Dnes se podíváme na způsoby, jak zapsat a graficky znázornit komplexní čísla.
My už víme, že pro komplexní čísla obvykle používáme proměnnou z
a že komplexní číslo obvykle zapisujeme jako a + bi,
kde a je ta reálná část komplexního čísla a bi je imaginární část.
Také už jsme viděli, že když dostaneme tuto funkci,
tak to znamená, že do ní vložíme naše komplexní číslo
a jako výstup bychom měli dostat tu reálnou část a.
Potom je tu ještě jedna funkce a to tato.
Té opět dáme komplexní číslo a opět dostaneme číslo reálné,
tentokrát to číslo, kterým násobíme imaginární jednotku i.
Výstupem z tohoto, kdy chceme imaginární část, není celé to bi.
Pouze to reálné číslo, kterým násobíme i, a tedy b.
Což dává smysl, protože jak už jsme si řekli v jiném videu,
to že bi označujeme jako imaginární část, je takové zjednodušení
a formálně správně je imaginární část pouze b.
To už pro nás není žádná novinka. To už všechno známe.
Jak si můžeme komplexní čísla představit graficky?
To už si určitě také pamatujete. Máme tady soustavu souřadnic,
ale ne tu klasickou jakou známe, ale místo osy x máme osu reálnou,
na kterou znázorňujeme reálnou část a místo osy y je imaginární osa,
na kterou znázorňujeme imaginární část toho komplexního čísla.
My si to z, to komplexní číslo, můžeme představit jako nějaký bod v té soustavě,
nebo si to také můžeme znázornit jako polohový vektor.
Hned si ukážeme, co tím myslím.
Máme tedy nějakou reálnou část a, ta může být třeba tady
a potom máme nějakou imaginární část b, třeba tady.
Naše komplexní číslo z se nachází tady, v bodě a, b.
A my to tedy, jak už jsem řekla, můžeme znázornit i jako polohový vektor,
který má počáteční bod v počátku souřadnic a koncový bod v tom bodě a, b. Takto.
Když tady teď máme polohový vektor,
možná by vás mohlo napadnout, že máme něco, čemu se říká polární souřadnice.
A že tedy to komplexní číslo nemusíme definovat
jen pomocí souřadnic a a b jako tady, ale mohli bychom to vyjádřit i pomocí úhlu φ,
který svírá polohový vektor s tou reálnou osou a vzdáleností r,
tedy s délkou té orientované úsečky.
A v tomto případě u komplexních čísel, když se bavíme o tomto znázornění,
je φ takzvaný argument a r, ta vzdálenost, je absolutní hodnota komplexního čísla.
Absolutní hodnota z.
Jak se spočítá absolutní hodnota ze z?
To už známe, r je, jak jsme řekli, absolutní hodnota ze z.
Vzdálenost z od nuly.
A jak tu absolutní hodnotu spočítáme?
Můžeme si to představit tak, že tady vlastně máme pravoúhlý trojúhelník
s délkami stran a a b, tedy s délkami těch odvěsen,
a tady máme přeponu, kterou chceme spočítat.
Takže jednoduše použijeme Pythagorovu větu.
A tedy že r na druhou se má rovnat a na druhou plus b na druhou.
A že r je odmocnina z a na druhou plus b na druhou. Jednoduché!
Jak bychom spočítali to φ?
Tady nám opět a zase pomohou věci, které už dávno známe.
Goniometrické funkce.
Máme zadány 2 odvěsny a chceme úhel φ.
Takže kterou goniometrickou funkci použijeme? Tangens.
Tangens φ bude protilehlá k přilehlé a tedy b lomeno a
a chceme-li tedy φ, muscíme spočítat arcus tangens b lomeno a.
Teď jsme si trošku ukázali, jak se dostat k těmto dvěma,
k tomu argumentu a k té vzdálenosti,
pokud máme zadáno to a a b v tom klasickém tvaru a + bi.
Co by se ale stalo, kdybychom měli zadáno právě to φ a r?
Máme zadáno r a φ. Chtěli bychom zjistit ten zbytek, to a a b.
Jak bychom to spočítali? Budeme postupovat přesně naopak.
Opět a zase goniometrické funkce.
Máme r a máme φ. Chceme spočítat a, přilehlou.
Na to použijeme cosinus.
Cosinus φ je přilehlá k přeponě a tedy a lomeno r.
Když to vynásobíme r, dostaneme, že r cosinus φ je a.
Když budeme chtít b, je to obdobné, protože tady máme protilehlou k přeponě,
takže to bude sinus.
Sinus φ je b lomeno r, vynásobíme r a dostaneme, že r sin φ je b.
Takto jednoduché to bylo. Spočítali jsme a a spočítali jsme b.
Takže bychom si teď to komplexní číslo z, které máme normálně zadáno jako a + bi,
mohli zapsat pomocí toho, co nám tady vyšlo.
Takže by to bylo z se rovná:
místo a dáme r krát cosinus φ plus místo b bude r krát sinus φ…
r krát sinus φ a nesmíme ještě zapomenout i.
Pojďme si ještě vytknout to r před závorku.
Uvidíme jestli nám to nějakým způsobem pomůže.
φ, i…
Možná už vás něco napadá, možná také ne.
Nevadí. Napovím. Tohle by vám mohlo, pokud jste se s tím někdy setkali,
připomínat Eulerův vzorec.
Eulerův vzorec jsme řešili ve videu o Taylorově řadě
a je to dost na dlouho, takže si to teď nebudeme vysvětlovat.
Ale vy mi můžete věřit, když teď řeknu, že tuto závorku můžeme přepsat…
r si opíšu… jako e na i krát φ. Takto.
Takže jsme se od tohoto dostali k tomuto.
Máme několik způsobů, jak zapsat komplexní čísla.
V tomto klasickém algebraickém tvaru, jak to známe, z = a + bi,
potom v goniometrickém tvaru, r krát cos φ + r krát sin φi
a potom v exponenciální tvaru, r krát e na i krát φ.
Tento poslední, exponenciální tvar se nám bude hodit, když budeme hledat kořeny.
A abychom si to rovnou vyzkoušeli a neměli to jenom teoreticky,
tak si něco zadáme a spočítáme si to.
Máme zadáno nějaké z jedna, které je rovno odmocnina ze 3 lomeno 2 plus 1 polovina i.
Pro tento tvar tedy budeme potřebovat vzdálenost r, absolutní hodnotu čísla z
a budeme potřebovat znát φ. Takže jak na to?
r je jednoduché, to už známe.
Absolutní hodnota ze z je odmocnina z (a + b) na druhou podle Pythagorovy věty.
a na druhou, odmocnina ze 3 lomeno 2 na druhou, to jsou 3 čtvrtiny
plus 1 polovina na druhou, to je 1 čtvrtina,
3 čtvrtiny plus 1 čtvrtina jsou 4 čtvrtiny, neboli 1, a odmocnina z 1 je 1.
Naše r je tedy rovno 1.
Pojďme si to zakreslit do naší komplexní roviny.
Vše bude v prvním kvadrantu a všechno je menší než 1, takže to udělejme takto.
Tady bude 1 polovina a tady bude 1. Tady bude také 1 polovina a tady bude 1.
a je tedy rovno odmocnina ze 3 lomeno 2.
Odmocnina ze 3 to je trochu méně než 2, zhruba 1,75,
když to vydělíme 2 to máme zhruba 0,9.
Velice přibližně, o něco méně. Takže někde tady bude naše a.
b je 1 polovina, to je jednoduché, to je přímo tady.
Náš bod z je tady a ještě si načrtneme polohový vektor. Výborně.
Toto je vzdálenost r, o které už víme, že je 1.
Rovnou si to tady můžeme napsat.
A teď, abychom zjistili φ, tak zase využijeme Pythagorovy věty,
musíme si představit ty 2 strany, toto je a a toto je b.
Počítáme úhel φ a jelikož máme přilehlou, protilehlou, tak začneme tangensem.
Tangens φ je protilehlá k přilehlé, tedy b lomeno a,
a tedy 1 polovina lomeno odmocnina ze 3 lomeno 2.
1 polovina krát 2 lomeno odmocnina ze 3.
To se nám vykrátí, zbyde nám 1 lomeno odmocnina ze 3.
Jelikož v tomto případě známe i přeponu, tak můžeme využít i sinus nebo cosinus.
Třeba sinus φ je protilehlá k přeponě a tedy b ku 1, můžeme si rovnou napsat 1,
1 polovina lomeno 1, a tedy 1 polovina, a kdybychom tady chtěli φ,
tak φ je buď arcus tangens 1 lomeno odmocnina ze 3,
nebo také arcus sinus 1 poloviny.
Můžete k tomu použít kalkulačku, nicméně to jsou tabulkové hodnoty
a nebudeme se tím zdržovat, je to 30°.
φ je 30°, nicméně 30° to nám úplně v tomto tvaru nepomůže,
potřebujeme to v radiánech a φ je π lomeno šesti.
Máme r... 1 zakroužkuji... máme φ, to je π šestin,
takže už si můžeme zapsat to z v našem exponenciálním tvaru,
který je r krát e na i krát φ.
Jdeme do finále...
z = r je 1, tudíž to psát vůbec nemusíme, když jedničkou násobíme,
takže to bude: e, φ je π šestin, takže e na π šestin i.
z = e na π/6 i.
Toto komplexní číslo z jedna, které jsme dostali v algebraickém tvaru a + bi,
si tedy můžeme zapsat takto v exponenciálním tvaru.
A já myslím, že pro dnešek už to docela stačilo.