Law of cosines

.

In de laatste video, was er een woord probleem waarbij we...we

moesten de zijden van een driehoek bepalen, maar

in plaats van, het gebruiken van

de stelling van Pythagorasm en omdat het een rechthoekige driehoek was, was het

een normale driehoek.

Het was geen rechthoekige driehoek.

En we hadden het moeilijk dor het gebruik van SOS-CAS-TOA en

onze eenvoudige manier van aanpak, en we kregen

het juiste antwoord.

Wat ik nu wil doen, is je iets nieuws introduceren

namelijk de wet van cosinus, welke we bewezen hebben in

de vorige video, maar ik wil het wat duidelijker uitleggen,

zonder dat het woord probleem in de weg zit.

Ik wil je laten zien, dat wanneer je de wet van cosinus kent, dat

je die kunt gebruiken voor een probleem, zoals we dat in het verleden deden,

en je zult het sneller kunnen.

Ik heb er een beetje gemengd gevoel bij, omdat ik

geen grote fan ben van dingen uit het hoofd leren.

Weet je, als je ongeveer 40 jaar oud bent, dan heb je waarschijnlijk

de wet van cosinus niet onthouden, maar als je dat wel hebt

samen met de trigonometrische functies en gewoon

doorgaat, dan zal het altijd lukken.

En ik ben onder de indruk als je trigonometrische functies nog kent

als je 40 bent, maar wie zal het zeggen?

Laten we verder gaan, en kijken wat die wet

van cosinus inhoud.

Laten we deze hoek theta noemen.

.

En laten we deze zijde, weet ik veel, 'a' noemen.

Nee, we noemen het 'b'.

Het is een beetje discutabel.

Laat ik de kleuren van de zijden van de driehoek gebruiken.

Dat noemen we 'b', dat 'c', en dat

deze zijde noemen we 'a'.

Dus als dit een rechthoekige driehoek was, dan hadden we de

stelling van Pythagoras kunnen gebruiken, maar nu kan dat niet.

Wat gaan we doen.

We weten wat 'a' is.Laten we aannemen dat we weten wat 'b' is. We weten

'c', we weten theta, en dan willen we 'a' uitrekenen.

Maar, in het algemeen, zo lang als je deze 3 weet, dan kun

je de vierde uitrekenen, als je de wet van cosinus kent.

Hoe kunnen we dat doen?

Wel, we gaan het op precies dezellfde manier doen zoals we

het laatste probleem hebben gedaan.

We kunnen hier een streep zetten, o jee,

god, dat is slordig.

Ik dacht dat ik mijn 'line tool' gebruikte.

Wijzigen, ongedaan maken.

.

Ik kan hier dus een lijn maken.

Dan heb ik twee hoeken.

En dan als ik twee rechthoekige driehoeken heb, kan ik starten met

de berekeningen en de stelling van pythagoras.

enz., enz.

Laten we kijken of dit een rechte hoek is. Ja, dit is een rechte hoek.

En wat is deze zijde?

Laat ik een andere kleur kiezen.

Ik ga waarschijnlijk teveel kleuren gebruiken,

maar het is om het duidelijk te maken.

En wat is deze zijde?

Wat is de lengte of deze paarse zijde?

Nou, die lengte is...we gebruiken SOS-CAS-TOA.

Ik was SOS-CAS-TOA hier aan het schrijven.

.

Deze paarse zijde ligt aan theta, en deze blauwe of

lila zijde 'b' is de schuine zijde van rechthoekige driehoek.

We weten dus..Ik blijf even bij één kleur,

omdat het mij een eeuwigheid duurt om te blijven switchen naar andere kleuren.

Wet weten dat cosinus van theta...Laten we deze zijde een

soort van vervanging. Ik weet het niet, laten

we dit 'd' noemen. Zijde 'd'.

We weten dat de cosinus van theta 'd' gedeeld door 'b' is. Klopt?

En we weten 'b'.

Dus 'd' is gelijk aan wat?

Het is gelijk aan 'b' cosinus theta

Laten we dit dan zijde 'e' noemen.

En wat is 'e'?

'e' is deze hele zijde 'c', oh, dat is

interessant, deze zijde 'c' min 'd'. Klopt?

Dus 'e' is 'c' min 'd'.

Wij hebben zojuist 'd' opgelost. Dus zijde 'e' is gelijk aan 'c'

min 'b' cosinus theta

.

Dat is 'e'

We moeten 'e' eliminieren.

Hoe gaan we deze magenta lijn noemen?

Laten we deze magenta.. laten we het 'm' noemen van magenta.

.

'm' Ligt tegenover theta.

.

Nu weten we het.

We hebben 'c' ook uitgerekend, we weten 'b' en 'b' is simpel.

Dus welke relatie is er tussen 'm' en 'b', of heeft

zowel de schuine als tegenoverliggende zijde?

Nu, dat is sinus. Overliggende gedeeld door schuine zijde.

En we weten dat 'm' gedeeld door 'b' gelijk aan de sinus van theta is.

We weten dat...laten we hier heen gaan.

'm' gedeeld door 'b' , omdat dit de schuine zijde is, is gelijk aan

de sinus van theta, of dat 'm' gelijk is aan 'b' sinus

van theta.

We hebben nu 'm' en 'e' beredeneerd, en nu

willen we 'a' beredeneren.

En dit zou moeten opvallen.

We hebben twee zijden van een rechthoekige driehoek.

We willen de schuine zijde berekenen.

We kunnen de stelling van Pythagoras gebruiken.

De stelling van Pythagoras leert ons dat 'a' kwadraat gelijk is aan 'm' kwadraat

plus 'e' kwadraat.

Het kwadraat van de tegenoverliggende zijdes.

Wat is nu 'm' kwadraat plus 'e' kwadraat?

Laat ik voor de duidelijkheid een andere kleur nemen.

'a' kwadraat is gelijk aan 'm' kwadraat.

'm' is 'b' sinus theta.

Dus het is 'b' sinus theta kwadraat plus 'e' kwadraat.

'e' hadden we beredeneerd.

Het is 'c' min 'b' cosinus theta kwadraat.

Laten we nu door stevige algebra stappen.

Dus dat is gelijk aan 'b' sinus.. 'b' kwadraat sinus kwadraat theta

Sinus kwadraat theta betekent sinus van

theta kwadraat.

En, we hebben net ontdekt, hoewel ik

het liever

beredeneer

'c' kwadraat min 2'c''b' cosinus theta plus

cosinus theta.

Ik ga dit vereenvoudigen door substutitie

En nu, laten we kijken of we iets interessant kunnen doen

Als we deze vergelijking en deze krijgen we

de vergelijking 'b' kwadraat sinus kwadraat theta plus 'b' kwadraat

cosinus. Dit moet gekwadrateert worden, hier, omdat

we hier een kwadraat hebben.

'b' kwadraat cosinus kwadraat theta, en dan 'c' erbij

kwadraat min 2 'b''c' cosinus theta.

Waar gaat deze vereenvoudiging naartoe?

Dit is hetzelfde als 'b' kwadraat maal de

sinus kwadraat theta plus cosinus kwadraat theta

Er zou een lichtje bij je moeten opgaan, en dat is plus 'c'

kwadraat min 2'b''c' cosinus theta

Deze vergelijking, sinus kwadraat plus cosinus

kwadraat van elke hoek is 1.

Dat hebben we eerder geleerd.

Dat is de stelling van Pythagaros daar.

Dus is dus gelijk aan 1, dus hebben we over

Terug naar mijn oorspronkelijke kleur.

We zijn er bijna, een kwadraat is gelijk aan, deze vergelijking is

gelijk aan 1, dus 'b' kwadraat.

We hebben over een 'b' kwadraat plus 'c' kwadraat

min 2'b''c' cosinus theta.

Dat is mooi, en dit wordt de wet van cosinus genoemd.

En het is nuttig omdat, als je een hoek kent

en twee lengtes van een zijde van een driehoek, dan kun je nu

de lengte van de andere zijde uitrekenen.

Of eigenlijk, als je wilt, als je deze drie zijde weet van een

driehoek, dan kun je nu elke hoek berekenen, dus dat

is ook erg nuttig.

De enige reden dat ik niet zo heel

enthousiast ben is, dat je nu bezig bent met trigonometrie

en je hebt een test,zul je dit moeten leren, omdat

het je sneller laat werken, en je krijgt sneller

een juist antwoord.

Ik ben geen fan van het onthouden, zonder te weten

waar het vandaan komt, omdat over een jaar of twee

als je naar college gaat, en het is vier jaar geleden sinds je

trigonometrie hebt geleerd, dan ben je dit waarschijnlijk vergeten.

En als je zo'n probleem plotseling tegenkomt, dan is het goed

om vanaf het begin de oplossing te vinden.

Dat gezegd hebbende, dit is de wet van cosinus, en als je de

wet vna cosinus gebruikt, dan kon je het probleem wat we zojuist gedaan hebben

een stuk sneller, je hoeft alleen maar

de driehoek te maken, en het hierin te plaatsen en je

had het gemakkelijk uitgerekend.

Tot de volgende video.

.