WEBVTT 00:00:00.910 --> 00:00:03.770 Teraz opowiem o stopniach i radianach. 00:00:03.770 --> 00:00:06.250 Prawdopodobnie jesteście już całkiem 00:00:06.250 --> 00:00:07.950 zaprzyjaźnieni z pojęciem stopni. 00:00:07.950 --> 00:00:09.320 Z naszym wzorem kątów 00:00:09.320 --> 00:00:12.820 uporamy się z całkiem sporą ilością problemów. 00:00:12.820 --> 00:00:18.320 Pewnie już wiecie, że 00:00:18.320 --> 00:00:23.460 miara kąta prostego wynosi 90 stopni, 00:00:23.460 --> 00:00:28.650 a połowa kąta prostego - 45 stopni. 00:00:28.650 --> 00:00:31.470 I pewnie znacie też 00:00:31.470 --> 00:00:33.640 zasadę, że w kołach - 00:00:33.640 --> 00:00:36.340 i to jest moja najmocniejsza strona jeśli chodzi o koła - 00:00:36.610 --> 00:00:41.010 w kołach mamy 360 stopni. 00:00:41.010 --> 00:00:43.360 Dziś zamierzam wam pokazać 00:00:43.360 --> 00:00:45.460 inne jednostki miary kątów 00:00:45.460 --> 00:00:47.270 nazywane radianami. 00:00:52.160 --> 00:00:53.450 A więc czym jest radian? 00:00:53.450 --> 00:00:55.650 Zacznę od definicji 00:00:55.650 --> 00:00:57.100 i myślę że to wam nawet rozjaśni, 00:00:57.100 --> 00:00:59.910 dlaczego ta nazwa brzmi właśnie 'radian'. 00:00:59.910 --> 00:01:01.280 Użyję narzędzia do rysowania okręgów, 00:01:01.280 --> 00:01:02.850 rysując całkiem ładne koło. 00:01:10.060 --> 00:01:14.270 Wciąż używam narzędzia do rysowania kół. 00:01:14.270 --> 00:01:14.530 OK. 00:01:19.430 --> 00:01:21.630 To jest promień o długości r. 00:01:21.630 --> 00:01:25.500 Radian jest kątem który odpowiada łukowi. 00:01:25.500 --> 00:01:29.250 Oznacza to, że jeśli to jest kąt, 00:01:29.250 --> 00:01:30.980 a to jest łuk, 00:01:30.980 --> 00:01:34.520 to ten kąt odpowiada temu łukowi, 00:01:34.520 --> 00:01:36.020 a ten łuk odpowiada temu kątowi. 00:01:36.020 --> 00:01:36.830 A więc radian 00:01:37.170 --> 00:01:41.050 - jeden radian - jest kątem odpowiadającym łukowi 00:01:41.050 --> 00:01:44.130 o długości równej długości promienia. 00:01:44.130 --> 00:01:46.780 A więc jego długość także wynosi r. 00:01:46.780 --> 00:01:50.440 Więc ten kąt ma 1 radian. 00:01:50.440 --> 00:01:51.140 Zrobił się tu trochę bałagan. 00:01:51.140 --> 00:01:52.490 Narysuję większe koło. 00:01:55.010 --> 00:01:56.640 Oto ono. 00:01:56.640 --> 00:01:57.860 I robię to by pokazać 00:01:57.860 --> 00:01:58.780 po co używa się radianów. 00:01:58.780 --> 00:02:00.300 Wszyscy posługujemy się stopniami, 00:02:00.300 --> 00:02:01.480 lecz gdyby się nad tym zastanowić, 00:02:01.480 --> 00:02:03.100 to właściwie ma to sens. 00:02:03.100 --> 00:02:05.870 Teraz użyję narzędzia do rysowania linii. 00:02:12.980 --> 00:02:17.340 Powiedzmy że ten promień ma długość r 00:02:17.340 --> 00:02:21.460 a ten łuk tutaj ma także długość równą r. 00:02:21.460 --> 00:02:24.020 A więc ten kąt, nazwijmy go theta, 00:02:24.020 --> 00:02:28.210 jest równy 1 radian. 00:02:28.210 --> 00:02:30.220 I teraz widzimy że używanie skali radialnej ma sens. 00:02:30.220 --> 00:02:32.440 Jest podobny do promienia. 00:02:32.440 --> 00:02:33.560 A więc zadajmy sobie pytanie: 00:02:33.560 --> 00:02:37.420 Ile radianów jest w jednym kole? 00:02:37.420 --> 00:02:41.300 Jeśli to jest r, 00:02:41.300 --> 00:02:42.050 jaki jest pełen obwód koła? 00:02:44.630 --> 00:02:46.540 Jest równy 2 pi r, prawda? 00:02:46.540 --> 00:02:50.050 Wiemy to z podstawowych wzorów z geometrii. 00:02:50.050 --> 00:02:53.100 Więc jeśli radian jest tym kątem, 00:02:53.100 --> 00:02:55.850 który odpowiada łukowi o długości r, 00:02:55.850 --> 00:03:01.630 to kąt odpowiadający łukowi o długości 2 pi r 00:03:01.630 --> 00:03:03.650 jest równy 2 pi radianów. 00:03:03.650 --> 00:03:06.970 Czyli ten kąt to 2 pi radianów. 00:03:12.510 --> 00:03:14.820 Jeśli wciąż nie rozumiecie, spójrzcie na to w ten sposób. 00:03:14.820 --> 00:03:17.370 Kąt równy 2 pi radianów 00:03:17.370 --> 00:03:22.650 zaznacza kąt odpowiadający łukowi równemu 2 pi promieni. 00:03:22.650 --> 00:03:23.920 Albo promieniów. 00:03:23.920 --> 00:03:26.460 Nie wiem jak brzmi liczba mnoga od rzeczownika 'promień'. 00:03:26.460 --> 00:03:27.110 Może radiany. 00:03:27.110 --> 00:03:30.130 Nieważne. 00:03:30.130 --> 00:03:31.890 Dlaczego przechodzę przez cały ten bałagan 00:03:31.890 --> 00:03:32.630 zawracając wam głowy? 00:03:32.630 --> 00:03:34.660 Chcę tylko uświadomić wam, po pierwsze, 00:03:34.660 --> 00:03:36.050 skąd wzięła się nazwa 'radian' 00:03:36.050 --> 00:03:38.130 oraz jego związek z kołem. 00:03:38.130 --> 00:03:41.160 A po drugie, wiedząc że mamy 2 pi radianów w kole, 00:03:41.160 --> 00:03:42.550 możemy się dowiedzieć, 00:03:42.550 --> 00:03:46.980 jakie są relacje między radianami a stopniami, 00:03:46.980 --> 00:03:49.920 Usunę to. 00:03:49.920 --> 00:03:54.190 Tak jak już mówiłem, w kole mamy 2 pi radianów. 00:03:57.340 --> 00:03:58.970 A ile stopni mamy w kole? 00:03:58.970 --> 00:04:00.800 Gdybyśmy okrążyli całe koło, ile stopni wyjdzie? 00:04:00.800 --> 00:04:04.360 To odpowiada 360 stopniom. 00:04:07.080 --> 00:04:07.520 A więc 00:04:07.520 --> 00:04:09.620 Mamy równanie opisujące proporcje między 00:04:09.620 --> 00:04:10.950 radianami i stopniami. 00:04:10.950 --> 00:04:19.390 Czyli 1 radian odpowiada 360 : 2 pi stopni. 00:04:19.390 --> 00:04:22.570 Właśnie podzieliłem obie strony przez 2 pi. 00:04:22.570 --> 00:04:27.040 co równa się 180 przez pi stopni. 00:04:29.710 --> 00:04:31.080 Podobnie mogliśmy to zrobić w inny sposób. 00:04:31.080 --> 00:04:33.120 Można było podzielić obie strony przez 360 00:04:33.130 --> 00:04:36.040 i określić 1 stopień - 00:04:36.040 --> 00:04:39.230 właśnie zamierzam podzielić obie strony przez 360 00:04:39.230 --> 00:04:39.970 i 'przekręcam'. 00:04:39.970 --> 00:04:45.410 jeden stopień jest równy 2 pi przez 360 radianów. 00:04:48.570 --> 00:04:53.260 Co daje pi przez 180 radianów. 00:04:53.260 --> 00:04:54.400 A więc mamy przelicznik: 00:04:54.860 --> 00:05:01.240 1 radian odpowiada 180 przez pi stopni 00:05:02.100 --> 00:05:05.220 a 1 stopień odpowiada pi przez 180 radianów. 00:05:05.220 --> 00:05:06.980 A jeśli zapomnicie te wzory, 00:05:06.980 --> 00:05:08.740 zapamiętanie tego nie boli. 00:05:08.740 --> 00:05:12.520 Ale jeślibyście kiedykolwiek zapomnieli, zawsze wróćcie do tego, 00:05:12.520 --> 00:05:15.810 że 2 pi radianów jest równe 360 stopni. 00:05:15.810 --> 00:05:20.620 Albo w inny sposób, który właściwie 00:05:20.630 --> 00:05:22.780 jest odrobinę prostszy - 00:05:22.780 --> 00:05:26.540 jeśli pomyślicie o połowie koła. 00:05:26.540 --> 00:05:28.090 Połowa koła - 00:05:28.090 --> 00:05:31.550 ten kąt - ma 180 stopni, prawda? 00:05:35.210 --> 00:05:36.120 To jest symbol stopnia. 00:05:36.120 --> 00:05:37.810 Mogłem także napisać słownie. 00:05:37.810 --> 00:05:39.680 To też jest równe pi radianów. 00:05:42.680 --> 00:05:44.490 Więc pi radianów równa się 180 stopniom. 00:05:44.490 --> 00:05:46.250 I możemy wyprowadzić wzory. 00:05:46.250 --> 00:05:53.320 1 rad=180/pi stopni 00:05:53.320 --> 00:06:00.940 lub: 1 stopień=pi/180 rad. 00:06:00.940 --> 00:06:02.490 Rozwiążmy więc kilka zadań, 00:06:02.490 --> 00:06:03.540 żebyście to załapali. 00:06:03.540 --> 00:06:07.420 Spróbujmy zamienić 00:06:07.420 --> 00:06:09.010 45 stopni na radiany. 00:06:12.440 --> 00:06:18.410 Wiemy, że 1 stopień to pi przez 180 radianów. 00:06:18.410 --> 00:06:25.260 Zatem 45 stopni jest równe 00:06:25.260 --> 00:06:32.910 45 razy pi przez 180 radianów. 00:06:32.910 --> 00:06:36.850 Spójrzmy, 45 podzielone przez 180. 00:06:36.850 --> 00:06:39.370 45 mieści się w 180 a razy, 00:06:39.380 --> 00:06:42.360 więc to równa się pi przez 4 radiany. 00:06:45.650 --> 00:06:49.600 45 stopni=pi / 4 rad. 00:06:49.600 --> 00:06:50.810 Zapamiętajcie tylko, 00:06:50.810 --> 00:06:52.610 że to są po prostu dwie różne jednostki 00:06:52.610 --> 00:06:55.070 lub dwa różne sposoby mierzenia kątów. 00:06:55.070 --> 00:06:56.590 A powód dla którego to robię to właściwie 00:06:56.590 --> 00:06:58.990 matematyczna zasada miar kątów, 00:06:58.990 --> 00:07:01.280 choć większość z nas woli stopnie - 00:07:01.280 --> 00:07:03.030 po prostu z życia codziennego. 00:07:03.030 --> 00:07:04.920 Zróbmy kilka innych zadań. 00:07:04.920 --> 00:07:05.840 Zawsze pamiętajcie, 00:07:05.840 --> 00:07:08.400 że 1 radian odpowiada 180 przez pi stopni. 00:07:08.400 --> 00:07:10.200 ! stopień to pi przez 180 radianów. 00:07:10.200 --> 00:07:12.630 Jeśli wam się to poplącze, zapiszcie sobie. 00:07:12.630 --> 00:07:15.190 Zawsze to robię, bo zapominam 00:07:15.190 --> 00:07:17.570 kiedy ma być pi/180 a kiedy 180/pi. 00:07:17.570 --> 00:07:21.550 Pamiętam tylko że pi radianów to 180 stopni. 00:07:21.550 --> 00:07:23.840 Zróbmy co innego. 00:07:23.840 --> 00:07:33.060 Gdybym powiedział, że pi/ 2 rad = 00:07:33.060 --> 00:07:33.760 ile stopni? 00:07:37.480 --> 00:07:40.130 Właściwie zapomniałem już co napisałem 00:07:40.140 --> 00:07:42.590 więc tylko sobie przypomnę, że 00:07:42.590 --> 00:07:45.560 pi rad = 180 stopni. 00:07:55.720 --> 00:07:56.690 Och, moja żona właśnie wróciła do domu, 00:07:56.690 --> 00:07:57.930 więc zostawię 00:07:57.930 --> 00:08:00.210 tą prezentację tak 00:08:00.210 --> 00:08:02.670 i dokończę później. 00:08:02.670 --> 00:08:04.540 Właściwie skończę tylko ten problem. 00:08:04.540 --> 00:08:07.270 a potem pójdę zająć się moją żoną. 00:08:07.270 --> 00:08:11.640 Wiemy że pi radianów równe jest 180 stopni, 00:08:11.640 --> 00:08:12.140 prawda? 00:08:12.140 --> 00:08:16.310 Więc 1 rad=180/... 00:08:16.310 --> 00:08:21.660 to jeden radian - jest równy 180/pi stopni. 00:08:21.660 --> 00:08:23.470 Właśnie odkryłem ten wzór ponownie, 00:08:23.470 --> 00:08:24.490 bo zawsze go zapominam. 00:08:24.490 --> 00:08:25.500 Wróćmy więc tutaj. 00:08:25.500 --> 00:08:33.160 pi/ 2 rad równa się 00:08:33.160 --> 00:08:38.510 pi/2 * 180/pi stopni. 00:08:38.510 --> 00:08:41.580 a to równa się 90 stopni. 00:08:47.240 --> 00:08:48.830 Pokażę jeszcze jeden przykład. 00:08:54.480 --> 00:08:55.910 Powiedzmy - 30 stopni. 00:09:00.950 --> 00:09:03.200 Jeszcze raz zapomniałem wzoru, więc wystarczy że pamiętam 00:09:03.200 --> 00:09:10.960 że pi radianów to 180 stopni. 00:09:10.960 --> 00:09:19.150 Jeden stopień równa się pi przez 180 radianów. 00:09:19.150 --> 00:09:23.030 Więc 30 stopni to 00:09:23.030 --> 00:09:27.220 30 razy pi przez 180 rad, 00:09:27.220 --> 00:09:31.320 co równa się... 30 mieści się w 180 sześć razy. 00:09:31.320 --> 00:09:36.160 To daje pi przez 6 radianów. 00:09:36.160 --> 00:09:37.890 Wiecie już 00:09:37.890 --> 00:09:40.310 jak zamieniać radiany na stopnie, 00:09:40.310 --> 00:09:41.770 a nawet dlaczego tak się nazywają, 00:09:41.770 --> 00:09:44.860 ponieważ są bardzo ściśle związane z promieniami 00:09:44.870 --> 00:09:48.570 i będziecie się czuć pewnie gdy ktoś was poprosi żebyście 00:09:48.570 --> 00:09:52.410 poradzili sobie z radianami w przeciwieństwie do stopni. 00:09:52.410 --> 00:09:54.670 Do zobaczenia w następnej prezentacji.