Simple Equations

Recimo, da imamo enačbo sedem krat x je enako štirinajst.

Preden poskusimo rešiti to enačbo,

pomislimo, kaj v resnici pomeni.

Sedem x je enako štirinajst,

kar je isto, kot če bi rekel sedem krat x.

To lahko naredimo na pamet.

Dobesedno si lahko zamislimo poštevanko števila 7.

Recimo: 7 krat 1 je enako 7. Tu še ni rešitve.

7 krat 2 je enako 14, torej 2 ustreza rešitvi enačbe.

Na ta način bi lahko enačbo rešili zelo hitro.

Precej hitro bi lahko s poskušanjem ugotovili,

da bo rešitev naše enačbe 2.

Kar pa bomo naredili v tem posnetku je, da bomo razmislili,

kako priti do rešitve sistematično.

Ugotovili bomo, da kaj kmalu, ko postanejo enačbe

bolj zapletene, ne bomo mogli priti do rešitve

samo s poskušanjem na pamet.

Zato je zelo pomembno da razumemo ne samo kako,

reševati enačbe, ampak, še bolj,

da razumemo, kaj v resnici predstavljajo.

Ta zapis dobesedno pomeni 7 krat x je enako štirinajst.

Pri zapisu, po dogovoru, izpustimo znak krat.

Ko zapišemo dve števili skupaj ali pa število

k spremenljivki kot jo imamo tukaj, to pomeni, da

ju množimo.

To je le poenostavljen, skrajšan zapis.

Pri tem na splošno ne uporabljamo znaka za množenje, ker

bi lahko povzročili zmedo, saj je x najpogostejša spremenjljivka,

ki jo uporabljamo v algebri.

In če bi zapisal 7 krat x je enako 14, in pri tem zapisal

znak za množenje ali pa x malenkost drugačne oblike, bi lahko izgledala

kot xx ali kot krat krat.

Zato, ko se ukvarjamo z enačbami,

še posebej v tistih kjer je spremenljivka x,

ne uporabljamo običajnega znaka za množenje.

Lahko bi uporabili nekaj drugega -- lahko bi uporabili piko

za ponazoritev množenja.

Torej bi lahko zapisali 7 krat x je enako 14.

Kar pa je še vedno neobičajno.

Če neko število množimo s neznanko (spremenljivko),

preprosto napišemo 7x.

Kar dobesedno pomeni 7 krat x.

Da bi razumeli kako se spopasti s to enačbo,

da bi prišli do rešitve si poskusimo predstavljati.

Kaj nam 7krat x v resnici predstavlja?

To je enako, kot -- še enkrat bom zapisal

enačbo, vendar v drugačni obliki.

Torej 7 krat x

Kar dobesedno pomeni da seštejemo 7 x-ov.

To je definicija množenja.

Dobesedno pomeni x plus x plus x plus x plus x -- poglejmo

tu je 5 x-ov -- plus x plus x.

Torej tukaj imamo dobesedno 7 x-ov.

Tu je 7 x-ov.

Naj prepišem.

To tukaj je 7x.

Ta enačba nam torej pove, da je 7x enako 14.

Preprosto rečeno, da je to enako 14.

Naj narišem še 14 predmetov.

Recimo torej da imam 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

9, 10, 11, 12, 13, 14.

Z besedami lahko rečemo, da je 7x enako 14 predmetom.

Ta trditev je enačba.

Razlog zakaj sem jih narisal tako je,

da bomo resnično razumeli, kaj bomo storili, ko bomo

obe strani delili s 7.

Naj to pobrišem.

Običajno naredimo -- Nisem želel storiti tega,

naj narišem še zadnji krogec.

Torej ponavadi, ko poenostavljamo enačbe

-- je koeficient število, ki pomnoži

spremenljivko

Torej neko število pomnoženo s spremenljivko ali pa rečemo

koeficient krat spremenljivka je enako

nečemu drugemu.

Kar želimo storiti v tem primeru je, da delimo obe strani s 7

oziroma obe strani delimo s koeficientom.

Torej, če delimo obe strani s 7, kaj dobimo?

7 krat neko število deljeno s 7

bo še vedno neko število.

sedmice se krajšajo in 14 deljeno s sedem je 2.

Naša rešitev je x je enako 2.

Da nam bo povsem jasno kaj se dogaja tukaj

ko delimo obe strani

enačbe s 7, jih dobesedno delimo na 7 delov.

To je enačba.

Pravi, da je to, na levi strani enako temu na desni.

Karkoli storim z levo stranjo, moram storiti tudi z desno.

Če sta na začetku enakovredni, ne smem eni strani spremeniti ničesar,

sicer ne bi bili več enakovredni.

Bili sta enaki.

Torej če delim levo stran s 7, naj jih razdelim

v sedem skupin.

Tukaj je 7 x-ov. En, dva, tri,

štiri, pet, šest, sedem.

Tu je: en, dva, tri, štiri, pet, šest, sedem skupin.

Če sem razdelil to stran v sedem skupin, bom prav tako

razdelil desno stran v sedem skupin.

En, dva, tri, štiri, pet, šest, sedem.

Če je vse na tej strani enako vsemu skupaj na tej strani, potem bo vsak

od teh koščkov, teh 7 koščkov bo

enakovrednih.

Rečemo lahko, da je ta košček enak temu koščku,

ta košček je enak temu --

sami enakovredni koščki.

Tu je sedem koščov in tu jih je sedem

Torej mora biti vsak x enak tem dvem predmetom.

Dobimo, da je x enako -- v tem primeru

smo izrisali ta dva predmeta in ker sta dva,

pomeni, da je x enako 2.

Naredimo še nekaj primerov,

da bomo osvojili postopke reševanja enačb.

In karkoli storimo na eni strani enačbe,

moramo storiti tudi na drugi.

Pojdimo malo nižje...

Recimo, da imamo enačbo 3x je enako 15.

Kot prej, bi tudi to lahko izračunali na pamet.

Rekli bi: "3 krat nekaj

je enako 15".

Lahko bi pomislili na poštevanko števila 3 in prišli do rešitve.

Če pa želimo to storiti sistematično -

- kar je tudi prav - recimo,

da je leva stran enačbe enakovredna desni.

Kaj moram storiti z levo stranjo enačbe,

da bi nam na tej strani ostal samo x?

Da bi nam na levi ostal samo x, moramo enačbo deliti s 3.

To storimo zato,

da se na levi znebimo števila 3,

in da nam ostane samo še število x.

3x je bilo enako 15.

Levo stran delim s številom 3. Da bi enačba ostala enakovredna,

moram s številom 3 deliti tudi desno stran.

Kaj dobimo?

Na levi strani ostane samo še x,

torej x.

In na desni? 15 deljeno s 3 je koliko?

Odgovor je 5.

Do rešitve bi lahko prišli tudi na malenkost drugačen način,

ki pa je prejšnjemu zelo podoben.

Če začnemo znova, bi lahko rekli:

"Hej, namesto da bi enačbo delili, se lahko znebimo števila 3

in dobimo samo x, če obe strani enačbe

pomnožimo z 1/3 (ena tretjina)."

Če obe strani enačbe množimo z 1/3,

nam mora prav tako uspeti.

Poglejmo, 1/3 števila 3 je 1.

Ko pomnožimo 1/3 s 3,

dobimo 1, 1x.

1x je enako 15 krat 1/3 , kar je enako 5.

1krat x je enako kot če bi rekli samo x, torej enako

kot če rečemo preprosto: "x je enako 5."

Ta dva postopka sta v svojem bistvu enakovredna.

Če obe strani delimo s številom 3,

je enako, kot če obe strani pomnožimo z 1/3.

Rešimo še eno enačbo.

Izbral bom malo bolj zapleteno

in zamenjal bom spremenljivki.

Recimo, da imamo enačbo: 2y plus 4y je enako 18.

Kar naenkrat računanje "na pamet"

postane težje.

Preberemo: 2 krat nekaj plus 4 krat nekaj istega

je enako 18.

Torej malo težje, da bi do rešitve prišli z ugibanjem.

Lahko poskusite.

Recite: "Če je y enako 1, bi se račun glasil: 2 krat 1 plus 4 krat 1,"

torej se ne izide.

Rešimo to enačbo sistematično.

Še vedno lahko poskušamo, in morda pridemo do rešitve,

bolje pa, da naredimo to sistematično.

Narišimo si.

Če imamo dva y, kaj nam to pove?

Dobesedno to pomeni, da seštejemo dva y.

Torej y plus y.

K temu pa prištejemo še 4 y,

kar dobesedno pomeni,

da seštejemo 4 y.

y plus y plus y plus y.

To naj bi bilo enako 18.

To tukaj je enako 18.

Koliko y imamo na levi strani?

Koliko?

Imamo en, dva, tri, štiri, pet, šest y.

Poenostavljeno bi lahko zapisali 6y je enako 18.

Če pomislimo, postane stvar povsem logična.

Torej .

2y plus 4y je enako 6y, logično.

Kot če bi rekli: "2 jabolka plus 4 jabolk,

je šest jabolk.

Če seštejem 2y plus 4y dobimo torej 6y.

To naj bi bilo enako 18.

Od tu naprej pa mislim, da že znamo.

Če imam enačbo 6 krat nekaj je enako 18,

bom delil obe strani enačbe s 6 in dobil rešitev.

Delomo torej levo stran s 6,

in za njo še desno stran.

Ostane nam y je enako 3.

Lahko poskusite.

Ta stvar je pri enačbah nabolj "kul".

Vedno lahko preveriš, ali je rešitev pravilna.

Poglejmo, če deluje.

2 krat 3 plus 4 krat 3 je enako kot?

2krat 3, to je 6 ...

... potem: 4 krat 3 je enako 12 ...

6 plus 12 je resnično enako 18.

Torej uspe!