Bevis for cosinusrelationerne

Sal laver et simpelt bevis for cosinusrelationerne.

At kende til forskellige trigonometriske overgangsformler er én ting. Det er noget helt andet at kunne bevise dem. Vi skal bevise forskellige trigonometriske overgangsformler samt definere inverse trigonometriske funktioner, som gør det muligt at løse trigonometriske ligninger.

I opvarmning til infinitesimalregning skal du bygge ovenpå mange af de færdigheder, du allerede har. Vi skal arbejde med: sammensatte funktioner, trigonometriske funktioner, vektorer, matricer, keglesnit samt sandsynlighedsregning og kombinatorik. Der er dog også to nye emner om talrækker samt grænseværdier og kontinuitet. I opvarmning til infinitesimalregning fra Khan Academy får du en omfattende, oplysende og spændende introduktion til infinitesimalregning. Glæd dig!

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

I den forrige video havde vi en opgave,

hvor vi skulle bestemme
siderne i en trekant,

men i stedet for at blot at kunne bruge
Pythagoras' læresætning,

fordi det var en retvinklet trekant,

så var det en ja normal trekant,
altså ikke en retvinklet trekant.

Vi kom i gennem den ved at bruge

"Mod Hos ModHos" og vores trig funktioner

og vi fik det rigtige svar.

Nu vil jeg introducere noget,
der hedder cosinusrelationerne,

som vi faktisk påviste i forrige video,

men jeg vil gerne bevise den
uden en opgave, der forstyrrer.

Når du først kender cosinusrelationerne,

så kan du bruge dem i opgaver,

som du har løst før,
men nu løse dem hurtigere.

Jeg har lidt blandede følelser,

da jeg ikke er en stor tilhænger
af at lære ting udenad.

Når du bliver 40 år kan du sikkert ikke
længere huske cosinusrelationerne,

men du vil kunne starte med
en trig funktion og fortsætte derfra.

Jeg vil blive imponeret, hvis du laver
trigonometri, når du er 40, men hvem ved.

Lad os komme i gang og se,
hvad disse cosinusrelationer handler om.

Lad os sige, at jeg kender denne vinkel θ

og lad os kalde denne side a.

Nej, lad os kalde den side b.

Jeg vil være lidt uforudsigelig.

-- lad mig bruge sidernes farve --

Lad os kalde den b og denne her c
og denne side a.

Hvis det var en retvinklet trekant,

så kunne vi have brugt
Pythagoras' læresætning

på en eller anden måde,
men det kan vi ikke nu.

Hvad gør vi så?

Lad os antage, at vi kender b,

vi kender c, vi kender θ
og vi skal løse for a.

Generelt, når du kender tre af disse,

så kan du løse for den fjerde,
når du kender cosinusrelationerne.

Hvordan gør vi det?

Vi gør præcis det samme,
som vi gjorde i forrige opgave.

Vi laver en linje her

-- åh, jeg troede jeg lavede en streg
-- edit - undo --

Jeg kan lave en linje således.

Nu har jeg to rette vinkler.

Når først jeg har retvinklede trekanter,

så kan jeg bruge trig funktioner
og Pythagoras' læresætning

og så videre og så videre.

Lad os se, dette er en ret vinkel
og dette er en ret vinkel.

Hvad er denne side?

Jeg kommer sikkert til
at bruge alt for mange farver

men det er til din fordel.

Hvad er længden af denne lilla side?

Vi kan bruge "Mod Hos ModHos".

Jeg skriver lige "Mod Hos ModHos" heroppe.

Den lilla side er hosliggende til θ

og den blå-violet side b er hypotenusen
i denne retvinklede trekant.

Jeg holder mig til en farve,

da det tager for lang tid at skifte.

Vi ved, at cos(θ)

-- lad os kalde denne side d --

Vi ved, at cos(θ) = d/b, ikke?

Vi kender b.

Så d er lig b cos(θ).

Lad os kalde denne side e.

Hvad er e?

e er hele denne side c minus d.

e er lig c - d.

Vi har lige isoleret d,
så e = c - b∙cos(θ).

Det er e.

Vi har klaret e.

Hvad er denne magenta side?

Lad os kalde den m for magenta.

m er modstående til θ.

Vi kan isolere for c,
men vi kender b og b er nem.

Hvilken sammenhæng svarer til m/b?

Altså modstående og hypotenusen?

Det er sinus, modstående over hypotenusen.

Vi ved, at m/b = sin(θ).

-- lad mig gå her over --

m/b, da b er hypotenusen, er lig sin(θ)
eller m er lig b∙sin(θ).

Vi har bestemt m, vi har bestemt e

og nu skal vi bestemme a.

Det burde spring i øjnene.

Vi har to sider i en retvinklet trekant.

Vi skal finde hypotenusen.

Vi kan bruge Pythagoras' læresætning.

Pythagoras' læresætning fortæller os,

a² er lig m² + e², ikke?

Kvadratet af de andre to sider.

Hvad er m² + e² ?

--lad mig skifte farve
for at være uforudsigelig --

a² er lig m²,og m er bsinθ, så (b∙sin(θ))²

+ e², som vi ved er dette, så det er
+ (c - b∙cos(θ))².

Lad os mosle os gennem noget algebra.

Det er b² sin²θ.

sin²θ betyder blot (sinθ)², ikke?

Vi kan gange denne ud.

c² - 2b∙c∙cosθ + b²cos²(θ), ikke?

Jeg har blot ganget det ud.

Lad os, se om vi kan gør
noget spændende.

Vi kan tage dette led og dette led.

Disse to led er b²∙sin²θ + b²∙cos²θ

og så har vi + c² - 2b∙c∙cosθ.

Hvad kan det reduceres til?

Dette er det samme som
b² (sin²θ + cos²θ).

-- nu burde noget springe i øjnene --

+ c² - 2b∙c∙cosθ.

sin²θ + cos²θ af enhver vinkel er 1.

Det er grundrelationen.

Dette er lig 1 og tilbage har vi

-- tilbage til min oprindelige farve --

-- vi er nærsten færdige --

a² er lig, da dette er 1,
så b² + c² - 2b∙c∙cosθ.

Det er da ret sejt og det kaldes
cosinusrelationerne.

Det er nyttigt, når du kender en vinkel
og to sider i en vilkårlig trekant,

så kan du finde den sidste side.

Eller når du kender 3 sider i en trekant,

så kan du nu finde en af vinklerne

og det er da meget nyttigt.

Du skal blot huske på,

hvis du har trigonometri lige nu
og har en test i morgen,

så bør du lære den udenad,

da du kan løse opgaver hurtigere.

Jeg er ikke stor tilhænger af blot
at lære udenad uden at vide,

hvor tingene kommer fra.

Om 1 eller 2 år, når du er på universitetet

og det er 4 år siden du have trigonometri,

så kan du nok ikke længere huske den.

Så er det godt at vide,
hvordan man løser en opgave fra bunden.

Med det sagt, dette er cosinusrelationerne

og du kan bruge cosinusrelationerne,

til at løse opgaver meget hurtigere.

Du tegner trekanten
og indsætter og løser for a.

Vi ses i næste video.