Absolutní hodnota a argument komplexních čísel | Komplexní čísla | Matematika | Khan Academy

Dnes se podíváme na způsoby, jak zapsat
a graficky znázornit komplexní čísla.

My už víme, že pro komplexní čísla
obvykle používáme proměnnou z

a že komplexní číslo obvykle
zapisujeme jako a + bi,

kde a je ta reálná část komplexního čísla
a bi je imaginární část.

Také už jsme viděli, že
když dostaneme tuto funkci,

tak to znamená, že do ní
vložíme naše komplexní číslo

a jako výstup bychom měli
dostat tu reálnou část a.

Potom je tu ještě jedna funkce a to tato.

Té opět dáme komplexní číslo
a opět dostaneme číslo reálné,

tentokrát to číslo, kterým
násobíme imaginární jednotku i.

Výstupem z tohoto, kdy chceme
imaginární část, není celé to bi.

Pouze to reálné číslo,
kterým násobíme i, a tedy b.

Což dává smysl, protože jak
už jsme si řekli v jiném videu,

to že bi označujeme jako imaginární
část, je takové zjednodušení

a formálně správně je
imaginární část pouze b.

To už pro nás není žádná novinka.
To už všechno známe.

Jak si můžeme komplexní
čísla představit graficky?

To už si určitě také pamatujete.
Máme tady soustavu souřadnic,

ale ne tu klasickou jakou známe,
ale místo osy x máme osu reálnou,

na kterou znázorňujeme reálnou část
a místo osy y je imaginární osa,

na kterou znázorňujeme imaginární
část toho komplexního čísla.

My si to z, to komplexní číslo, můžeme
představit jako nějaký bod v té soustavě,

nebo si to také můžeme
znázornit jako polohový vektor.

Hned si ukážeme, co tím myslím.

Máme tedy nějakou reálnou
část a, ta může být třeba tady

a potom máme nějakou
imaginární část b, třeba tady.

Naše komplexní číslo z
se nachází tady, v bodě a, b.

A my to tedy, jak už jsem řekla,
můžeme znázornit i jako polohový vektor,

který má počáteční bod v počátku souřadnic
a koncový bod v tom bodě a, b. Takto.

Když tady teď máme polohový vektor,

možná by vás mohlo napadnout, že máme
něco, čemu se říká polární souřadnice.

A že tedy to komplexní číslo
nemusíme definovat

jen pomocí souřadnic a a b jako tady, ale
mohli bychom to vyjádřit i pomocí úhlu φ,

který svírá polohový vektor s tou
reálnou osou a vzdáleností r,

tedy s délkou té orientované úsečky.

A v tomto případě u komplexních čísel,
když se bavíme o tomto znázornění,

je φ takzvaný argument a r, ta vzdálenost,
je absolutní hodnota komplexního čísla.

Absolutní hodnota z.

Jak se spočítá absolutní hodnota ze z?

To už známe, r je, jak jsme řekli,
absolutní hodnota ze z.

Vzdálenost z od nuly.

A jak tu absolutní hodnotu spočítáme?

Můžeme si to představit tak, že tady
vlastně máme pravoúhlý trojúhelník

s délkami stran a a b, tedy
s délkami těch odvěsen,

a tady máme přeponu,
kterou chceme spočítat.

Takže jednoduše použijeme
Pythagorovu větu.

A tedy že r na druhou se má rovnat
a na druhou plus b na druhou.

A že r je odmocnina z a na druhou
plus b na druhou. Jednoduché!

Jak bychom spočítali to φ?

Tady nám opět a zase pomohou
věci, které už dávno známe.

Goniometrické funkce.

Máme zadány 2 odvěsny
a chceme úhel φ.

Takže kterou goniometrickou
funkci použijeme? Tangens.

Tangens φ bude protilehlá
k přilehlé a tedy b lomeno a

a chceme-li tedy φ, muscíme spočítat
arcus tangens b lomeno a.

Teď jsme si trošku ukázali,
jak se dostat k těmto dvěma,

k tomu argumentu a k té vzdálenosti,

pokud máme zadáno to a a b
v tom klasickém tvaru a + bi.

Co by se ale stalo, kdybychom
měli zadáno právě to φ a r?

Máme zadáno r a φ. Chtěli
bychom zjistit ten zbytek, to a a b.

Jak bychom to spočítali?
Budeme postupovat přesně naopak.

Opět a zase goniometrické funkce.

Máme r a máme φ.
Chceme spočítat a, přilehlou.

Na to použijeme cosinus.

Cosinus φ je přilehlá k přeponě
a tedy a lomeno r.

Když to vynásobíme r, dostaneme,
že r cosinus φ je a.

Když budeme chtít b, je to obdobné,
protože tady máme protilehlou k přeponě,

takže to bude sinus.

Sinus φ je b lomeno r, vynásobíme r
a dostaneme, že r sin φ je b.

Takto jednoduché to bylo.
Spočítali jsme a a spočítali jsme b.

Takže bychom si teď to komplexní číslo z,
které máme normálně zadáno jako a + bi,

mohli zapsat pomocí toho,
co nám tady vyšlo.

Takže by to bylo z se rovná:

místo a dáme r krát cosinus φ
plus místo b bude r krát sinus φ…

r krát sinus φ a nesmíme
ještě zapomenout i.

Pojďme si ještě vytknout
to r před závorku.

Uvidíme jestli nám to
nějakým způsobem pomůže.

φ, i…

Možná už vás něco
napadá, možná také ne.

Nevadí. Napovím. Tohle by vám mohlo,
pokud jste se s tím někdy setkali,

připomínat Eulerův vzorec.

Eulerův vzorec jsme řešili
ve videu o Taylorově řadě

a je to dost na dlouho, takže
si to teď nebudeme vysvětlovat.

Ale vy mi můžete věřit, když teď řeknu,
že tuto závorku můžeme přepsat…

r si opíšu… jako e na i krát φ.
Takto.

Takže jsme se od tohoto dostali k tomuto.

Máme několik způsobů,
jak zapsat komplexní čísla.

V tomto klasickém algebraickém tvaru,
jak to známe, z = a + bi,

potom v goniometrickém tvaru,
r krát cos φ + r krát sin φi

a potom v exponenciální tvaru,
r krát e na i krát φ.

Tento poslední, exponenciální tvar se nám
bude hodit, když budeme hledat kořeny.

A abychom si to rovnou vyzkoušeli
a neměli to jenom teoreticky,

tak si něco zadáme a spočítáme si to.

Máme zadáno nějaké z jedna, které je rovno
odmocnina ze 3 lomeno 2 plus 1 polovina i.

Pro tento tvar tedy budeme potřebovat
vzdálenost r, absolutní hodnotu čísla z

a budeme potřebovat znát φ.
Takže jak na to?

r je jednoduché, to už známe.

Absolutní hodnota ze z je odmocnina z
(a + b) na druhou podle Pythagorovy věty.

a na druhou, odmocnina ze 3 lomeno 2
na druhou, to jsou 3 čtvrtiny

plus 1 polovina na druhou,
to je 1 čtvrtina,

3 čtvrtiny plus 1 čtvrtina jsou 4
čtvrtiny, neboli 1, a odmocnina z 1 je 1.

Naše r je tedy rovno 1.

Pojďme si to zakreslit do
naší komplexní roviny.

Vše bude v prvním kvadrantu a všechno je
menší než 1, takže to udělejme takto.

Tady bude 1 polovina a tady bude 1.
Tady bude také 1 polovina a tady bude 1.

a je tedy rovno odmocnina ze 3
lomeno 2.

Odmocnina ze 3 to je trochu méně než 2,
zhruba 1,75,

když to vydělíme 2 to máme zhruba 0,9.

Velice přibližně, o něco méně.
Takže někde tady bude naše a.

b je 1 polovina, to je jednoduché,
to je přímo tady.

Náš bod z je tady a ještě si načrtneme
polohový vektor. Výborně.

Toto je vzdálenost r,
o které už víme, že je 1.

Rovnou si to tady můžeme napsat.

A teď, abychom zjistili φ, tak zase
využijeme Pythagorovy věty,

musíme si představit ty 2 strany,
toto je a a toto je b.

Počítáme úhel φ a jelikož máme přilehlou,
protilehlou, tak začneme tangensem.

Tangens φ je protilehlá
k přilehlé, tedy b lomeno a,

a tedy 1 polovina lomeno
odmocnina ze 3 lomeno 2.

1 polovina krát 2 lomeno odmocnina ze 3.

To se nám vykrátí, zbyde nám
1 lomeno odmocnina ze 3.

Jelikož v tomto případě známe i přeponu,
tak můžeme využít i sinus nebo cosinus.

Třeba sinus φ je protilehlá k přeponě
a tedy b ku 1, můžeme si rovnou napsat 1,

1 polovina lomeno 1, a tedy 1 polovina,
a kdybychom tady chtěli φ,

tak φ je buď arcus tangens 1
lomeno odmocnina ze 3,

nebo také arcus sinus 1 poloviny.

Můžete k tomu použít kalkulačku,
nicméně to jsou tabulkové hodnoty

a nebudeme se tím zdržovat, je to 30°.

φ je 30°, nicméně 30° to nám úplně
v tomto tvaru nepomůže,

potřebujeme to v radiánech
a φ je π lomeno šesti.

Máme r... 1 zakroužkuji...
máme φ, to je π šestin,

takže už si můžeme zapsat to z
v našem exponenciálním tvaru,

který je r krát e na i krát φ.

Jdeme do finále...

z = r je 1, tudíž to psát vůbec
nemusíme, když jedničkou násobíme,

takže to bude:
e, φ je π šestin, takže e na π šestin i.

z = e na π/6 i.

Toto komplexní číslo z jedna, které jsme
dostali v algebraickém tvaru a + bi,

si tedy můžeme zapsat takto
v exponenciálním tvaru.

A já myslím, že pro dnešek
už to docela stačilo.