Graphing Logarithmic Functions

Wir sollen y = log_5 (x) zeichnen.

Die Gleichung sagt aus,
dass y gleich dem Exponenten ist,

den 5 haben muss, damit wir x erhalten.

Wenn ich diese Logarithmusgleichung
als Exponentialgleichung schreibe,

dann ist 5 meine Basis,

y ist mein Exponent, den meine Basis haben muss,

und x ist das, was ich erhalte, wenn ich 5^y ausrechne.

Eine andere Schreibweise wäre also 5^y = x.

Diese Gleichungen sagen dasselbe aus.

Hier haben wir y als eine Funktion von x.

Hier haben wir x als eine Funktion von y.

Aber sie sagen beide exakt dasselbe aus.

5 muss y als Exponenten haben, damit wir x erhalten.

Geschrieben als Logarithmus fragen wir uns,

welchen Exponenten muss 5 haben, damit ich x erhalte?

Die Antwort lautet: y.

Was erhalte ich hier, wenn ich 5^y habe?

Ich erhalte x.

Jetzt erstellen wir eine Wertetabelle,

mit der wir einige Punkte finden können.

Dann können wir die Punkte verbinden,
um zu sehen, wie die Krümmung aussieht.

Wir suchen uns also ein paar x- und y-Werte.

Wir nehmen ein paar Zahlen,
die uns glatte Ergebnisse geben,

damit wir einfache Zahlen erhalten,

damit wir keinen Taschenrechner benutzen müssen.

Wir suchen uns also x-Werte aus,

bei denen der Exponent, den 5 braucht,

um diesen x-Wert zu erhalten,
eine relativ einfache Zahl ist.

Anders gesagt: Du könntest einfach
über die verschiedenen y-Werte nachdenken,

die im Exponenten von 5 stehen sollen,

und dann deine x-Werte erhalten.

Wir könnten also hierüber nachdenken,

um unsere x-Werte zu erhalten.

Aber es ist wichtig zu verstehen,
dass, wenn wir es so ausdrücken,

die unabhängige Variable x ist,

und die abhängige Variable y ist.

Wir schauen uns diese Funktion nur an,
damit wir schöne und gerade x-Werte erhalten,

die uns schöne gerade Antworten für y geben.

Ich trage aber zuerst die y-Wert ein,

damit wir schöne gerade x-Werte erhalten.

Wir setzen also -2 in den Exponenten von 5.

Außerdem -1, 0, 1 und 2.

Wie gesagt, es ist etwas ungewöhnlich,

dass ich die abhängige Variable zuerst eintrage.

Aber so wie ich es hier geschrieben habe,

wenn ich die abhängige Variable gegeben habe,

ist es einfach herauszufinden, was die unabhängige Variable in dieser Logarithmusfunktion sein muss.

Welcher x-Wert gibt mir also den y-Wert -2?

Welchen x-Wert brauchen wir, damit wir y = -2 erhalten?

5^(-2) = x.

5^(-2) = 1/25.

Also erhalten wir 1/25.

Wenn wir uns die vorherige Funktion anschauen,

und log_5 (1/25) ausrechnen,

welchen Exponenten muss 5
dann haben, damit wir 1/25 erhalten?

Die Antwort lautet -2.

Wir können es auch als 5^(-2) = 1/25 schreiben.

Sie sagen beide genau dasselbe aus.

Machen wir weiter.

Was passiert, wenn ich 5^(-1) ausrechne?

Ich erhalte 1/5.

In der ursprünglichen Gleichung haben wir log_5 (1/5).

Diese Gleichung fragt: Welchen Exponenten
muss 5 haben, damit wir 1/5 erhalten?

Die Antwort lautet -1.

Was passiert, wenn ich 5^0 ausrechne?

Ich erhalte 1.

Das ist dasselbe, wie log_5 (1) zu schreiben.

Welchen Exponenten braucht 5, damit ich 1 erhalte?

Die Antwort lautet 0.

Machen wir weiter.

Was passiert, wenn ich 5^1 ausrechne?

Ich erhalte 5.

Diese Gleichung fragt: Welchen Exponenten
braucht 5, damit ich 5 erhalte?

Die Antwort lautet 1.

Und wenn ich 5^2 habe, erhalte ich 25.

Die Logarithmusschreibweise fragt:

Welchen Exponenten braucht 5, damit ich 25 erhalte?

Die Antwort lautet 2.

Ich habe also die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion genommen.

Ich habe sie als Exponentialfunktion geschrieben.

Ich habe die abhängigen und
unabhängigen Variablen getauscht,

damit ich schöne gerade x-Werte erhalte,

die mir wiederum schöne gerade y-Werte geben.

Ich hätte aber auch einfach
zufällige Zahlen nehmen können,

dann hätte ich hier allerdings
keine so geraden Zahlen erhalten.

Dann hätte ich einen Taschenrechner benutzen müssen.

Der einzige Grund, warum ich es so gemacht habe,

ist, damit ich schöne gerade Ergebnisse
erhalte, die ich per Hand einzeichnen kann.

Jetzt kommen wir zum Zeichnen.

Die y-Werte liegen zwischen -2 und 2.

Die x-Werte liegen zwischen 1/25 und 25.

Jetzt zeichnen wir sie ein.

Das ist meine y-Achse und das ist meine x-Achse.

Das ist meine x-Achse.

Und die y-Werte beginnen bei 0.

Dann haben wir 1 und 2.

Und dann haben wir -1.

Und wir haben -2.

Und auf der x-Achse haben wir nur positive Werte.

Denk mal darüber nach, ob die logarithmische Funktion für einen nicht positiven x-Wert definiert ist.

Gibt es einen Exponenten,
den 5 haben kann, mit dem ich 0 erhalte?

Nein.

Du könntest eine unendlich negative
Zahl in den Exponenten von 5 setzen,

um eine sehr, sehr, sehr kleine Zahl zu erhalten,

die gegen 0 strebt, aber es gibt keinen Exponenten,
den 5 haben könnte, um 0 zu erhalten.

x kann also nicht 0 sein.

Und es gibt keinen Exponenten, den 5 haben könnte,

um eine andere negative Zahl zu erhalten.

x kann also auch keine negative Zahl sein.

Der Definitionsbereich dieser Funktion hier ist also x > 0, was eine wichtige Information für das Zeichnen ist.

Ich schreibe es auf.

Der Definitionsbereich ist x > 0.

Wir können diese Funktion also nur
auf der positiven x-Achse zeichnen.

Unser größter x-Wert ist 25.

Ich beschrifte die Achse.

Wir haben 5, 10, 15, 20 und 25.

Jetzt zeichnen wir die Punkte ein.

Zuerst haben wir den x-Wert 1/25 und den y-Wert -2.

1/25 ist ungefähr hier,

und y = -2.

Also tragen wir den Punkt hier ein,

nicht genau auf der y-Achse,

da wir 1/25 rechts davon sind,

aber ziemlich nahe dran.

Der Punkt (1/25 | -2) liegt also dort.

Wenn x = 1/5 ist, was etwas weiter rechts liegt,

dann ist y = -1.

Der Punkt (1/5) | -1) liegt also hier.

Wenn x = 1 ist, dann ist y = 0.

Der Punkt (1 | 0) liegt also hier.

Und wenn x = 5 ist, dann ist y = 1.

Das ist also der Punkt (5 | 1).

Und wenn x = 25 ist, dann ist y = 2.

Hier ist also der Punkt (25 | 2).

Jetzt kann ich die Funktion einzeichnen.

Wenn x sehr, sehr, sehr klein wird,

dann strebt y gegen -∞ und wird sehr, sehr klein.

Welchen Exponenten muss
5 haben, damit wir 0,0001 erhalten?

Es muss ein sehr stark negativer Exponent sein.

y ist also stark negativ, wenn wir gegen 0 streben.

Und dann steigt die Funktion so an.

Und dann haben wir eine Krümmung nach rechts.

Und hier drüben fällt die Funktion immer steiler herab.

Und sie wird die y-Achse nie ganz berühren.

Sie wird sich der y-Achse immer weiter nähern,

aber sie nie ganz berühren.