-
-
-
Bir A matrisimiz var, diyelim, n'ye n matrisi.
-
-
-
Buna daha önce gördünüz, a 1 1, a 1 2, a 1 n'ye kadar.
-
-
-
Bir sonraki satır ise, a 2 1'den a 2 n'ye kadar.
-
-
-
Şurada bir satır alalım, i satırı diyelim, a i 1'den a i n'ye kadar.
-
-
-
Bir satır daha alalım, j satırı, a j 1'den a j n'ye kadar.
-
-
-
Ve matris n'inci satıra kadar gidiyor, a n 1, a n 2, a n n'ye kadar.
-
-
-
Bu bir n'ye n matrisi, yalnızca i ve j satırlarını ayrıca yazdım.
-
-
-
-
-
İşleri basit tutmak için kısa bir tanım vereceğim.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
r i diye bir terim tanımlayalım, i satırı diyoruz, eşittir a i 1, a i 2, a i n'ye kadar.
-
-
-
İsterseniz bunu bir satır vektörü olarak da yazabilirsiniz.
-
-
-
Satır vektörleri üzerinde henüz işlem tanımlamadık, ama anlamakta zorlanacağınızı sanmıyorum.
-
-
-
Şimdi bu arkadaş yerine r 1, şu arkadaş yerine r 2 yazabilirim. Aşağıya kadar böyle yaparım.
-
-
-
Böyle yapalım ve bu notasyonu önümüzdeki birkaç videoda kullanalım, çünkü sanıyorum, anlamanızı kolaylaştıracak.
-
-
-
-
-
Şimdi bu A matrisini r i olarak yazabilirim.
-
-
-
Aslında bu vektöre benziyor, satır vektörü.
-
-
-
Şöyle vektör olarak yazayım.
-
Burada biraz fazla rahat davranıyorum. Aslında tüm vektörleri sütun vektörü olarak tanımlamıştık, ama neyse, anlıyorsunuz sanıyorum.
-
-
-
-
-
O zaman buna r 1 diyelim, bir sonraki satır r 2, ta aşağıya kadar.
-
-
-
Aşağı doğru giderken, r i'ye rastlarsınız. Bu satır, r i.
-
-
-
Sonra da r j'yi görürsünüz ve en sonunda n'inci satıra ulaşırsınız.
-
-
-
Bu arkadaşların her birinin n adet terimi olacak, çünkü n adet sütununuz var.
-
-
-
Bu, bu n'ye n matrisini yazmanın farklı bir yolu.
-
-
-
Şimdi yeni bir matris yaratıyorum, i ve j'nin değiş tokuş matrisi.
-
-
-
-
-
Şu iki satırı, i ve j'yi değiş tokuş edeceğim.
-
Yeni matris neye benzeyecek?
-
Diğer terimler aynı kalacak.
-
Birinci satır - eğer i veya j satırlarından biri değilse, ki olabilir-
-
-
-
İkinci satır. Şimdi burada i satırı yerine j satırı ve şurada j satırı yerine i satırı olacak.
-
-
-
-
-
Ve r n'ye kadar aşağı ineriz.
-
Ne yapmış olduk?
-
Şu iki arkadaşı değiş tokuş ettik.
-
Değiş tokuş matrisi bu demek.
-
Sanıyorum bir önceki videoda veya birkaç video önce, n'ye n matrisinin iki satırını değiş tokuş ettiğinizde ortaya çıkan matrisin determinantının orijinal determinantın eksilisi olduğunu öğrenmiştik.
-
-
-
-
-
-
-
Yani S matrisinin determinantını A'nın determinantının eksilisi olarak buluyoruz.
-
-
-
-
-
-
-
Şimdi size ilginç bir soru sorayım.
-
Peki, bu iki satır aynı olursa, ne olur?
-
r i, r j'ye eşit olursa?
-
Bu satır, şu satıra eşit olursa?
-
-
-
Bu demektir ki, bu satırlardaki her sütunun elemanları birbirine eşit olacak.
-
-
-
-
-
İki satırın birbirine eşit olması bu demek.
-
-
-
Bu iki satır birbirine eşit ise, değiş tokuşa rağmen bu matris şu matrise eşit olur.
-
-
-
-
-
İki aynı olan şeyi değiş tokuş ederseniz, hiç bir değişiklik yapmış olmazsınız.
-
-
-
Yani eğer i satırı j satırına eşitse, S matrisi, yani değiş tokuş matrisi, A matrisine eşit olur.
-
-
-
-
-
Bu iki matris, birbirinin eşidir.
-
Aynı olan iki satırı değiş tokuş etmiş oldunuz.
-
Buna göre, değiş tokuş matrisinin determinantı A'nın determinantına eşittir.
-
-
-
Ama ne demiştik? Değiş tokuş matrisinin determinantı, A'nın determinantının eksilisi olacak, demiştik.
-
-
-
Yani, bu, A'nın determinantının eksilisine de eşit olmak zorunda.
-
-
-
Buna göre nasıl bir sonuca varabiliriz?
-
A'nın iki satırı birbirine eşit ise, bu iki satırı değiş tokuş ettiğinizde, determinantın eksilisini almanız lazım, ama matrisiniz de değişmiş olmuyor.
-
-
-
-
-
-
-
Yani A'nın iki satırı eşit ise - i satırı, j satırına eşit ise- A'nın determinantı, A'nın determinantının eksilisine eşit olmak zorunda.
-
-
-
-
-
Bunu biliyoruz, çünkü A, değiş tokuş matrisiyle aynı matris, ama aynı zamanda değiş tokuş matrisinin determinantı A'nın determinantının eksilisine eşit.
-
-
-
-
-
Yani bu ikisi birbirine eşit olmalı.
-
Şimdi, hangi sayı aynı zamanda kendisinin eksilisine eşittir?
-
Size x eşittir eksi x desem, x kaç olmak zorundadır?
-
-
-
x'in alabileceği tek bir değer var. x 0'a eşit olmak zorunda.
-
-
-
Yani buradan çıkarımımız şöyle. İki satırı - veya 3, 4 satırı- aynı olan matrisin determinantı 0'dır.
-
-
-
-
-
-
-
Bu sürpriz olmamalı.
-
Tekrarlanan satırlar hakkında daha önce neler öğrendiğimizi hatırlayalım.
-
-
-
Bir matrisin tersinin olabilmesi için, satır indirgenmiş basamak matrisinin birim matris olması gerekir.
-
-
-
Bunu öğrenmiştik.
-
Birbirinin aynı iki satır varsa, bu iki arkadaşın aynı olduğunu varsayalım. Bir satır işlemiyle bu arkadaşın yerine bu arkadaş eksi şu arkadaşı yazarım ve içinde sırf 0 olan bir satır elde ederim.
-
-
-
-
-
-
-
İçinde sırf 0 olan bir satırın bulunduğu bir matris birim matrise çevrilemez.
-
-
-
Böylece iki satırı aynı olan bir matrisin satır indirgenmiş basamak matrisinin birim matris olamayacağını biliyoruz.
-
-
-
Veya iki satırı aynı olan bir matrisin tersi yoktur da diyebiliriz.
-
-
-
Ayrıca, bir matrisin tersi yoksa, ancak ve ancak determinantının 0'a eşit olduğunu da öğrenmiştik.
-
-
-
-
-
Aynı sonucu iki değişik yoldan bulduk.
-
Birinci olarak, öğrendiğimiz bilgilerin bazılarını kullandık.
-
Satırları değiş tokuş ettiğimizde, determinantın eksilisini almalıyız, ama değiş tokuş ettiğimiz satırlar birbirinin aynıysa, matris değişmez.
-
-
-
Yani matrisin determinantı aynı kalmalı.
-
-
-
Buna göre, aynı satır varsa, determinant 0'dır.
-
Aslında bunu kullanmasak da olurdu, beş altı video öncesine, matrisin tersini alabilme koşullarına da bakabilirdik.
-
-
-
-
-
-
-
Ama bunu size göstermek istedim.
-
İki satırın veya iki sütunun, sütun durumu üzerinde biraz düşünün, aynı olması durumunda veya bir satır başka satırların lineer birleşimiyse, determinant 0 olacaktır.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Khan Academy
