Stopnie i radiany

Czym są radiany. Zamiana radianów na stopnie i odwrotnie.

Teraz opowiem o stopniach i radianach.

Prawdopodobnie jesteście już całkiem

zaprzyjaźnieni z pojęciem stopni.

Z naszym wzorem kątów

uporamy się z całkiem sporą ilością problemów.

Pewnie już wiecie, że

miara kąta prostego wynosi 90 stopni,

a połowa kąta prostego - 45 stopni.

I pewnie znacie też

zasadę, że w kołach -

i to jest moja najmocniejsza strona jeśli chodzi o koła -

w kołach mamy 360 stopni.

Dziś zamierzam wam pokazać

inne jednostki miary kątów

nazywane radianami.

A więc czym jest radian?

Zacznę od definicji

i myślę że to wam nawet rozjaśni,

dlaczego ta nazwa brzmi właśnie 'radian'.

Użyję narzędzia do rysowania okręgów,

rysując całkiem ładne koło.

Wciąż używam narzędzia do rysowania kół.

OK.

To jest promień o długości r.

Radian jest kątem który odpowiada łukowi.

Oznacza to, że jeśli to jest kąt,

a to jest łuk,

to ten kąt odpowiada temu łukowi,

a ten łuk odpowiada temu kątowi.

A więc radian

- jeden radian - jest kątem odpowiadającym łukowi

o długości równej długości promienia.

A więc jego długość także wynosi r.

Więc ten kąt ma 1 radian.

Zrobił się tu trochę bałagan.

Narysuję większe koło.

Oto ono.

I robię to by pokazać

po co używa się radianów.

Wszyscy posługujemy się stopniami,

lecz gdyby się nad tym zastanowić,

to właściwie ma to sens.

Teraz użyję narzędzia do rysowania linii.

Powiedzmy że ten promień ma długość r

a ten łuk tutaj ma także długość równą r.

A więc ten kąt, nazwijmy go theta,

jest równy 1 radian.

I teraz widzimy że używanie skali radialnej ma sens.

Jest podobny do promienia.

A więc zadajmy sobie pytanie:

Ile radianów jest w jednym kole?

Jeśli to jest r,

jaki jest pełen obwód koła?

Jest równy 2 pi r, prawda?

Wiemy to z podstawowych wzorów z geometrii.

Więc jeśli radian jest tym kątem,

który odpowiada łukowi o długości r,

to kąt odpowiadający łukowi o długości 2 pi r

jest równy 2 pi radianów.

Czyli ten kąt to 2 pi radianów.

Jeśli wciąż nie rozumiecie, spójrzcie na to w ten sposób.

Kąt równy 2 pi radianów

zaznacza kąt odpowiadający łukowi równemu 2 pi promieni.

Albo promieniów.

Nie wiem jak brzmi liczba mnoga od rzeczownika 'promień'.

Może radiany.

Nieważne.

Dlaczego przechodzę przez cały ten bałagan

zawracając wam głowy?

Chcę tylko uświadomić wam, po pierwsze,

skąd wzięła się nazwa 'radian'

oraz jego związek z kołem.

A po drugie, wiedząc że mamy 2 pi radianów w kole,

możemy się dowiedzieć,

jakie są relacje między radianami a stopniami,

Usunę to.

Tak jak już mówiłem, w kole mamy 2 pi radianów.

A ile stopni mamy w kole?

Gdybyśmy okrążyli całe koło, ile stopni wyjdzie?

To odpowiada 360 stopniom.

A więc

Mamy równanie opisujące proporcje między

radianami i stopniami.

Czyli 1 radian odpowiada 360 : 2 pi stopni.

Właśnie podzieliłem obie strony przez 2 pi.

co równa się 180 przez pi stopni.

Podobnie mogliśmy to zrobić w inny sposób.

Można było podzielić obie strony przez 360

i określić 1 stopień -

właśnie zamierzam podzielić obie strony przez 360

i 'przekręcam'.

jeden stopień jest równy 2 pi przez 360 radianów.

Co daje pi przez 180 radianów.

A więc mamy przelicznik:

1 radian odpowiada 180 przez pi stopni

a 1 stopień odpowiada pi przez 180 radianów.

A jeśli zapomnicie te wzory,

zapamiętanie tego nie boli.

Ale jeślibyście kiedykolwiek zapomnieli, zawsze wróćcie do tego,

że 2 pi radianów jest równe 360 stopni.

Albo w inny sposób, który właściwie

jest odrobinę prostszy -

jeśli pomyślicie o połowie koła.

Połowa koła -

ten kąt - ma 180 stopni, prawda?

To jest symbol stopnia.

Mogłem także napisać słownie.

To też jest równe pi radianów.

Więc pi radianów równa się 180 stopniom.

I możemy wyprowadzić wzory.

1 rad=180/pi stopni

lub: 1 stopień=pi/180 rad.

Rozwiążmy więc kilka zadań,

żebyście to załapali.

Spróbujmy zamienić

45 stopni na radiany.

Wiemy, że 1 stopień to pi przez 180 radianów.

Zatem 45 stopni jest równe

45 razy pi przez 180 radianów.

Spójrzmy, 45 podzielone przez 180.

45 mieści się w 180 a razy,

więc to równa się pi przez 4 radiany.

45 stopni=pi / 4 rad.

Zapamiętajcie tylko,

że to są po prostu dwie różne jednostki

lub dwa różne sposoby mierzenia kątów.

A powód dla którego to robię to właściwie

matematyczna zasada miar kątów,

choć większość z nas woli stopnie -

po prostu z życia codziennego.

Zróbmy kilka innych zadań.

Zawsze pamiętajcie,

że 1 radian odpowiada 180 przez pi stopni.

! stopień to pi przez 180 radianów.

Jeśli wam się to poplącze, zapiszcie sobie.

Zawsze to robię, bo zapominam

kiedy ma być pi/180 a kiedy 180/pi.

Pamiętam tylko że pi radianów to 180 stopni.

Zróbmy co innego.

Gdybym powiedział, że pi/ 2 rad =

ile stopni?

Właściwie zapomniałem już co napisałem

więc tylko sobie przypomnę, że

pi rad = 180 stopni.

Och, moja żona właśnie wróciła do domu,

więc zostawię

tą prezentację tak

i dokończę później.

Właściwie skończę tylko ten problem.

a potem pójdę zająć się moją żoną.

Wiemy że pi radianów równe jest 180 stopni,

prawda?

Więc 1 rad=180/...

to jeden radian - jest równy 180/pi stopni.

Właśnie odkryłem ten wzór ponownie,

bo zawsze go zapominam.

Wróćmy więc tutaj.

pi/ 2 rad równa się

pi/2 * 180/pi stopni.

a to równa się 90 stopni.

Pokażę jeszcze jeden przykład.

Powiedzmy - 30 stopni.

Jeszcze raz zapomniałem wzoru, więc wystarczy że pamiętam

że pi radianów to 180 stopni.

Jeden stopień równa się pi przez 180 radianów.

Więc 30 stopni to

30 razy pi przez 180 rad,

co równa się... 30 mieści się w 180 sześć razy.

To daje pi przez 6 radianów.

Wiecie już

jak zamieniać radiany na stopnie,

a nawet dlaczego tak się nazywają,

ponieważ są bardzo ściśle związane z promieniami

i będziecie się czuć pewnie gdy ktoś was poprosi żebyście

poradzili sobie z radianami w przeciwieństwie do stopni.

Do zobaczenia w następnej prezentacji.