1
00:00:01,101 --> 00:00:08,830
Dnes se podíváme na způsoby, jak zapsat
a graficky znázornit komplexní čísla.
2
00:00:09,550 --> 00:00:16,096
My už víme, že pro komplexní čísla
obvykle používáme proměnnou z
3
00:00:16,096 --> 00:00:22,203
a že komplexní číslo obvykle
zapisujeme jako a + bi,
4
00:00:22,203 --> 00:00:32,520
kde a je ta reálná část komplexního čísla
a bi je imaginární část.
5
00:00:32,950 --> 00:00:37,400
Také už jsme viděli, že
když dostaneme tuto funkci,
6
00:00:38,060 --> 00:00:41,500
tak to znamená, že do ní
vložíme naše komplexní číslo
7
00:00:41,530 --> 00:00:46,300
a jako výstup bychom měli
dostat tu reálnou část a.
8
00:00:46,441 --> 00:00:49,641
Potom je tu ještě jedna funkce a to tato.
9
00:00:49,811 --> 00:00:53,801
Té opět dáme komplexní číslo
a opět dostaneme číslo reálné,
10
00:00:53,801 --> 00:00:57,891
tentokrát to číslo, kterým
násobíme imaginární jednotku i.
11
00:00:58,372 --> 00:01:03,417
Výstupem z tohoto, kdy chceme
imaginární část, není celé to bi.
12
00:01:03,432 --> 00:01:08,833
Pouze to reálné číslo,
kterým násobíme i, a tedy b.
13
00:01:08,833 --> 00:01:13,354
Což dává smysl, protože jak
už jsme si řekli v jiném videu,
14
00:01:13,354 --> 00:01:18,775
to že bi označujeme jako imaginární
část, je takové zjednodušení
15
00:01:18,775 --> 00:01:24,137
a formálně správně je
imaginární část pouze b.
16
00:01:24,137 --> 00:01:27,787
To už pro nás není žádná novinka.
To už všechno známe.
17
00:01:27,787 --> 00:01:31,167
Jak si můžeme komplexní
čísla představit graficky?
18
00:01:31,167 --> 00:01:36,657
To už si určitě také pamatujete.
Máme tady soustavu souřadnic,
19
00:01:36,674 --> 00:01:42,623
ale ne tu klasickou jakou známe,
ale místo osy x máme osu reálnou,
20
00:01:42,623 --> 00:01:48,817
na kterou znázorňujeme reálnou část
a místo osy y je imaginární osa,
21
00:01:48,817 --> 00:01:53,991
na kterou znázorňujeme imaginární
část toho komplexního čísla.
22
00:01:53,991 --> 00:02:00,056
My si to z, to komplexní číslo, můžeme
představit jako nějaký bod v té soustavě,
23
00:02:00,056 --> 00:02:04,110
nebo si to také můžeme
znázornit jako polohový vektor.
24
00:02:04,110 --> 00:02:06,497
Hned si ukážeme, co tím myslím.
25
00:02:06,660 --> 00:02:10,955
Máme tedy nějakou reálnou
část a, ta může být třeba tady
26
00:02:10,955 --> 00:02:15,401
a potom máme nějakou
imaginární část b, třeba tady.
27
00:02:15,660 --> 00:02:21,204
Naše komplexní číslo z
se nachází tady, v bodě a, b.
28
00:02:21,574 --> 00:02:26,160
A my to tedy, jak už jsem řekla,
můžeme znázornit i jako polohový vektor,
29
00:02:26,160 --> 00:02:34,312
který má počáteční bod v počátku souřadnic
a koncový bod v tom bodě a, b. Takto.
30
00:02:34,312 --> 00:02:37,420
Když tady teď máme polohový vektor,
31
00:02:37,420 --> 00:02:42,264
možná by vás mohlo napadnout, že máme
něco, čemu se říká polární souřadnice.
32
00:02:42,264 --> 00:02:49,059
A že tedy to komplexní číslo
nemusíme definovat
33
00:02:49,059 --> 00:02:55,348
jen pomocí souřadnic a a b jako tady, ale
mohli bychom to vyjádřit i pomocí úhlu φ,
34
00:02:55,348 --> 00:03:00,678
který svírá polohový vektor s tou
reálnou osou a vzdáleností r,
35
00:03:00,678 --> 00:03:03,226
tedy s délkou té orientované úsečky.
36
00:03:03,280 --> 00:03:09,360
A v tomto případě u komplexních čísel,
když se bavíme o tomto znázornění,
37
00:03:09,360 --> 00:03:21,676
je φ takzvaný argument a r, ta vzdálenost,
je absolutní hodnota komplexního čísla.
38
00:03:21,856 --> 00:03:24,225
Absolutní hodnota z.
39
00:03:24,504 --> 00:03:28,878
Jak se spočítá absolutní hodnota ze z?
40
00:03:28,878 --> 00:03:36,421
To už známe, r je, jak jsme řekli,
absolutní hodnota ze z.
41
00:03:36,421 --> 00:03:39,241
Vzdálenost z od nuly.
42
00:03:39,501 --> 00:03:42,147
A jak tu absolutní hodnotu spočítáme?
43
00:03:42,737 --> 00:03:46,647
Můžeme si to představit tak, že tady
vlastně máme pravoúhlý trojúhelník
44
00:03:46,687 --> 00:03:53,228
s délkami stran a a b, tedy
s délkami těch odvěsen,
45
00:03:53,228 --> 00:03:55,838
a tady máme přeponu,
kterou chceme spočítat.
46
00:03:56,270 --> 00:03:59,514
Takže jednoduše použijeme
Pythagorovu větu.
47
00:04:00,010 --> 00:04:05,920
A tedy že r na druhou se má rovnat
a na druhou plus b na druhou.
48
00:04:06,300 --> 00:04:15,162
A že r je odmocnina z a na druhou
plus b na druhou. Jednoduché!
49
00:04:15,162 --> 00:04:19,162
Jak bychom spočítali to φ?
50
00:04:19,241 --> 00:04:22,581
Tady nám opět a zase pomohou
věci, které už dávno známe.
51
00:04:22,746 --> 00:04:25,666
Goniometrické funkce.
52
00:04:25,739 --> 00:04:30,359
Máme zadány 2 odvěsny
a chceme úhel φ.
53
00:04:30,790 --> 00:04:35,250
Takže kterou goniometrickou
funkci použijeme? Tangens.
54
00:04:35,773 --> 00:04:42,330
Tangens φ bude protilehlá
k přilehlé a tedy b lomeno a
55
00:04:42,860 --> 00:04:50,496
a chceme-li tedy φ, muscíme spočítat
arcus tangens b lomeno a.
56
00:04:50,604 --> 00:04:54,794
Teď jsme si trošku ukázali,
jak se dostat k těmto dvěma,
57
00:04:54,794 --> 00:04:56,664
k tomu argumentu a k té vzdálenosti,
58
00:04:56,773 --> 00:05:03,895
pokud máme zadáno to a a b
v tom klasickém tvaru a + bi.
59
00:05:04,270 --> 00:05:12,093
Co by se ale stalo, kdybychom
měli zadáno právě to φ a r?
60
00:05:12,350 --> 00:05:21,463
Máme zadáno r a φ. Chtěli
bychom zjistit ten zbytek, to a a b.
61
00:05:21,686 --> 00:05:26,606
Jak bychom to spočítali?
Budeme postupovat přesně naopak.
62
00:05:26,743 --> 00:05:30,383
Opět a zase goniometrické funkce.
63
00:05:30,532 --> 00:05:36,723
Máme r a máme φ.
Chceme spočítat a, přilehlou.
64
00:05:37,580 --> 00:05:40,286
Na to použijeme cosinus.
65
00:05:40,438 --> 00:05:47,408
Cosinus φ je přilehlá k přeponě
a tedy a lomeno r.
66
00:05:47,901 --> 00:05:55,310
Když to vynásobíme r, dostaneme,
že r cosinus φ je a.
67
00:05:56,112 --> 00:06:04,410
Když budeme chtít b, je to obdobné,
protože tady máme protilehlou k přeponě,
68
00:06:04,720 --> 00:06:07,308
takže to bude sinus.
69
00:06:07,500 --> 00:06:18,970
Sinus φ je b lomeno r, vynásobíme r
a dostaneme, že r sin φ je b.
70
00:06:19,520 --> 00:06:24,325
Takto jednoduché to bylo.
Spočítali jsme a a spočítali jsme b.
71
00:06:25,241 --> 00:06:31,888
Takže bychom si teď to komplexní číslo z,
které máme normálně zadáno jako a + bi,
72
00:06:31,888 --> 00:06:35,812
mohli zapsat pomocí toho,
co nám tady vyšlo.
73
00:06:35,812 --> 00:06:38,453
Takže by to bylo z se rovná:
74
00:06:38,743 --> 00:06:48,130
místo a dáme r krát cosinus φ
plus místo b bude r krát sinus φ…
75
00:06:48,543 --> 00:06:53,711
r krát sinus φ a nesmíme
ještě zapomenout i.
76
00:06:54,200 --> 00:06:58,200
Pojďme si ještě vytknout
to r před závorku.
77
00:06:58,200 --> 00:07:01,582
Uvidíme jestli nám to
nějakým způsobem pomůže.
78
00:07:01,949 --> 00:07:04,679
φ, i…
79
00:07:04,978 --> 00:07:07,598
Možná už vás něco
napadá, možná také ne.
80
00:07:07,598 --> 00:07:13,758
Nevadí. Napovím. Tohle by vám mohlo,
pokud jste se s tím někdy setkali,
81
00:07:13,758 --> 00:07:16,775
připomínat Eulerův vzorec.
82
00:07:17,253 --> 00:07:20,953
Eulerův vzorec jsme řešili
ve videu o Taylorově řadě
83
00:07:21,152 --> 00:07:25,262
a je to dost na dlouho, takže
si to teď nebudeme vysvětlovat.
84
00:07:25,295 --> 00:07:34,355
Ale vy mi můžete věřit, když teď řeknu,
že tuto závorku můžeme přepsat…
85
00:07:34,439 --> 00:07:42,159
r si opíšu… jako e na i krát φ.
Takto.
86
00:07:42,872 --> 00:07:46,022
Takže jsme se od tohoto dostali k tomuto.
87
00:07:46,273 --> 00:07:51,023
Máme několik způsobů,
jak zapsat komplexní čísla.
88
00:07:51,213 --> 00:07:56,823
V tomto klasickém algebraickém tvaru,
jak to známe, z = a + bi,
89
00:07:57,110 --> 00:08:02,944
potom v goniometrickém tvaru,
r krát cos φ + r krát sin φi
90
00:08:02,944 --> 00:08:09,131
a potom v exponenciální tvaru,
r krát e na i krát φ.
91
00:08:09,283 --> 00:08:14,323
Tento poslední, exponenciální tvar se nám
bude hodit, když budeme hledat kořeny.
92
00:08:14,613 --> 00:08:17,753
A abychom si to rovnou vyzkoušeli
a neměli to jenom teoreticky,
93
00:08:17,753 --> 00:08:22,153
tak si něco zadáme a spočítáme si to.
94
00:08:22,285 --> 00:08:33,681
Máme zadáno nějaké z jedna, které je rovno
odmocnina ze 3 lomeno 2 plus 1 polovina i.
95
00:08:33,949 --> 00:08:41,051
Pro tento tvar tedy budeme potřebovat
vzdálenost r, absolutní hodnotu čísla z
96
00:08:41,051 --> 00:08:45,051
a budeme potřebovat znát φ.
Takže jak na to?
97
00:08:45,051 --> 00:08:47,741
r je jednoduché, to už známe.
98
00:08:47,917 --> 00:08:54,869
Absolutní hodnota ze z je odmocnina z
(a + b) na druhou podle Pythagorovy věty.
99
00:08:55,311 --> 00:09:01,764
a na druhou, odmocnina ze 3 lomeno 2
na druhou, to jsou 3 čtvrtiny
100
00:09:02,404 --> 00:09:07,034
plus 1 polovina na druhou,
to je 1 čtvrtina,
101
00:09:07,525 --> 00:09:13,091
3 čtvrtiny plus 1 čtvrtina jsou 4
čtvrtiny, neboli 1, a odmocnina z 1 je 1.
102
00:09:13,210 --> 00:09:16,500
Naše r je tedy rovno 1.
103
00:09:16,650 --> 00:09:22,350
Pojďme si to zakreslit do
naší komplexní roviny.
104
00:09:22,634 --> 00:09:29,709
Vše bude v prvním kvadrantu a všechno je
menší než 1, takže to udělejme takto.
105
00:09:29,709 --> 00:09:37,659
Tady bude 1 polovina a tady bude 1.
Tady bude také 1 polovina a tady bude 1.
106
00:09:38,085 --> 00:09:41,125
a je tedy rovno odmocnina ze 3
lomeno 2.
107
00:09:41,125 --> 00:09:46,738
Odmocnina ze 3 to je trochu méně než 2,
zhruba 1,75,
108
00:09:46,738 --> 00:09:50,884
když to vydělíme 2 to máme zhruba 0,9.
109
00:09:50,884 --> 00:09:57,547
Velice přibližně, o něco méně.
Takže někde tady bude naše a.
110
00:09:57,897 --> 00:10:03,936
b je 1 polovina, to je jednoduché,
to je přímo tady.
111
00:10:03,936 --> 00:10:12,862
Náš bod z je tady a ještě si načrtneme
polohový vektor. Výborně.
112
00:10:12,862 --> 00:10:17,060
Toto je vzdálenost r,
o které už víme, že je 1.
113
00:10:17,060 --> 00:10:19,618
Rovnou si to tady můžeme napsat.
114
00:10:19,618 --> 00:10:26,128
A teď, abychom zjistili φ, tak zase
využijeme Pythagorovy věty,
115
00:10:26,128 --> 00:10:31,248
musíme si představit ty 2 strany,
toto je a a toto je b.
116
00:10:31,248 --> 00:10:39,284
Počítáme úhel φ a jelikož máme přilehlou,
protilehlou, tak začneme tangensem.
117
00:10:39,841 --> 00:10:46,192
Tangens φ je protilehlá
k přilehlé, tedy b lomeno a,
118
00:10:46,442 --> 00:10:54,204
a tedy 1 polovina lomeno
odmocnina ze 3 lomeno 2.
119
00:10:54,292 --> 00:11:00,276
1 polovina krát 2 lomeno odmocnina ze 3.
120
00:11:00,276 --> 00:11:05,816
To se nám vykrátí, zbyde nám
1 lomeno odmocnina ze 3.
121
00:11:05,816 --> 00:11:12,412
Jelikož v tomto případě známe i přeponu,
tak můžeme využít i sinus nebo cosinus.
122
00:11:12,743 --> 00:11:23,821
Třeba sinus φ je protilehlá k přeponě
a tedy b ku 1, můžeme si rovnou napsat 1,
123
00:11:24,073 --> 00:11:33,430
1 polovina lomeno 1, a tedy 1 polovina,
a kdybychom tady chtěli φ,
124
00:11:33,430 --> 00:11:40,721
tak φ je buď arcus tangens 1
lomeno odmocnina ze 3,
125
00:11:40,721 --> 00:11:47,543
nebo také arcus sinus 1 poloviny.
126
00:11:47,671 --> 00:11:51,949
Můžete k tomu použít kalkulačku,
nicméně to jsou tabulkové hodnoty
127
00:11:51,949 --> 00:11:56,205
a nebudeme se tím zdržovat, je to 30°.
128
00:11:56,205 --> 00:12:02,145
φ je 30°, nicméně 30° to nám úplně
v tomto tvaru nepomůže,
129
00:12:02,145 --> 00:12:07,470
potřebujeme to v radiánech
a φ je π lomeno šesti.
130
00:12:07,470 --> 00:12:14,650
Máme r... 1 zakroužkuji...
máme φ, to je π šestin,
131
00:12:14,920 --> 00:12:20,194
takže už si můžeme zapsat to z
v našem exponenciálním tvaru,
132
00:12:20,194 --> 00:12:23,685
který je r krát e na i krát φ.
133
00:12:23,875 --> 00:12:25,184
Jdeme do finále...
134
00:12:25,184 --> 00:12:32,015
z = r je 1, tudíž to psát vůbec
nemusíme, když jedničkou násobíme,
135
00:12:32,253 --> 00:12:40,203
takže to bude:
e, φ je π šestin, takže e na π šestin i.
136
00:12:40,387 --> 00:12:43,380
z = e na π/6 i.
137
00:12:43,850 --> 00:12:50,217
Toto komplexní číslo z jedna, které jsme
dostali v algebraickém tvaru a + bi,
138
00:12:50,217 --> 00:12:55,023
si tedy můžeme zapsat takto
v exponenciálním tvaru.
139
00:12:55,023 --> 00:12:58,923
A já myslím, že pro dnešek
už to docela stačilo.