那么你可以
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6:54 - 6:57将这行替换成这行减去另一行
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6:57 - 6:59你就得到了一行0
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6:59 - 7:02当你有了一行0之后，你不可能
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7:02 - 7:03再得到单位矩阵了
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7:03 - 7:15所以我们知道在有相同行的情况下
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7:15 - 7:19行最简形矩阵不可能是单位矩阵
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7:19 - 7:21或者说有相同行的矩阵是不可逆的
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7:26 - 7:28我们还学过一个矩阵不可逆
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7:28 - 7:30当且仅当它的行列式为0
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7:34 - 7:37两个不同的方法给出的结果是一样的
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7:37 - 7:39第一种方法，我们用之前的知识
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7:39 - 7:41当你对调两行的时候，行列式变成负数
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7:41 - 7:43但你如果换相同的两行，那矩阵不会改变
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7:43 - 7:45所以行列式要等于
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7:45 - 7:46之前的行列式
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7:46 - 7:49所以如果你有相同的两行，行列式是0
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7:49 - 7:52但我们也可以不用这个
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7:52 - 7:55对调的方法，我们可以回到
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7:55 - 7:58可逆矩阵的要求，我记得应该是
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7:58 - 7:59五六个视频之前
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7:59 - 8:00我想指出来
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8:00 - 8:02如果你看见相同的几行
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8:02 - 8:04或者相同的列——这个你要
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8:04 - 8:07自己想想——如果你看见相同的行
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8:07 - 8:10或者列，甚至如果你看见某一行
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8:10 - 8:12是另外一行的线性组合——这里我也先不举例了——
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8:12 - 8:15那你就知道
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8:15 - 8:18你的行列式等于0
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- 线性代数：相同行的行列式
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一个有相同的行的矩阵的行列式
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https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations/determinant_depth/v/linear-algebra-determinant-when-row-is-added?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra可汗学院的线性代数：您是否想知道速率和速度之间的区别是什么？ 是否曾尝试在四个维度或六个或七个维度中进行可视化？ 线性代数以二维方式描述事物，但是许多概念可以扩展为三个，四个或更多维度。 线性代数表示二维论证，但是，线性代数涵盖的概念为描述多维空间的数学论证提供了基础。 矩阵，向量，向量空间，变换，特征向量/值都有助于我们可视化和理解多维概念。 这是一门高级课程，通常由科学或工程专业的学生修完至少两个学期的微积分（尽管微积分并不是先修课程）后才上，因此不要将其与普通的高中代数相混淆。
关于可汗学院：可汗学院提供练习，教学视频和个性化的学习进度表，使学习者可以在教室内外按自己的步调学习。我们提供数学，科学，计算机编程，历史，艺术史，经济学等等学科的内容。我们的数学任务使用最先进的自适应技术来指导学生从幼儿园到微积分的学习. 这些技术可以识别学习中的优势和差距。我们还与NASA，现代艺术博物馆，加利福尼亚科学院和MIT等机构合作，提供专门的内容。
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