Simple Equations

Ας πούμε ότι έχουμε την εξίσωση επτά φορές το x είναι ίσο με δεκατέσσερα.

Τώρα, πριν καν προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτή την εξίσωση,

αυτό που θέλω να κάνω είναι να σκεφτούμε λίγακι τι πραγματικά σημαίνει αυτό εδώ.

Επτά x είναι ίσο με δεκατέσσερα,

αυτό είναι ακριβώς το ίδιο με το να πούμε επτά φορές το x. 7 φορές το x ισούται με 14.

Μπορεί να είστε σε θέση να το κάνετε αυτό στο μυαλό σας.

Θα μπορούσατε να πάτε στον πίνακα της προπαίδειας του 7.

Λέτε λοιπόν, 7 φορές το 1 είναι ίσο με 7,
οπότε αυτό δε δουλεύει στη περίπτωση μας.

7 φορές το 2 είναι ίσο με
14, οπότε το 2 είναι το δουλεύει σε αυτή την περίπτωση

Έτσι, θα είστε αμέσως σε θέση να το λύσετε.

Προσπαθώντας με διαφορετικούς αριθμούς

θα καταλήγατε αμέσως στο 2.

Αλλά αυτό που θα κάνουμε σε αυτό το βίντεο είναι να σκεφτούμε

πώς να λύσουμε αυτή την εξίσωση με ένα σύστημα.

Γιατί αυτό που θα μάθουμε είναι ότι όσο αυτές οι εξισώσεις γίνονται

όλο και πιο περίπλοκες, δεν θα είμαστε σε θέση απλά να

τις σκεφτούμε και να κάνουμε υπολογισμούς στο μυαλό μας.

Έτσι, είναι πολύ σημαντικό πρώτον, να καταλάβουμε πώς

να χειριζόμαστε τέτοιες εξισώσεις, αλλά ακόμη πιο σημαντικό, να

κατανοήσουμε αυτό που στην πραγματικότητα αντιπροσωπεύουν.

Αυτό που λέει η εξίσωση είναι ότι 7 φορές το x είναι ίσο με το 14.

Στην άλγεβρα δεν γράφουμε την λέξη "φορές".

Όταν γράφουμε δύο αριθμούς δίπλα δίπλα ή έναν αριθμό δίπλα

σε μια μεταβλητή, όπως το x, σημαίνει ότι

κάνουμε πολλαπλασιασμό.

Είναι απλώς μια συντομογραφία.

Και σε γενικές γραμμές δεν χρησιμοποιούμε το
σύμβολο του πολλαπλασιασμού, διότι

μπορεί να μπερδέψει, καθώς το x είναι
η πιο κοινή μεταβλητή

που χρησιμοποιούμε στην άλγεβρα.

Και αν ήταν να γράψω 7 φορές
x είναι ίσο με το 14,

θα μπορούσε να φαίνεται

σαν 7xx=14, το οποίο μπερδέυει.

Έτσι, σε γενικές γραμμές όταν ασχολούμαστε με εξισώσεις,

ειδικά όταν μία από τις
μεταβλητές είναι το x, δεν θα χρειαζόταν

να χρησιμοποιηθεί το παραδοσιακό σύμβολο του
πολλαπλασιασμού.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κάτι σαν
αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μία τελεία ώστε να

δηλώσετε τον πολλαπλασιασμό.

Έτσι μπορείτε να έχετε 7
φορές είναι ίσο με 14.

Αλλά και αυτό είναι λίγο ασυνήθιστο.

Εάν έχουμε κάτι που το
πολλαπλασιάζουμε με μία μεταβλητή

θα γράψουμε μόνο 7x.

Αυτό θα σημαίνει κυριολεκτικά 7 φορές το x.

Τώρα, για να καταλάβετε πώς μπορείτε να
διαχειριστήτε αυτή την εξίσωση για να

λύσετε αυτό, ας απεικονήσουμε αυτό.

7 φορές το x, τι είναι αυτό;

Είναι το ίδιο πράγμα - οπότε θα ξαναγράψω αυτή την

εξίσωση, αλλά αυτή τη φορά σε οπτική μορφή.

Έτσι, 7 φορές το x.

Οπότε, αυτό σημαίνει κυριολεκτικά ότι το x
προστίθεται στον εαυτό του 7 φορές.

Αυτός είναι ο ορισμός του πολλαπλασιασμού.

Έτσι, στην κυριολεξία είναι x συν x συν
x συν x συν x,

που είναι 5 x - συν x συν x.

Έτσι ώστε να έχουμε 7 x.

Αυτό είναι 7x.

Επιτρέψτε μου εκ νέου να το ξαναγράψω.

Αυτό είναι 7x.

Τώρα αυτή η εξίσωση μας λέει
ότι 7x είναι ίσο με 14.

Έτσι απλά λέγοντας ότι
αυτό είναι ίσο με το 14.

Επιτρέψτε μου να ζωγραφήσω 14 αντικείμενα εδώ.

Ας πούμε ότι έχω 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, 11, 12, 13, 14.

Έτσι κυριολεκτικά λέμε
7x είναι ίσο με 14 πράγματα.

Αυτά είναι ισοδύναμα.

Τώρα ο λόγος για τον οποίο το ζωγράφησα
με αυτόν τον τρόπο είναι έτσι ώστε να

καταλάβουμε τί πάμε να κάνουμε όταν

χωρίζουμε και τις δύο πλευρές σε 7.

Επιτρέψτε μου λοιπόν να σβήσω αυτό εδώ.

Έτσι, το πρότυπο βήμα κάθε φορά
- δεν ήθελα να το κάνω αυτό,

επιτρέψτε μου να κάνω αυτό, να ζωγραφήσω
τον τελευταίο κύκλο.

Έτσι, σε γενικές γραμμές, κάθε φορά που
απλοποιούμε μια εξίσωση

- ένας συντελεστής είναι μόνο ο
αριθμός που πολλαπλασιάζει

την μεταβλητή.

Έτσι, κάποιος αριθμός πολλαπλασιάζει την
μεταβλητή ή θα μπορούσαμε να πούμε ότι

ο συντελεστής επί την μεταβλητή α ισούται με

κάτι άλλο.

Αυτό που πρέπει να κάνετε είναι διαιρέσετε και τις δύο πλευρές με το 7

ή γενικά να διαιρέσεται και τις δύο
πλευρές με όποιον συντελεστή έχετε.

Έτσι, αν χωρίσεται τις δύο πλευρές με το 7 τι έχετε;

7 φορές κάτι διαιρούμενο με το 7 θα μας δώσει

την αρχική τιμή.

Όταν το 14 διαιρείται με το 7 μας δίνει 2.

Έτσι, η λύση μας θα είναι ότι
το x είναι ίσο με 2.

Αλλά για να γίνει πολύ κατανοητό αυτό,

αυτό που συμβαίνει εδώ είναι ότι όταν
διαιρούμε τις δύο πλευρές της

εξίσωσης με το 7, στην κυριολεξία
διαιρούμε τις δύο πλευρές με το 7.

Αυτό είναι μια εξίσωση.

Αυτό που λέμε είναι ότι αυτό είναι ίσο με εκείνο.

Ότι κάνουμε στην αριστερή πλευρά θα πρέπει να το
κάνουμε και στην δεξιά.

Αν ξεκινήσουν οι πλευρές ως ίσες,
δεν γίνεται να κάνουμε μία πράξη

στην μία πλευρά και να εξακολουθούν να είναι ίσες οι πλευρές.

Η μία πλευρά ήταν ίση με την άλλη.

Έτσι, αν πρέπει να διαιρέσω την αριστερή πλευρά
με το 7, οπότε επιτρέψτε μου να την διαιρέσω

σε επτά ομάδες.

Έτσι, υπάρχουν επτά x εδώ,
ώστε να είναι ένα, δύο, τρία,

τέσσερα, πέντε, έξι, επτά.

Έτσι είναι ένα, δύο, τρία, τέσσερα,
πέντε, έξι, επτά ομάδες.

Τώρα, αν το χωρίσω σε
επτά ομάδες, θα θέλω επίσης

να χωρίσω και την δεξιά
πλευρά σε επτά ομάδες.

Ένα, δύο, τρία, τέσσερα,
πέντε, έξι, επτά.

Έτσι, αν όλο αυτό είναι ίσο
με όλο αυτό, τότε κάθε

ένα από αυτά τα μικρά κομμάτια που χωρίσαμε σε αυτά τα επτά κομμάτια,

θα είναι ισοδύναμο.

Έτσι αυτό το κομμάτι θα μπορούσαμε να πούμε
ισούται με αυτό το κομμάτι.

Αυτό το κομμάτι είναι ίσο με
αυτό το κομμάτι - είναι

όλα τα κομμάτια ισοδύναμα.

Υπάρχουν επτά κομμάτια
εδώ και επτά κομμάτια εδώ.

Έτσι, κάθε x πρέπει να είναι ίσο
με δύο από αυτά τα αντικείμενα.

Έτσι παίρνουμε ότι το x είναι ίσο, σε
αυτή την περίπτωση

είχαμε τα αντικείμενα ζωγραφισμένα εδώ είναι δύο από

αυτά. Το x είναι ίσο με 2.

Τώρα, ας κάνουμε μερικά ακόμα
παραδείγματα εδώ ώστε να

καταλάβουμε ότι έχουμε να κάνουμε με μια εξίσωση,

καθώς και κάθε πράξη που κάνετε
στη μία πλευρά της εξίσωσης

θα πρέπει να κάνετε για να την άλλη πλευρά.

Επιτρέψτε μου λοιπόν να προχωρήσω λίγο κάτω.

Ας πούμε ότι έχουμε 3x ίσο με 15.

Τώρα πάλι, ίσως να
μπορείτε να το κάνετε με το μυαλό σας.

Λέτε δηλαδή ότι 3 φορές κάποιον

αριθμό ισούται με 15.

Θα μπορούσατε να πάτε στον πίνακα της προπαίδειας
και να το δείτε.

Αλλά αν θέλαμε να έχουμε ένα σύστημα
για να το λύσουμε, και

είναι καλό να το καταλάβουμε με σύστημα,
θα πούμε, ωραία

αυτό στα αριστερά είναι ίσο
σε αυτό στα δεξιά.

Τι πρέπει να κάνω σε αυτό στα αριστερά

ώστε να έχει ένα x εκεί;

Για να έχει ένα x εκεί, πρέπει να
το διαιρέσουμε με το 3.

Και το κίνητρό μου για να το κάνω
αυτό είναι ότι 3 φορές

κάτι που διαιρείται με το 3, αυτοεξουδετερώνεται και

μένω με ένα x.

Τώρα, 3x ήταν ίσο με 15.

Αν διαιρώ την αριστερή πλευρά με το 3,
προκειμένου για την ισότητα

να ισχύει, πρέπει επίσης να
διαιρέσω την δεξιά πλευρά με το 3.

Τώρα τι μας δίνει αυτό;

Στην αριστερή πλευρά, θα μείνουμε με

ένα x, έτσι πρόκειται να είναι απλά ένα x.

Και τότε στην δεξιά πλευρά,
τι μας κάνει 15 δια του 3;

Μας κάνει 5.

Τώρα, θα μπορούσαμε να λύσουμε την
εξίσωση με έναν ελαφρώς

διαφορετικό τρόπο, αν και
είναι πραγματικά ισοδύναμα.

Αν αρχίσω με το ότι 3x είναι ίσο με
15, θα μπορούσατε να πείτε, μισό λεπτό

αντί για το διαιρέσω με το 3, θα
μπορούσα να απαλλαγώ από αυτό το 3,

θα μπορούσα απλά να μείνω με ένα x, εάν
πολλαπλασιάσω και τις δύο πλευρές της

εξίσωσης με το 1 / 3.

Αν λοιπόν πολλαπλασιάσω τις δύο πλευρές
αυτής της εξίσωσης με το 1 / 3

θα μου έκανε πάλι.

Λέτε, το 1 / 3 των 3 είναι 1.

Όταν απλά πολλαπλασιάσετε το
δεξί μέρος, 1 / 3 φορές

το 3, είναι μόλις 1, 1x.

Το 1x είναι ίσο με 15 φορές
το 1 / 3, ίσο με το 5.

Και 1 φορά το x είναι το ίδιο πράγμα
με το x, έτσι αυτό είναι το ίδιο

πράγμα με το x είναι ίσο με 5.

Και αυτά είναι όντως
ίδιοι τρόποι για να γίνει αυτό.

Εάν διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με
το 3, ισοδυναμεί σαν να

πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές
της εξίσωσης με το 1 / 3.

Τώρα ας κάνουμε ένα ακόμα παράδειγμα και
θα το κάνω

λίγο πιο περίπλοκο.

Και θα αλλάξω και την μεταβλητή λίγο.

Ας πούμε ότι έχω 2y συν 4y ίσο με 18.

Τώρα ξαφνικά είναι
λίγο πιο δύσκολο να

κάνουμε την πράξη στο μυαλό μας.

Λέμε 2 φορές κάτι
συν 4 φορές το ίδιο κάτι

είναι ίσο με 18.

Έτσι είναι πιο δύσκολο να σκεφτούμε
τι αριθμός είναι.

Θα μπορούσαμε να δοκιμάσουμε.

Πέστε πώς εάν το y ήταν 1, θα ήταν 2
φορές το 1 συν 4 φορές 1,

Καταλαβαίνετε ότι δεν μπορούμε έτσι.

Αλλά ας σκεφτούμε πώς θα μπορούσαμε
να το κάνουμε με σύστημα.

Θα μπορούσατε να συχεσίσετε να μαντέυετε και
ίσως τελικά να βρείτε

την απάντηση, αλλά πώς το κάνουμε αυτό
με σύστημα.

Ας το απεικονίσουμε.

Έτσι, αν έχω δύο y,
τι σημαίνει αυτό;

Σημαίνει ότι έχω δύο y που προσθέτονται το ένα
στο άλλο.

Έτσι, είναι y συν y.

Και τότε προσθέτω σε αυτό άλλα 4 y.

Οπότε προσθέτω 4 y τα οποία

προστίθενται το ένα με το άλλο.

Έτσι είναι y συν y συν y συν y.

Και αυτό πρέπει να
είναι ίσο με το 18.

Έτσι αυτό είναι ίσο με 18.

Τώρα, πόσα y έχουμε στην αριστερή πλευρά;

Πόσα y έχουμε;

Έχω ένα, δύο, τρία,
τέσσερα, πέντε, έξι y.

Έτσι θα μπορούσαμε να το απλοποιήσουμε και να
πούμε πως 6y είναι ίσο με 18.

Και αν το σκεφτείτε είναι απόλυτα λογικό.

Έτσι, αυτό εδώ, 2y συν το 4y είναι 6y.

Έτσι 2y συν 4y είναι 6y,
το οποίο έχει νόημα.

Αν έχω 2 μήλα συν 4 μήλα,

θα έχω 6 μήλα στο σύνολο.

Αν έχω 2 y συν 4 y θα έχω στο σύνολο 6 y.

Τώρα αυτό είναι ίσο με το 18.

Και τώρα, ελπίζω να καταλαβαίνουμε πώς το κάνουμε αυτό.

Αν έχω 6 φορές κάτι που είναι
ίσο με 18, αν διαιρέσω και τις 2

πλευρές αυτής της εξίσωσης με 6,
θα λύσω το κάτι.

Έτσι, διαιρούμε την αριστερή πλευρά με το 6

και διαιρούμε και την δεξιά πλευρά με το 6.

Και μένουμε με το y ίσο με 3.

Και θα μπορούσατε να το δοκιμάσετε.

Αυτό είναι το καλό με μια εξίσωση.

Μπορείτε πάντα να ελέγχετε αν έχετε τη σωστή απάντηση.

Ας δούμε αν αυτό λειτουργεί.

2 φορές το 3 συν 4 φορές το 3 είναι ίσο με;

2 φορές το 3 μας κάνει 6.

Και μετά 4 φορές το 3 είναι 12.

6 συν 12, ισούται όντως με 18.

Οπότε, λειτουργεί.