Law of cosines

No último vídeo, resolvemos um problema onde tínhamos...

Tínhamos, essencilamente, de descobrir os lados de um triângulo mas,

em vez de podermos aplicar, simplesmente,

o teorema de Pitágoras, e porque era um triângulo rectângulo, era apenas

um triângulo normal.

Não era um triângulo rectângulo.

E percorrêmo-lo, mais ou menos, usando SOHCAHTOA e

as nossas funções trignométricas muito simples e obtivemos

a resposta certa.

O que quero fazer agora é introduzir-vos a algo

chamado "lei dos cossenos", que provámos, essencialmente, no último

vídeo mas quero prová-la numa forma mais, sabem,

sem o problema a atrapalhar

e quero mostrar-vos que, quando já souberem a "lei dos cossenos",

podem aplicá-la a um problema, como fizémos atrás

e vão fazê-lo mais depressa.

Tenho algumas reservas quanto a isso porque não sou um

grande fã de memorizar coisas.

Quando tiverem 40 anos, provavelmente já não vão ter

a "lei dos cossenos" memorizada, mas se tiverem a

capacidade de começar com as funções trigonométricas e progredir,

a partir daí, estarão sempre tranquilos.

E ficaria impressionado se ainda estiverem a fazer

trigonometria aos 40, mas quem sabe?

Então vamos lá ver o que é isto da

"lei dos cossenos".

Vamos assumir que eu conheço este ângulo teta.

E vamos chamar a este lado, sei lá, 'a'.

Não, vamos chamar a este lado 'b'.

Estou a ser um pouco aleatório.

Na verdade, deixem-me ficar nas cores dos lados.

Vamos chamar àquele 'b' e vamos chamar a este 'c' e vamos

chamar a este 'a'.

Então, se isto fosse um triângulo rectângulo, poderíamos ter

usaado o teorema de Pitágoras, mas, agora, não podemos.

Então o que é que fazemos?

Então sabemos-- bem, vamos assumir que sabemos 'b', sabemos

'c', sabemos teta e queremos descobrir 'a'.

Mas, de forma geral, desde que saibas três destes, podes

descobrir o quarto quando souberes a lei dos cossenos.

Então, como é que o podemos fazer?

Bem, vamos fazê-lo exactamente da mesma forma

que fizemos no último problema.

Podemos criar uma linha,aqui, para fazer-- oh, meu Deus,

que trapalhice.

Pensava que estava a usar a ferramenta da linha.

Editar, anular.

Então, posso criar uma linha assim.

Portanto, tenho dois ângulos rectos.

E quando já tenho triângulos rectângulos, já posso começar

a usar funções trigonométricas e o teorema de Pitágoras,

etc., etc.

Então, vamos ver, isto é um ângulo recto e isto é um ângulo recto.

Então, quanto vale este lado, aqui?

Deixem-me escolhe outra cor.

Provavelmente, vou envolver-me com todas as cores,

mas é para o vosso bem.

Então, quanto vale este lado?

Qual é o comprimento desse lado, do lado roxo?

Bem, esse lado é, simplesmente, sabem, usamos SOHCAHTOA.

Ia mesmo escrever SOHCAHTOA aqui em cima.

SOH CAH TOA

Então, este lado roxo é adjacente a teta e, depois, este lado azul ou

malva, 'b', é a hipotenusa ( certo? ) deste triângulo rectângulo.

Então, sabemos que-- Vou limitar-me a uma cor

se não vou demorar uma eternidade.

Sabemos que cosseno de teta-- vamos chamar a este lado, vamos

esta espécie de "sublado"-- Não sei, vamos

chamar-lhe 'd', lado 'd'.

Sabemos que cosseno de teta é igual a 'd' sobre 'b', certo?

E sabemos 'b'.

Ou que 'd' é igual a quê?

è igual a b vezes cosseno de teta.

Agora, vamos chamar a este lado 'e', mesmo aqui.

Bem, o que é 'e'?

Bem, 'e' é este lado 'c' todo -- lado 'c', oh, isto é

interessante (lado c = c side = sea side = costa marítima )-- este lado 'c' todo menos este lado 'd', certo?

Então, 'e' é igual a 'c' menos 'd'.

Acabámos de descobrir 'd', portanto o lado 'e' é igual a 'c'

menos 'b' cosseno de teta.

Então isto é 'e'.

Já tirámos o 'e' do caminho.

Bem, qual vai ser o valor deste lado mangenta?

Bem, vamos chamar a este lado-- vamos chamar-lhe 'm' de mangenta.

Bem, 'm' é oposto a teta.

Agora, sabemos quanto é.

Também já descobrimos 'c' mas sabemos 'b' e 'b' é simples.

Portanto, que relação nos dá 'm' sobre 'b' ou envolve o

lado oposto e a hipotenusa?

Bem, é o seno: oposto sobre hipotenusa.

Então, sabemos que 'm' sobre 'b' é igual a seno de teta.

Sabemos que-- deixem-me ir para aqui.

'm' sobre 'b' (certo? Porque isto é a hipotenusa) é igual a

seno de teta, ou que 'm' é igual a b seno

de teta, certo?

Então, descobrimos 'm', descobrimos 'e' e, agora,

queremos descobrir 'a'.

E isto devia saltar-vos à vista.

Temos dois lados de um triângulo rectângulo.

Queremos descobrir a hipotenusa.

Podemos usar o teorema de Pitágoras.

O teorema de Pitágoras diz-nos que 'a' ao quadrado é igual a 'm'

ao quadrado mais 'e' ao quadrado, certo?

Apenas o quadrado dos outros dois lados.

Bem, quanto é 'm' ao quadrado mais 'e' ao quadrado?

Deixem-me mudar para outra cor só para ser aleatório.

'a' ao quadrado é igual a 'm' ao quadrado.

'm' é b seno de teta.

Então, é 'b' seno de teta ao quadrado mais 'e' ao quadrado.

Bem, descobrimos que 'e' é isto.

Então é mais 'c' menos 'b' cosseno de teta ao quadrado.

Agora, vamos usar alguma álgebra.

Então, isso é igual a 'b' seno-- 'b' ao quadrado vezes seno de teta.

Seno ao quadrado de teta é igual a

seno de teta ao quadrado, certo?

Mais, e simplificamos o binomial, se bem que

não gosto de usar esse método.

Prefiro fazer as multiplicações.

'c' ao quadrado menos 2'c''b' cosseno de teta mais 'b' ao quadrado

Cosseno de teta, certo?

Apenas expandi isto multiplicando-o.

E, agora, vamos ver se conseguimos fazer alguma coisa interessante.

Bem, se tirarmos este termo e este termo, obtemos-- aqueles dois

termos são 'b' ao quadrado seno ao quadrado de teta mais 'b' ao quadrado

cosseno-- isto deve estar ao quadrado ali, certo, porque

elevámos ao quadrado.

'b' ao quadrado cosseno ao quadrado de teta e, depois, temos mais 'c'

ao quadrado menos 2'b''c' cosseno de teta.

Bem, como é que isto fica simplificado?

Bem, isto é a mesma coisa que 'b' ao quadrado vezes o

seno ao quadrado de teta mais cosseno ao quadrado de teta.

Qualquer coisa devia estar a saltar-vos à vista! E isto é mais 'c'

ao quadrado menos 2'b''c' cosseno de teta.

Bem, esta coisa, seno ao quadrado mais cosseno

ao quadrado de qualquer ângulo é igual a 1.

Isto é uma das identidades trigonométricas que vimos antes.

É a identidade do teorema de Pitágoras.

Então, isto é igual a 1, portanto ficamos com-- voltando

à minha cor original.

Estamos quase lá-- 'a' ao quadrado é igual a-- este termo fica

1, portanto 'b' ao quadrado.

Ficamos apenas com 'b' ao quadrado mais c ao quadrado

menos 2'b''c' cosseno de teta.

Isto é bem elegante e chama-se lei dos cossenos.

E é útil porque, sabem, se sabem um ângulo

e dois lados de um triângulo, podem, agora,

descobrir o outro lado.

Ou, na verdade, se quiserem, sabem, se souberem três lados de

um triângulo, podem, agora, descobrir qualquer ângulo, pelo que

isso também é muito útil.

A única razão porque estou um pouco, sabem, aqui,

ali, é porque eu não-- se estão a ter trigonometria agora e

possam vir a ter um teste, devem memorizar isto porque

vai-vos tornar mais rápidos, e vão obter a resposta

certa mais rápido.

Não sou um grande fã de apenas memorizar sem perceberem

de onde surge porque daqui a um ano ou dois,

quando forem para a faculdade e já tenham passado quatro anos desde que vocês

tiverem trigonometria, provavelmente, já não vão ter isto memorizado.

E, se encontrarem um problema de trigonometria de repente, é bom

chegar lá do zero.

Dito isto, esta é a lei dos cossenos e, se tivessem usado a

lei dos cossenos, poderiam ter resolvido o problema que fizémos, antes,

muito mais rápido porque basta-- sabem, só precisam de

definir o triângulo e, depois, basta substituir por isto e

poderiam ter resolvido 'a' naquele problema do navio fora de rota.

Vejo vocês no próximo video.