Simple Ligninger

Eksempler på løsning af simple ligninger med forklaring og visualisering af, hvorfor man skal lave de samme operationer på begge sider af lighedstegnet.

Lad os sige, at vi har ligningen,

7 gange x er lig med 14.

Før vi forsøger at løse den her ligning,

så lad os lige tænke lidt over, hvad det her egentlig betyder.

7x er lig med 14.

Det er det samme som 7 gange x er lig med 14.

Vi kunne i princippet prøve at gætte os frem til løsningen med lidt hovedregning.

Vi kunne bruge 7-tabellen.

7 gange 1 er 7, så det er for lidt og duer ikke.

7 gange 2 er lig med 14, så det er løsningen.

Vi kunne løse det ret hurtigt.

Vi kunne løse det med det samme bare ved at prøve nogle forskellige tal.

x må være 2.

I den her video gennemgår vi en metode,

så vi kan løse ligningerne systematisk,

for vi vil opdage, at for mere komplicerede ligninger

kan vi ikke bare udregne det i hovedet ved at prøve os frem.

Det er derfor meget vigtigt at forstå,

hvordan vi omskriver og løser ligninger, men det er endnu vigtigere at forstå,

hvad ligningerne egentlig betyder.

Der står, at 7 gange et tal x er lig med 14.

I ligninger skriver vi normalt ikke gangetegnet.

Når vi skriver et tal ved siden af en variabel som den her,

betyder det bare, at vi ganger dem.

Det er bare en forsimplet måde at skrive det.

Vi bruger normalt ikke et kryds som gangetegn,

fordi det kan forveksles med x, som er det mest almindelige symbol for en variabel.

Hvis vi skrev 7 kryds x er lig med 14,

og vi skriver vores gangetegn som et kryds, eller hvis vores x er skrevet lidt for småt,

kunne det se ud, som om der står x x eller gange gange.

Når vi arbejder med ligninger,

især når variablen er x,

bruger vi ikke et kryds som gangetegn.

Vi kan godt bruge noget som det her.

Vi kan bruge en prik som gangetegn.

Vi kunne skrive 7 prik x er lig med 14.

Selvom det er acceptabelt, så er det mest almindelige,

når man f.eks. ganger noget med en variabel, at skrive 7x.

Det betyder 7 gange x.

For at forstå hvordan vi kan omskrive og løse ligningen,

kan vi visualisere den.

7 gange x. Hvad er det?

Nu omskriver vi lige udtrykket lidt, så vi kan visualisere det.

7 gange x.

Det betyder bare, at x plus x 7 gange.

Det er definitionen af gange.

Det er det samme som x plus x plus x plus x plus x. Hvor mange var det?

Det var 5 x'er - plus x plus x,

så nu er der 7 x'er.

Der er 7x lige her.

Lad os skrive det ned igen.

Det her er 7x,

så ligningen fortæller os, at 7x er lig med 14.

Det her er lig med 14.

Lad os tegne 14 cirkler her.

Så lad os sige, at vi har 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, 11, 12, 13, 14.

Så 7 x er lig med 14 ting.

De her er identiske udsagn.

Grunden til, at vi viser det sådan her er,

at vi nu kan se, hvad det betyder,

når vi deler begge sider med 7.

Vi rydder lige lidt op, så det er mere overskueligt.

Vi mangler lige en cirkel her.

Lad os tale lidt om, når vi generelt reducerer en ligning ned til et tal gange med en variabel.

Tallet foran variablen kalder vi for en koefficient.

Her er koefficienten 7.

For at finde x skal vi dele på begge sider med koefficienten, altså med 7.

Hvis vi deler begge sider med 7, hvad får vi så?

7 gange noget divideret med 7 giver blot det oprindelige noget.

7 går ud med hinanden.

14 divideret med 7 er 2.

Så løsningen er x er lig med 2.

For at gøre det helt klart vil vi vise,

hvad der sker her, når vi dividerer begge sider af ligningen med 7.

Vi deler begge sider med 7.

Det her en ligning.

Den siger, at det her er LIG med det der.

Alt hvad vi gør på den venstre side, SKAL vi også gøre på den højre side.

Hvis de starter med at være lige, kan vi ikke kun gøre noget

på den ende side og bevare ligheden.

Vi vil dele venstre side med 7,

så vi opdeler dem i 7 grupper.

Der er 7 x'ere her, så det er 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7.

Det var 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 grupper.

Hvis vi deler dem ind i 7 grupper,

skal vi også dele højre side ind i 7 grupper.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Hvis den her gruppe er lig med hele den her gruppe,

vil hvert af de her stykker, som vi delte ind i de her 7 stykker, svare til hinanden.

Vi kunne sige, at det stykke er lig med det stykke.

Det stykke er lig med det her stykke og så videre.

De er alle lige store.

Der er 7 stykker her og 7 stykker her.

x må altså være lig med 2 af de her stykker.

Så vi får, at x er lig med

2 stykker,

så x er lig med 2.

Lad os bare lave et par stykker mere,

så vi forstår, hvorfor det er,

at det vi gør på den ene side af ligningen,

skal vi også gøre på den anden side.

Lad os regne videre hernede.

Lad os nu sige, at vi har, at 3x er lig med 15.

Det kan vi måske klare i hovedet.

Ligningen siger, at 3 gange et eller andet tal er lig med 15.

Vi kunne bruge vores 3-tabel og regne det ud,

men vi vil gerne regne det mere systematisk,

fordi hjælper os med at forstå,

og det er nødvendigt for sværere ligninger.

Hvad skal vi så gøre på venstre side for at ende med x?

For kun at have et x på venstre side, skal vi dele med 3.

Det vil vi, for når noget ganget med 3 deles med 3,

vil 3-tallene gå ud med hinanden, og vi har kun x tilbage.

3x er lig med 15.

Hvis vi deler venstre side med 3, skal vi bevare lighedstegnet,

så vi bliver også nødt til at dele højre side med 3.

Hvad giver det?

På venstre side får vi bare x.

På højre side, hvad er så 15 divideret med 3?

Det er 5.

Man kunne også have regnet den her ligning en smule anderledes.

Hvis vi starter med 3x er lig med 15, kunne man sige,

at i stedet for at dele med 3, kunne vi få det her 3-tal væk.

Vi kunne stå tilbage med et x, hvis vi gangede begge sider af den her ligning med 1/3.

Hvis vi ganger begge sider af den her ligning med 1/3,

virker det også.

Vi siger 1/3 af 3 er lig med 1.

Vi ganger den del her med 1/3.

3 gange en 1/3. Det er bare 1.

1x er lig med 15 gange 1/3, som er lig med 5.

1 gange x er det samme som x,

så det er det samme som at sige,

at x er lig med 5.

Det giver det samme, for at dele begge sider med 3

er det samme som at gange begge sider af ligningen med 1/3.

Lad os lave én til, og den her gang vil vi lave den en smule mere kompliceret.

Vi bruger et andet symbol for vores variabel.

Lad os sige, at vi har 2y plus 4y er lig med 18.

Nu er det allerede noget sværere at regne i hovedet.

Der står, at 2 gange et tal plus 4 gange det samme tal er lig med 18.

Det er sværere at regne ud, hvad tallet er.

Vi kan forsøge.

Hvis nu y var 1, så ville det være 2 gange 1 plus 4 gange 1.

Det dur ikke, og vi kunne fortsætte,

men lad os forsøge at løse det systematisk.

Vi kunne fortsætte med at gætte og til sidst finde svaret,

men hvordan løser vi regnestykket systematisk?

Vi gør det visuelt igen.

Hvis vi har 2 y'er, hvad betyder det så?

Det betyder, at vi har 2 y'er, som er lagt sammen.

Det er y plus y.

Så lægger vi også 4 y'er til.

Vi lægger 4 y'er mere til.

Det er 4 y'er lagt sammen.

Det er y plus y plus y plus y.

Alt det skal være lig med 18.

Det er lig med 18.

Hvor mange y'er har vi på den venstre side?

Vi har 1, 2, 3, 4, 5, 6 y'er.

Vi kunne skrive det som 6y er lig med 18.

Det her er 2y plus 4y er lig med 6y.

2y plus 4y er 6y, hvilket giver mening.

Hvis vi har 2 æbler plus 4 æbler,

har vi 6 æbler.

Hvis vi har 2 y'er plus 4 y'er, vil vi have 6 y'er.

Det skal være lig med 18.

Nu ligner det det, vi havde i det andet eksempel.

Vi har, at 6 gange et tal er lig med 18,

så hvis vi dividerer begge sider af den her ligning med 6,

finder vi, hvad det her tal er.

På venstre side deler vi med 6,

og på højre side deler vi med 6.

Så finder vi ud af, at y er lig med 3.

Lad os tjekke det.

Det er det, der er godt ved ligninger.

Vi kan altid tjekke for at se, om vi fandt det rigtige svar.

Lad os se, om det virker.

2 gange 3 plus 4 gange 3 er lig med hvad?

2 gange 3 er 6.

4 gange 3 er 12.

6 plus 12 er jo lig med 18.

Så det går op.