Law of cosines

V minulém videu jsme se zabývali příkladem
na vyřešení stran v trojúhelníku.

Nebyl to ale pravoúhlý trojúhelník, proto
jsme nemohli použít Pythagorovu větu.

Byl to náhodný trojúhelník a my jsme
to zaonačili skrze SOH-CAH-TOA,

zkombinovali jsme trigonometrické funkce
a dostali se ke správnému výsledku.

V tomto videu bych vás rád seznámil
s takzvanou kosinovou větou.

Tu jsme v podstatě dokázali v minulém
videu, ale teď bych to chtěl rozebrat vice

bez konkrétního zadání, které by nás
navádělo, co je třeba udělat.

Chci vám také ukázat užitečnost této věty,
abyste jí dokázali použít v příkladech.

Maličko nevím, jak to pojmout, protože
sám nemám rád pamatování nazpaměť.

Až vám bude 40 let, tak si už
asi nebude kosinovou větu pamatovat,

ale pokud budete rozumět trigonometrickým
funkcí a budete umět je použít,

nebude mít problém si to odvodit.

Byl bych překvapený, kdybyste to
ve 40 počítali, ale kdo ví?

Pojďme si tedy rozebrat kosinovou větu.

Řekněme, že znám tento úhel,
pojmenuji ho théta.

Tuto stranu také znám a nazvu si jí "b".

...udělám popisek stejnou barvou,
jako je ta strana...

Takže tohle je "b" a tuhle stranu
pojmenuju "c".

Poslední strana bude "a".

Pokud by to byl pravoúhlý trojúhelník,
mohli bychom použít Pythagorovu větu.

Ale není, takže nemůžeme.

Co teď s tím?

Známe strany "b" a "c" i úhel théta
a chceme vyřešit délku strany "a".

Platí, že pokud známe tři údaje,
dokážeme vypočítat čtvrtý.

Pokud tedy známe kosinovou větu.

Jak tedy na to?

Uděláme to úplně stejně,
jako v minulém videu.

Z této strany spustíme úsečku.

Jej to se mi nepovedlo, zkusím to znovu.

...chci to vrátit...

Spustím z tohoto vrcholu úsečku
a tím vytvořím dva pravé úhly.

A teď když mám pravoúhlý trojúhelník,
může použít trigonometrické funkce

nebo i Pythagorovu větu a tak dále.

Máme tedy pravý úhel tady a tady.

Čím je tato strana?

...jen vyberu barvu, možná už jich je moc,
ale je to pak přehlednější...

Co je tedy tato strana?

Jaká je délka fialové strany?

No zjistíme to jednoduše pomocí
trigonometrických funkcí.

Anglická pomůcka má tvar soh-cah-toa.

Tato fialová strana je přilehlá k thétě.

No a strana "b" je přeponou
v tomto pravoúhlém trojúhelníku.

Víme tedy, že...

...budu používat jen jednu barvu,
abych to pořád nemusel přepínat...

Víme, že kosinus théty se rovná...

Pojďme si pojmenovat tuhle část strany "c"
jako "d".

Kosinus théty je rovno
d lomeno b, které známe.

Nebo vyjádříme "d" jako
d se rovná b krát kosinus théty.

A tuhle část si pojmenujeme "e".

Jak je dlouhá "e"?

Je to vlastně rozdíl mezi stranou "c"
a její částí "d".

Můžeme psát, že e se rovná c minus d.

Délku strany "d" už tu máme vyjádřenou,
takže jí jen dosadíme.

Strana "e" se tedy rovná c minus
b krát kosinus théty.

Takto bychom vypočítali stranu "e".

Jak bychom vyjádřili tutu vínovou stranu?

Pojmenujeme si jí třeba "m".

Strana "m" je protilehlá k úhlu théta.
Jaká funkce zahrnuje protilehlou stranu?

Známe navíc přeponu i stranu přilehlou.

Která funkce může být vyjádřena jako
m lomeno b?

Neboli jako protilehlá ku přeponě.

Přesně takto je definován sinus,
jako protilehlá ku přeponě.

Víme tedy, že m lomeno b
je rovno sinu théty.

A když zase vyjádřím "m" tak je to
m se rovná b krát sinus théty.

Zjistili jsme tedy délku stran "m" a "e"
a teď bychom chtěli i stranu "a".

Navážeme na to.

Známe dvě strany v pravoúhlém trojúhelníku
a chceme zjistit délku přepony "a".

Tady můžeme použít Pythagorovu větu.

Dle Pythagorovy věty platí a na druhou
se rovná m na druhou plus e na druhou.

Jen musíme všechno umocnit na druhou.

Čemu se rovná m na druhou
plus e na druhou?

...teď zase přepnu na jinou barvu...

Takže a na druhou je rovno m na druhou,
přičemž m se rovná b krát sinus théty.

Je to tedy b krát sinus théty,
to celé na druhou.

Plus e na druhou, kde e je rovno
c minus b krát kosinus théty.

Připíšu tedy plus
(c minus b krát kosinus théty) na druhou.

Teď už to zbývá jen nějak upravit.

Tady budeme mít b nadruhou krát
sinus na druhou théty.

Sinus na druhou théty je to samé
jako (sinus théty) na druhou.

Plus...
...tohle musíme udělat podle vzorečku.

...samozřejmě bychom
to mohli i roznásobit...

...bude tady c na druhou
minus 2 krát c krát b krát kosinus théty

plus b na druhou kosinus na druhou théty.

Jen jsem závorku
rozložil pomocí roznásobení.

Pojďme se teď podívat,
co dál s tím můžeme udělat.

Pokud si vezmeme tento výraz a tento a
napíšeme je k sobě,

budeme mít b na druhou
krát sinus na druhou théty

plus b na druhou
krát kosinus na druhou théty.

...tady jsem nedopsal druhou mocninu,
umocňovali jsme to přeci...

A zbývá nám tam plus c na druhou
minus 2 krát b krát c krát cosinus théty.

Jak můžeme tyto vybrané výrazy upravit?

Můžeme vytknout b na druhou.

Bude to b na druhou krát (sinus na druhou
théty plus kosinus na druhou théty).

Při pohledu na závorku byste
si měli něco vybavit.

A opíšu plus c na druhou
minus 2 krát b krát c krát kosinus théty.

Ta závorka, součet druhých mocnin sinu a
kosinu libovolného stejného úhlu, je 1.

Je to jedna z identit,
které jsme již probrali.

Pokud se toto rovná jedné, zbyde nám tam...
...už to skoro máme, zase přepnu barvu...

a na druhou se rovná b na druhou
plus c na druhou

minus 2 krát b krát c krát kosinus théty.

Vyšlo nám to hezky, tento výraz
byl pojmenován jako Kosinová věta.

Je to celkem užitečný vztah,
pokud známe úhel a dvě strany

libovolného trojúhelníku, můžeme pomocí
ní dopočítat vše ostatní.

Anebo můžou být zadány tři strany
a my máme dopočítat jakýkoli úhel.

To je též velmi užitečné.

To, co se mi na tom tolik nelíbí, je, že
se ten vztah naučíte nazpaměť,

protože v testu není čas na odvozování,
potřebujete být rychlejší.

Nemyslím si ale, že je dobré si vzoreček
zapamatovat bez vědomí, odkud se vzal.

A to z toho důvodu, že takto zapamatované
věci už za rok nebo za dva nevybavíte.

Pokud si to ale budete umět odvodit,
určitě to vybavení bude jednodušší.

Tohle je tedy ta kosinová věta.

Pokud už jí znáte, vyřešili byste tento
příklad mnohem rychleji než my tady.

Stačí jen si pojmenovat trojúhelník,
dosadit sem a vyřešit.

Těším se na vás v příštím videu.