0:00:00.418,0:00:12.533 Ας πούμε ότι έχουμε την εξίσωση επτά φορές το x είναι ίσο με δεκατέσσερα.[br] 0:00:12.533,0:00:15.867 Τώρα, πριν καν προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτή την εξίσωση, 0:00:15.867,0:00:19.737 αυτό που θέλω να κάνω είναι να σκεφτούμε λίγακι τι πραγματικά σημαίνει αυτό εδώ. 0:00:19.737,0:00:22.430 Επτά x είναι ίσο με δεκατέσσερα, 0:00:22.430,0:00:39.427 αυτό είναι ακριβώς το ίδιο με το να πούμε επτά φορές το x. 7 φορές το x ισούται με 14. 0:00:39.427,0:00:43.533 Μπορεί να είστε σε θέση να το κάνετε αυτό στο μυαλό σας. 0:00:43.533,0:00:45.743 Θα μπορούσατε να πάτε στον πίνακα της προπαίδειας του 7. 0:00:45.743,0:00:48.762 Λέτε λοιπόν, 7 φορές το 1 είναι ίσο με 7, [br]οπότε αυτό δε δουλεύει στη περίπτωση μας. 0:00:48.762,0:00:54.010 7 φορές το 2 είναι ίσο με[br]14, οπότε το 2 είναι το δουλεύει σε αυτή την περίπτωση 0:00:54.010,0:00:56.424 Έτσι, θα είστε αμέσως σε θέση να το λύσετε. 0:00:56.424,0:00:59.257 Προσπαθώντας με διαφορετικούς αριθμούς 0:00:59.257,0:01:01.394 θα καταλήγατε αμέσως στο 2. 0:01:01.394,0:01:03.716 Αλλά αυτό που θα κάνουμε σε αυτό το βίντεο είναι να σκεφτούμε 0:01:03.716,0:01:05.666 πώς να λύσουμε αυτή την εξίσωση με ένα σύστημα. 0:01:05.666,0:01:08.267 Γιατί αυτό που θα μάθουμε είναι ότι όσο αυτές οι εξισώσεις γίνονται 0:01:08.267,0:01:10.728 όλο και πιο περίπλοκες, δεν θα είμαστε σε θέση απλά να 0:01:10.728,0:01:12.586 τις σκεφτούμε και να κάνουμε υπολογισμούς στο μυαλό μας. 0:01:12.586,0:01:15.418 Έτσι, είναι πολύ σημαντικό πρώτον, να καταλάβουμε πώς 0:01:15.418,0:01:16.733 να χειριζόμαστε τέτοιες εξισώσεις, αλλά ακόμη πιο σημαντικό, να 0:01:16.733,0:01:18.251 κατανοήσουμε αυτό που στην πραγματικότητα αντιπροσωπεύουν. 0:01:18.251,0:01:21.920 Αυτό που λέει η εξίσωση είναι ότι 7 φορές το x είναι ίσο με το 14. 0:01:21.920,0:01:24.753 Στην άλγεβρα δεν γράφουμε την λέξη "φορές". 0:01:26.588,0:01:28.422 Όταν γράφουμε δύο αριθμούς δίπλα δίπλα ή έναν αριθμό δίπλα 0:01:28.422,0:01:30.419 σε μια μεταβλητή, όπως το x, σημαίνει ότι 0:01:30.419,0:01:32.090 κάνουμε πολλαπλασιασμό. 0:01:32.090,0:01:34.087 Είναι απλώς μια συντομογραφία. 0:01:34.087,0:01:36.595 Και σε γενικές γραμμές δεν χρησιμοποιούμε το[br]σύμβολο του πολλαπλασιασμού, διότι 0:01:36.595,0:01:41.067 μπορεί να μπερδέψει, καθώς το x είναι[br]η πιο κοινή μεταβλητή 0:01:41.067,0:01:42.400 που χρησιμοποιούμε στην άλγεβρα. 0:01:42.400,0:01:49.412 Και αν ήταν να γράψω 7 φορές[br]x είναι ίσο με το 14, 0:01:49.412,0:01:52.400 θα μπορούσε να φαίνεται 0:01:52.400,0:01:54.985 σαν 7xx=14, το οποίο μπερδέυει. 0:01:54.985,0:01:57.400 Έτσι, σε γενικές γραμμές όταν ασχολούμαστε με εξισώσεις, 0:01:57.400,0:01:58.933 ειδικά όταν μία από τις[br]μεταβλητές είναι το x, δεν θα χρειαζόταν[br] 0:01:58.933,0:02:01.255 να χρησιμοποιηθεί το παραδοσιακό σύμβολο του[br]πολλαπλασιασμού. 0:02:01.255,0:02:05.434 Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κάτι σαν[br]αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μία τελεία ώστε να 0:02:05.434,0:02:06.595 δηλώσετε τον πολλαπλασιασμό. 0:02:06.595,0:02:10.403 Έτσι μπορείτε να έχετε 7[br]φορές είναι ίσο με 14. 0:02:10.403,0:02:13.004 Αλλά και αυτό είναι λίγο ασυνήθιστο.[br] 0:02:13.004,0:02:14.908 Εάν έχουμε κάτι που το[br]πολλαπλασιάζουμε με μία μεταβλητή 0:02:14.908,0:02:16.766 θα γράψουμε μόνο 7x. 0:02:16.766,0:02:19.738 Αυτό θα σημαίνει κυριολεκτικά 7 φορές το x. 0:02:19.738,0:02:22.478 Τώρα, για να καταλάβετε πώς μπορείτε να[br]διαχειριστήτε αυτή την εξίσωση για να 0:02:22.478,0:02:25.403 λύσετε αυτό, ας απεικονήσουμε αυτό. 0:02:25.403,0:02:27.493 7 φορές το x, τι είναι αυτό; 0:02:27.493,0:02:29.815 Είναι το ίδιο πράγμα - οπότε θα ξαναγράψω αυτή την 0:02:29.815,0:02:32.323 εξίσωση, αλλά αυτή τη φορά σε οπτική μορφή. 0:02:32.323,0:02:35.388 Έτσι, 7 φορές το x. 0:02:35.388,0:02:38.081 Οπότε, αυτό σημαίνει κυριολεκτικά ότι το x[br]προστίθεται στον εαυτό του 7 φορές. 0:02:38.081,0:02:40.403 Αυτός είναι ο ορισμός του πολλαπλασιασμού. 0:02:40.403,0:02:48.484 Έτσι, στην κυριολεξία είναι x συν x συν[br]x συν x συν x, 0:02:48.484,0:02:51.735 που είναι 5 x - συν x συν x. 0:02:51.735,0:02:55.589 Έτσι ώστε να έχουμε 7 x. 0:02:55.589,0:02:57.168 Αυτό είναι 7x. 0:02:57.168,0:02:58.143 Επιτρέψτε μου εκ νέου να το ξαναγράψω. 0:02:58.143,0:03:03.716 Αυτό είναι 7x. 0:03:03.716,0:03:07.664 Τώρα αυτή η εξίσωση μας λέει[br]ότι 7x είναι ίσο με 14. 0:03:07.664,0:03:11.472 Έτσι απλά λέγοντας ότι[br]αυτό είναι ίσο με το 14. 0:03:11.472,0:03:14.072 Επιτρέψτε μου να ζωγραφήσω 14 αντικείμενα εδώ. 0:03:14.072,0:03:19.831 Ας πούμε ότι έχω 1,[br]2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0:03:19.831,0:03:23.467 9, 10, 11, 12, 13, 14. 0:03:23.467,0:03:26.936 Έτσι κυριολεκτικά λέμε[br]7x είναι ίσο με 14 πράγματα. 0:03:26.936,0:03:29.398 Αυτά είναι ισοδύναμα. 0:03:29.398,0:03:32.741 Τώρα ο λόγος για τον οποίο το ζωγράφησα[br]με αυτόν τον τρόπο είναι έτσι ώστε να 0:03:32.741,0:03:35.388 καταλάβουμε τί πάμε να κάνουμε όταν 0:03:35.388,0:03:37.664 χωρίζουμε και τις δύο πλευρές σε 7. 0:03:37.664,0:03:39.800 Επιτρέψτε μου λοιπόν να σβήσω αυτό εδώ. 0:03:39.800,0:03:44.398 Έτσι, το πρότυπο βήμα κάθε φορά[br]- δεν ήθελα να το κάνω αυτό, 0:03:44.398,0:03:47.867 επιτρέψτε μου να κάνω αυτό, να ζωγραφήσω[br]τον τελευταίο κύκλο. 0:03:47.867,0:03:53.407 Έτσι, σε γενικές γραμμές, κάθε φορά που[br]απλοποιούμε μια εξίσωση 0:03:53.407,0:03:56.147 - ένας συντελεστής είναι μόνο ο[br]αριθμός που πολλαπλασιάζει 0:03:56.147,0:03:57.308 την μεταβλητή. 0:03:57.308,0:03:58.748 Έτσι, κάποιος αριθμός πολλαπλασιάζει την[br]μεταβλητή ή θα μπορούσαμε να πούμε ότι 0:03:58.748,0:04:00.837 ο συντελεστής επί την μεταβλητή α ισούται με 0:04:00.837,0:04:03.159 κάτι άλλο. 0:04:03.159,0:04:05.249 Αυτό που πρέπει να κάνετε είναι διαιρέσετε και τις δύο πλευρές με το 7 0:04:05.249,0:04:07.757 ή γενικά να διαιρέσεται και τις δύο[br]πλευρές με όποιον συντελεστή έχετε. 0:04:07.757,0:04:12.494 Έτσι, αν χωρίσεται τις δύο πλευρές με το 7 τι έχετε; 0:04:12.494,0:04:16.255 7 φορές κάτι διαιρούμενο με το 7 θα μας δώσει 0:04:16.255,0:04:18.252 την αρχική τιμή. 0:04:18.252,0:04:22.664 Όταν το 14 διαιρείται με το 7 μας δίνει 2. 0:04:22.664,0:04:26.751 Έτσι, η λύση μας θα είναι ότι[br]το x είναι ίσο με 2. 0:04:26.751,0:04:29.398 Αλλά για να γίνει πολύ κατανοητό αυτό, 0:04:29.398,0:04:32.742 αυτό που συμβαίνει εδώ είναι ότι όταν[br]διαιρούμε τις δύο πλευρές της 0:04:32.742,0:04:36.410 εξίσωσης με το 7, στην κυριολεξία[br]διαιρούμε τις δύο πλευρές με το 7. 0:04:36.410,0:04:37.664 Αυτό είναι μια εξίσωση. 0:04:37.664,0:04:39.800 Αυτό που λέμε είναι ότι αυτό είναι ίσο με εκείνο. 0:04:39.800,0:04:43.469 Ότι κάνουμε στην αριστερή πλευρά θα πρέπει να το[br]κάνουμε και στην δεξιά. 0:04:43.469,0:04:46.163 Αν ξεκινήσουν οι πλευρές ως ίσες,[br]δεν γίνεται να κάνουμε μία πράξη 0:04:46.163,0:04:48.400 στην μία πλευρά και να εξακολουθούν να είναι ίσες οι πλευρές. 0:04:48.400,0:04:50.482 Η μία πλευρά ήταν ίση με την άλλη. 0:04:50.482,0:04:54.986 Έτσι, αν πρέπει να διαιρέσω την αριστερή πλευρά[br]με το 7, οπότε επιτρέψτε μου να την διαιρέσω 0:04:54.986,0:04:56.054 σε επτά ομάδες. 0:04:56.054,0:04:59.816 Έτσι, υπάρχουν επτά x εδώ,[br]ώστε να είναι ένα, δύο, τρία, 0:04:59.816,0:05:01.813 τέσσερα, πέντε, έξι, επτά. 0:05:01.813,0:05:04.460 Έτσι είναι ένα, δύο, τρία, τέσσερα,[br]πέντε, έξι, επτά ομάδες.[br] 0:05:04.460,0:05:07.664 Τώρα, αν το χωρίσω σε[br]επτά ομάδες, θα θέλω επίσης 0:05:07.664,0:05:11.400 να χωρίσω και την δεξιά[br]πλευρά σε επτά ομάδες. 0:05:11.400,0:05:16.999 Ένα, δύο, τρία, τέσσερα,[br]πέντε, έξι, επτά. 0:05:16.999,0:05:19.599 Έτσι, αν όλο αυτό είναι ίσο[br]με όλο αυτό, τότε κάθε 0:05:19.599,0:05:26.008 ένα από αυτά τα μικρά κομμάτια που χωρίσαμε σε αυτά τα επτά κομμάτια, 0:05:26.008,0:05:28.330 θα είναι ισοδύναμο. 0:05:28.330,0:05:31.674 Έτσι αυτό το κομμάτι θα μπορούσαμε να πούμε[br]ισούται με αυτό το κομμάτι. 0:05:31.674,0:05:35.064 Αυτό το κομμάτι είναι ίσο με[br]αυτό το κομμάτι - είναι 0:05:35.064,0:05:36.132 όλα τα κομμάτια ισοδύναμα. 0:05:36.132,0:05:37.711 Υπάρχουν επτά κομμάτια[br]εδώ και επτά κομμάτια εδώ. 0:05:37.711,0:05:41.798 Έτσι, κάθε x πρέπει να είναι ίσο[br]με δύο από αυτά τα αντικείμενα. 0:05:41.798,0:05:46.720 Έτσι παίρνουμε ότι το x είναι ίσο, σε[br]αυτή την περίπτωση[br] 0:05:46.720,0:05:49.414 είχαμε τα αντικείμενα ζωγραφισμένα εδώ είναι δύο από 0:05:49.414,0:05:51.132 αυτά. Το x είναι ίσο με 2. 0:05:51.132,0:05:54.067 Τώρα, ας κάνουμε μερικά ακόμα[br]παραδείγματα εδώ ώστε να 0:05:54.067,0:05:55.823 καταλάβουμε ότι έχουμε να κάνουμε με μια εξίσωση, 0:05:55.823,0:05:58.005 καθώς και κάθε πράξη που κάνετε[br]στη μία πλευρά της εξίσωσης 0:05:58.005,0:06:00.792 θα πρέπει να κάνετε για να την άλλη πλευρά. 0:06:00.792,0:06:04.507 Επιτρέψτε μου λοιπόν να προχωρήσω λίγο κάτω. 0:06:04.507,0:06:13.656 Ας πούμε ότι έχουμε 3x ίσο με 15. 0:06:13.656,0:06:15.931 Τώρα πάλι, ίσως να[br]μπορείτε να το κάνετε με το μυαλό σας. 0:06:15.931,0:06:18.160 Λέτε δηλαδή ότι 3 φορές κάποιον 0:06:18.160,0:06:19.467 αριθμό ισούται με 15. 0:06:19.467,0:06:22.247 Θα μπορούσατε να πάτε στον πίνακα της προπαίδειας[br]και να το δείτε. 0:06:22.247,0:06:25.498 Αλλά αν θέλαμε να έχουμε ένα σύστημα[br]για να το λύσουμε, και 0:06:25.498,0:06:27.820 είναι καλό να το καταλάβουμε με σύστημα,[br]θα πούμε, ωραία 0:06:27.820,0:06:30.420 αυτό στα αριστερά είναι ίσο[br]σε αυτό στα δεξιά. 0:06:30.420,0:06:32.742 Τι πρέπει να κάνω σε αυτό στα αριστερά 0:06:32.742,0:06:33.718 ώστε να έχει ένα x εκεί; 0:06:33.718,0:06:36.504 Για να έχει ένα x εκεί, πρέπει να[br]το διαιρέσουμε με το 3. 0:06:36.504,0:06:39.801 Και το κίνητρό μου για να το κάνω[br]αυτό είναι ότι 3 φορές 0:06:39.801,0:06:43.795 κάτι που διαιρείται με το 3, αυτοεξουδετερώνεται και[br] 0:06:43.795,0:06:45.400 μένω με ένα x. 0:06:45.400,0:06:47.742 Τώρα, 3x ήταν ίσο με 15. 0:06:47.742,0:06:53.129 Αν διαιρώ την αριστερή πλευρά με το 3,[br]προκειμένου για την ισότητα 0:06:53.129,0:06:57.495 να ισχύει, πρέπει επίσης να[br]διαιρέσω την δεξιά πλευρά με το 3. 0:06:57.495,0:06:58.749 Τώρα τι μας δίνει αυτό; 0:06:58.749,0:07:01.256 Στην αριστερή πλευρά, θα μείνουμε με 0:07:01.256,0:07:04.414 ένα x, έτσι πρόκειται να είναι απλά ένα x. 0:07:04.414,0:07:07.804 Και τότε στην δεξιά πλευρά,[br]τι μας κάνει 15 δια του 3; 0:07:07.804,0:07:11.752 Μας κάνει 5. 0:07:11.752,0:07:13.749 Τώρα, θα μπορούσαμε να λύσουμε την[br]εξίσωση με έναν ελαφρώς[br] 0:07:13.749,0:07:16.257 διαφορετικό τρόπο, αν και[br]είναι πραγματικά ισοδύναμα. 0:07:16.257,0:07:21.086 Αν αρχίσω με το ότι 3x είναι ίσο με[br]15, θα μπορούσατε να πείτε, μισό λεπτό 0:07:21.086,0:07:25.405 αντί για το διαιρέσω με το 3, θα[br]μπορούσα να απαλλαγώ από αυτό το 3, 0:07:25.405,0:07:28.331 θα μπορούσα απλά να μείνω με ένα x, εάν[br]πολλαπλασιάσω και τις δύο πλευρές της 0:07:28.331,0:07:30.142 εξίσωσης με το 1 / 3. 0:07:30.142,0:07:34.322 Αν λοιπόν πολλαπλασιάσω τις δύο πλευρές[br]αυτής της εξίσωσης με το 1 / 3 0:07:34.322,0:07:36.319 θα μου έκανε πάλι. 0:07:36.319,0:07:38.130 Λέτε, το 1 / 3 των 3 είναι 1. 0:07:38.130,0:07:42.170 Όταν απλά πολλαπλασιάσετε το[br]δεξί μέρος, 1 / 3 φορές 0:07:42.170,0:07:45.932 το 3, είναι μόλις 1, 1x. 0:07:45.932,0:07:51.737 Το 1x είναι ίσο με 15 φορές[br]το 1 / 3, ίσο με το 5. 0:07:51.737,0:07:56.799 Και 1 φορά το x είναι το ίδιο πράγμα[br]με το x, έτσι αυτό είναι το ίδιο 0:07:56.799,0:07:58.656 πράγμα με το x είναι ίσο με 5. 0:07:58.656,0:08:02.046 Και αυτά είναι όντως[br]ίδιοι τρόποι για να γίνει αυτό. 0:08:02.046,0:08:05.994 Εάν διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με[br]το 3, ισοδυναμεί σαν να 0:08:05.994,0:08:10.916 πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές[br]της εξίσωσης με το 1 / 3. 0:08:10.916,0:08:12.588 Τώρα ας κάνουμε ένα ακόμα παράδειγμα και[br]θα το κάνω 0:08:12.588,0:08:14.467 λίγο πιο περίπλοκο. 0:08:14.467,0:08:17.325 Και θα αλλάξω και την μεταβλητή λίγο. 0:08:17.325,0:08:36.923 Ας πούμε ότι έχω 2y συν 4y ίσο με 18. 0:08:36.923,0:08:38.502 Τώρα ξαφνικά είναι[br]λίγο πιο δύσκολο να 0:08:38.502,0:08:39.663 κάνουμε την πράξη στο μυαλό μας. 0:08:39.663,0:08:41.334 Λέμε 2 φορές κάτι[br]συν 4 φορές το ίδιο κάτι 0:08:43.586,0:08:45.839 είναι ίσο με 18. 0:08:45.839,0:08:48.068 Έτσι είναι πιο δύσκολο να σκεφτούμε[br]τι αριθμός είναι.[br] 0:08:48.068,0:08:49.415 Θα μπορούσαμε να δοκιμάσουμε. 0:08:49.415,0:08:52.062 Πέστε πώς εάν το y ήταν 1, θα ήταν 2[br]φορές το 1 συν 4 φορές 1, 0:08:52.062,0:08:53.409 Καταλαβαίνετε ότι δεν μπορούμε έτσι. 0:08:53.409,0:08:55.174 Αλλά ας σκεφτούμε πώς θα μπορούσαμε[br]να το κάνουμε με σύστημα. 0:08:55.174,0:08:56.752 Θα μπορούσατε να συχεσίσετε να μαντέυετε και[br]ίσως τελικά να βρείτε 0:08:56.752,0:08:58.146 την απάντηση, αλλά πώς το κάνουμε αυτό[br]με σύστημα.[br] 0:08:58.146,0:09:00.328 Ας το απεικονίσουμε. 0:09:00.328,0:09:02.279 Έτσι, αν έχω δύο y,[br]τι σημαίνει αυτό; 0:09:02.279,0:09:09.152 Σημαίνει ότι έχω δύο y που προσθέτονται το ένα[br]στο άλλο. 0:09:09.152,0:09:12.263 Έτσι, είναι y συν y. 0:09:12.263,0:09:15.003 Και τότε προσθέτω σε αυτό άλλα 4 y. 0:09:15.003,0:09:19.137 Οπότε προσθέτω 4 y τα οποία 0:09:19.137,0:09:20.808 προστίθενται το ένα με το άλλο. 0:09:20.808,0:09:24.338 Έτσι είναι y συν y συν y συν y. 0:09:24.338,0:09:29.075 Και αυτό πρέπει να[br]είναι ίσο με το 18. 0:09:29.075,0:09:35.251 Έτσι αυτό είναι ίσο με 18. 0:09:35.251,0:09:39.059 Τώρα, πόσα y έχουμε στην αριστερή πλευρά; 0:09:39.059,0:09:41.149 Πόσα y έχουμε; 0:09:41.149,0:09:45.747 Έχω ένα, δύο, τρία,[br]τέσσερα, πέντε, έξι y. 0:09:45.747,0:09:48.812 Έτσι θα μπορούσαμε να το απλοποιήσουμε και να[br]πούμε πως 6y είναι ίσο με 18. 0:09:48.812,0:09:51.134 Και αν το σκεφτείτε είναι απόλυτα λογικό. 0:09:51.134,0:09:56.799 Έτσι, αυτό εδώ, 2y συν το 4y είναι 6y. 0:09:56.799,0:10:00.793 Έτσι 2y συν 4y είναι 6y,[br]το οποίο έχει νόημα. 0:10:00.793,0:10:03.672 Αν έχω 2 μήλα συν 4 μήλα, 0:10:03.672,0:10:04.833 θα έχω 6 μήλα στο σύνολο. 0:10:04.833,0:10:07.620 Αν έχω 2 y συν 4 y θα έχω στο σύνολο 6 y. 0:10:07.620,0:10:10.174 Τώρα αυτό είναι ίσο με το 18. 0:10:10.174,0:10:15.422 Και τώρα, ελπίζω να καταλαβαίνουμε πώς το κάνουμε αυτό. 0:10:15.422,0:10:18.162 Αν έχω 6 φορές κάτι που είναι[br]ίσο με 18, αν διαιρέσω και τις 2 0:10:18.162,0:10:22.481 πλευρές αυτής της εξίσωσης με 6,[br]θα λύσω το κάτι. 0:10:22.481,0:10:30.793 Έτσι, διαιρούμε την αριστερή πλευρά με το 6 0:10:30.793,0:10:32.744 και διαιρούμε και την δεξιά πλευρά με το 6. 0:10:36.111,0:10:39.478 Και μένουμε με το y ίσο με 3. 0:10:39.478,0:10:40.499 Και θα μπορούσατε να το δοκιμάσετε. 0:10:40.499,0:10:41.985 Αυτό είναι το καλό με μια εξίσωση. 0:10:41.985,0:10:44.261 Μπορείτε πάντα να ελέγχετε αν έχετε τη σωστή απάντηση. 0:10:44.261,0:10:45.933 Ας δούμε αν αυτό λειτουργεί. 0:10:45.933,0:10:52.249 2 φορές το 3 συν 4 φορές το 3 είναι ίσο με; 0:10:52.249,0:10:56.335 2 φορές το 3 μας κάνει 6.[br] 0:10:56.335,0:10:59.493 Και μετά 4 φορές το 3 είναι 12. 0:10:59.493,0:11:03.998 6 συν 12, ισούται όντως με 18. 0:11:03.998,9:59:59.000 Οπότε, λειτουργεί.