1
00:00:00,310 --> 00:00:02,916
Lad os sige, at vi har ligningen,

2
00:00:02,916 --> 00:00:12,384
7 gange x er lig med 14.

3
00:00:12,384 --> 00:00:15,867
Før vi forsøger at løse den her ligning,

4
00:00:15,867 --> 00:00:19,737
så lad os lige tænke lidt over, hvad det her egentlig betyder.

5
00:00:19,737 --> 00:00:21,968
7x er lig med 14.

6
00:00:21,968 --> 00:00:39,427
Det er det samme som 7 gange x er lig med 14.

7
00:00:39,427 --> 00:00:43,533
Vi kunne i princippet prøve at gætte os frem til løsningen med lidt hovedregning.

8
00:00:43,533 --> 00:00:45,743
Vi kunne bruge 7-tabellen.

9
00:00:45,743 --> 00:00:48,762
7 gange 1 er 7, så det er for lidt og duer ikke.

10
00:00:48,762 --> 00:00:54,010
7 gange 2 er lig med 14, så det er løsningen.

11
00:00:54,010 --> 00:00:56,424
Vi kunne løse det ret hurtigt.

12
00:00:56,424 --> 00:00:59,257
Vi kunne løse det med det samme bare ved at prøve nogle forskellige tal.

13
00:00:59,257 --> 00:01:01,394
x må være 2.

14
00:01:01,394 --> 00:01:03,346
I den her video gennemgår vi en metode,

15
00:01:03,346 --> 00:01:05,250
så vi kan løse ligningerne systematisk,

16
00:01:05,250 --> 00:01:08,267
for vi vil opdage, at for mere komplicerede ligninger

17
00:01:08,267 --> 00:01:11,939
kan vi ikke bare udregne det i hovedet ved at prøve os frem.

18
00:01:11,954 --> 00:01:13,709
Det er derfor meget vigtigt at forstå,

19
00:01:13,709 --> 00:01:16,733
hvordan vi omskriver og løser ligninger, men det er endnu vigtigere at forstå,

20
00:01:16,733 --> 00:01:18,251
hvad ligningerne egentlig betyder.

21
00:01:18,251 --> 00:01:21,920
Der står, at 7 gange et tal x er lig med 14.

22
00:01:21,920 --> 00:01:24,983
I ligninger skriver vi normalt ikke gangetegnet.

23
00:01:25,036 --> 00:01:29,511
Når vi skriver et tal ved siden af en variabel som den her,

24
00:01:29,511 --> 00:01:31,690
betyder det bare, at vi ganger dem.

25
00:01:31,690 --> 00:01:34,087
Det er bare en forsimplet måde at skrive det.

26
00:01:34,087 --> 00:01:36,595
Vi bruger normalt ikke et kryds som gangetegn,

27
00:01:36,595 --> 00:01:42,267
fordi det kan forveksles med x, som er det mest almindelige symbol for en variabel.

28
00:01:42,400 --> 00:01:48,425
Hvis vi skrev 7 kryds x er lig med 14,

29
00:01:48,520 --> 00:01:51,952
og vi skriver vores gangetegn som et kryds, eller hvis vores x er skrevet lidt for småt,

30
00:01:51,952 --> 00:01:54,845
kunne det se ud, som om der står x x eller gange gange.

31
00:01:54,985 --> 00:01:56,923
Når vi arbejder med ligninger,

32
00:01:56,923 --> 00:01:58,933
især når variablen er x,

33
00:01:58,933 --> 00:02:01,255
bruger vi ikke et kryds som gangetegn.

34
00:02:01,255 --> 00:02:04,249
Vi kan godt bruge noget som det her.

35
00:02:04,249 --> 00:02:06,595
Vi kan bruge en prik som gangetegn.

36
00:02:06,595 --> 00:02:10,403
Vi kunne skrive 7 prik x er lig med 14.

37
00:02:10,403 --> 00:02:13,384
Selvom det er acceptabelt, så er det mest almindelige,

38
00:02:13,476 --> 00:02:15,996
når man f.eks. ganger noget med en variabel, at skrive 7x.

39
00:02:15,996 --> 00:02:18,814
Det betyder 7 gange x.

40
00:02:18,814 --> 00:02:23,185
For at forstå hvordan vi kan omskrive og løse ligningen,

41
00:02:23,185 --> 00:02:25,403
kan vi visualisere den.

42
00:02:25,403 --> 00:02:27,846
7 gange x. Hvad er det?

43
00:02:27,939 --> 00:02:32,506
Nu omskriver vi lige udtrykket lidt, så vi kan visualisere det.

44
00:02:32,629 --> 00:02:35,388
7 gange x.

45
00:02:35,388 --> 00:02:38,081
Det betyder bare, at x plus x 7 gange.

46
00:02:38,081 --> 00:02:40,403
Det er definitionen af gange.

47
00:02:40,403 --> 00:02:48,484
Det er det samme som x plus x plus x plus x plus x. Hvor mange var det?

48
00:02:48,484 --> 00:02:51,735
Det var 5 x'er - plus x plus x,

49
00:02:51,735 --> 00:02:54,912
så nu er der 7 x'er.

50
00:02:54,912 --> 00:02:57,168
Der er 7x lige her.

51
00:02:57,168 --> 00:02:58,143
Lad os skrive det ned igen.

52
00:02:58,143 --> 00:03:03,716
Det her er 7x,

53
00:03:03,716 --> 00:03:07,664
så ligningen fortæller os, at 7x er lig med 14.

54
00:03:07,664 --> 00:03:10,840
Det her er lig med 14.

55
00:03:10,840 --> 00:03:14,072
Lad os tegne 14 cirkler her.

56
00:03:14,072 --> 00:03:19,831
Så lad os sige, at vi har 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

57
00:03:19,831 --> 00:03:23,467
9, 10, 11, 12, 13, 14.

58
00:03:23,467 --> 00:03:26,936
Så 7 x er lig med 14 ting.

59
00:03:26,936 --> 00:03:29,398
De her er identiske udsagn.

60
00:03:29,398 --> 00:03:32,741
Grunden til, at vi viser det sådan her er,

61
00:03:32,741 --> 00:03:35,111
at vi nu kan se, hvad det betyder,

62
00:03:35,111 --> 00:03:37,664
når vi deler begge sider med 7.

63
00:03:37,664 --> 00:03:39,800
Vi rydder lige lidt op, så det er mere overskueligt.

64
00:03:44,398 --> 00:03:47,867
Vi mangler lige en cirkel her.

65
00:03:47,867 --> 00:03:55,215
Lad os tale lidt om, når vi generelt reducerer en ligning ned til et tal gange med en variabel.

66
00:03:55,215 --> 00:03:59,993
Tallet foran variablen kalder vi for en koefficient.

67
00:04:00,218 --> 00:04:02,872
Her er koefficienten 7.

68
00:04:02,872 --> 00:04:07,647
For at finde x skal vi dele på begge sider med koefficienten, altså med 7.

69
00:04:07,757 --> 00:04:12,494
Hvis vi deler begge sider med 7, hvad får vi så?

70
00:04:12,494 --> 00:04:18,131
7 gange noget divideret med 7 giver blot det oprindelige noget.

71
00:04:18,252 --> 00:04:20,433
7 går ud med hinanden.

72
00:04:20,433 --> 00:04:22,799
14 divideret med 7 er 2.

73
00:04:22,799 --> 00:04:26,751
Så løsningen er x er lig med 2.

74
00:04:26,751 --> 00:04:29,398
For at gøre det helt klart vil vi vise,

75
00:04:29,398 --> 00:04:34,018
hvad der sker her, når vi dividerer begge sider af ligningen med 7.

76
00:04:34,018 --> 00:04:36,410
Vi deler begge sider med 7.

77
00:04:36,410 --> 00:04:37,664
Det her en ligning.

78
00:04:37,664 --> 00:04:39,800
Den siger, at det her er LIG med det der.

79
00:04:39,800 --> 00:04:43,469
Alt hvad vi gør på den venstre side, SKAL vi også gøre på den højre side.

80
00:04:43,469 --> 00:04:46,163
Hvis de starter med at være lige, kan vi ikke kun gøre noget

81
00:04:46,163 --> 00:04:50,200
på den ende side og bevare ligheden.

82
00:04:50,297 --> 00:04:53,893
Vi vil dele venstre side med 7,

83
00:04:53,893 --> 00:04:56,054
så vi opdeler dem i 7 grupper.

84
00:04:56,054 --> 00:04:59,816
Der er 7 x'ere her, så det er 1, 2, 3,

85
00:04:59,816 --> 00:05:01,813
4, 5, 6, 7.

86
00:05:01,813 --> 00:05:04,460
Det var 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 grupper.

87
00:05:04,460 --> 00:05:07,664
Hvis vi deler dem ind i 7 grupper,

88
00:05:07,664 --> 00:05:11,400
skal vi også dele højre side ind i 7 grupper.

89
00:05:11,400 --> 00:05:16,999
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

90
00:05:16,999 --> 00:05:19,599
Hvis den her gruppe er lig med hele den her gruppe,

91
00:05:19,599 --> 00:05:28,254
vil hvert af de her stykker, som vi delte ind i de her 7 stykker, svare til hinanden.

92
00:05:28,330 --> 00:05:31,674
Vi kunne sige, at det stykke er lig med det stykke.

93
00:05:31,674 --> 00:05:34,664
Det stykke er lig med det her stykke og så videre.

94
00:05:34,664 --> 00:05:35,932
De er alle lige store.

95
00:05:35,932 --> 00:05:37,711
Der er 7 stykker her og 7 stykker her.

96
00:05:37,711 --> 00:05:43,166
x må altså være lig med 2 af de her stykker.

97
00:05:43,166 --> 00:05:46,814
Så vi får, at x er lig med

98
00:05:46,814 --> 00:05:48,765
2 stykker,

99
00:05:48,765 --> 00:05:51,132
så x er lig med 2.

100
00:05:51,132 --> 00:05:53,390
Lad os bare lave et par stykker mere,

101
00:05:53,390 --> 00:05:55,823
så vi forstår, hvorfor det er,

102
00:05:55,823 --> 00:05:58,453
at det vi gør på den ene side af ligningen,

103
00:05:58,453 --> 00:06:02,034
skal vi også gøre på den anden side.

104
00:06:02,034 --> 00:06:04,507
Lad os regne videre hernede.

105
00:06:04,507 --> 00:06:13,656
Lad os nu sige, at vi har, at 3x er lig med 15.

106
00:06:13,656 --> 00:06:15,931
Det kan vi måske klare i hovedet.

107
00:06:15,931 --> 00:06:19,452
Ligningen siger, at 3 gange et eller andet tal er lig med 15.

108
00:06:19,467 --> 00:06:22,247
Vi kunne bruge vores 3-tabel og regne det ud,

109
00:06:22,247 --> 00:06:25,098
men vi vil gerne regne det mere systematisk,

110
00:06:25,098 --> 00:06:26,973
fordi hjælper os med at forstå,

111
00:06:26,973 --> 00:06:30,420
og det er nødvendigt for sværere ligninger.

112
00:06:30,420 --> 00:06:33,680
Hvad skal vi så gøre på venstre side for at ende med x?

113
00:06:33,718 --> 00:06:36,504
For kun at have et x på venstre side, skal vi dele med 3.

114
00:06:36,504 --> 00:06:39,801
Det vil vi, for når noget ganget med 3 deles med 3,

115
00:06:39,801 --> 00:06:45,210
vil 3-tallene gå ud med hinanden, og vi har kun x tilbage.

116
00:06:45,400 --> 00:06:47,742
3x er lig med 15.

117
00:06:47,742 --> 00:06:53,129
Hvis vi deler venstre side med 3, skal vi bevare lighedstegnet,

118
00:06:53,129 --> 00:06:57,495
så vi bliver også nødt til at dele højre side med 3.

119
00:06:57,495 --> 00:06:58,749
Hvad giver det?

120
00:06:58,749 --> 00:07:04,271
På venstre side får vi bare x.

121
00:07:04,414 --> 00:07:07,804
På højre side, hvad er så 15 divideret med 3?

122
00:07:07,804 --> 00:07:10,936
Det er 5.

123
00:07:10,936 --> 00:07:16,087
Man kunne også have regnet den her ligning en smule anderledes.

124
00:07:16,257 --> 00:07:21,086
Hvis vi starter med 3x er lig med 15, kunne man sige,

125
00:07:21,086 --> 00:07:25,405
at i stedet for at dele med 3, kunne vi få det her 3-tal væk.

126
00:07:25,405 --> 00:07:29,961
Vi kunne stå tilbage med et x, hvis vi gangede begge sider af den her ligning med 1/3.

127
00:07:30,142 --> 00:07:34,322
Hvis vi ganger begge sider af den her ligning med 1/3,

128
00:07:34,322 --> 00:07:36,319
virker det også.

129
00:07:36,319 --> 00:07:38,130
Vi siger 1/3 af 3 er lig med 1.

130
00:07:38,130 --> 00:07:42,170
Vi ganger den del her med 1/3.

131
00:07:42,170 --> 00:07:45,932
3 gange en 1/3. Det er bare 1.

132
00:07:45,932 --> 00:07:51,737
1x er lig med 15 gange 1/3, som er lig med 5.

133
00:07:51,737 --> 00:07:55,706
1 gange x er det samme som x,

134
00:07:55,706 --> 00:07:57,809
så det er det samme som at sige,

135
00:07:57,809 --> 00:08:00,538
at x er lig med 5.

136
00:08:00,538 --> 00:08:05,594
Det giver det samme, for at dele begge sider med 3

137
00:08:05,747 --> 00:08:10,377
er det samme som at gange begge sider af ligningen med 1/3.

138
00:08:10,377 --> 00:08:14,295
Lad os lave én til, og den her gang vil vi lave den en smule mere kompliceret.

139
00:08:14,467 --> 00:08:17,325
Vi bruger et andet symbol for vores variabel.

140
00:08:17,325 --> 00:08:35,599
Lad os sige, at vi har 2y plus 4y er lig med 18.

141
00:08:35,599 --> 00:08:38,786
Nu er det allerede noget sværere at regne i hovedet.

142
00:08:38,786 --> 00:08:45,763
Der står, at 2 gange et tal plus 4 gange det samme tal er lig med 18.

143
00:08:45,839 --> 00:08:47,437
Det er sværere at regne ud, hvad tallet er.

144
00:08:47,437 --> 00:08:48,599
Vi kan forsøge.

145
00:08:48,599 --> 00:08:52,062
Hvis nu y var 1, så ville det være 2 gange 1 plus 4 gange 1.

146
00:08:52,062 --> 00:08:53,409
Det dur ikke, og vi kunne fortsætte,

147
00:08:53,409 --> 00:08:55,174
men lad os forsøge at løse det systematisk.

148
00:08:55,174 --> 00:08:56,752
Vi kunne fortsætte med at gætte og til sidst finde svaret,

149
00:08:56,752 --> 00:08:58,146
men hvordan løser vi regnestykket systematisk?

150
00:08:58,146 --> 00:09:00,328
Vi gør det visuelt igen.

151
00:09:00,328 --> 00:09:04,140
Hvis vi har 2 y'er, hvad betyder det så?

152
00:09:04,140 --> 00:09:09,152
Det betyder, at vi har 2 y'er, som er lagt sammen.

153
00:09:09,152 --> 00:09:12,263
Det er y plus y.

154
00:09:12,263 --> 00:09:15,003
Så lægger vi også 4 y'er til.

155
00:09:15,003 --> 00:09:18,275
Vi lægger 4 y'er mere til.

156
00:09:18,275 --> 00:09:20,808
Det er 4 y'er lagt sammen.

157
00:09:20,808 --> 00:09:24,338
Det er y plus y plus y plus y.

158
00:09:24,338 --> 00:09:29,075
Alt det skal være lig med 18.

159
00:09:29,075 --> 00:09:34,651
Det er lig med 18.

160
00:09:34,651 --> 00:09:40,935
Hvor mange y'er har vi på den venstre side?

161
00:09:41,149 --> 00:09:45,747
Vi har 1, 2, 3, 4, 5, 6 y'er.

162
00:09:45,747 --> 00:09:51,104
Vi kunne skrive det som 6y er lig med 18.

163
00:09:51,134 --> 00:09:56,799
Det her er 2y plus 4y er lig med 6y.

164
00:09:56,799 --> 00:10:00,793
2y plus 4y er 6y, hvilket giver mening.

165
00:10:00,793 --> 00:10:02,918
Hvis vi har 2 æbler plus 4 æbler,

166
00:10:02,918 --> 00:10:04,833
har vi 6 æbler.

167
00:10:04,833 --> 00:10:07,620
Hvis vi har 2 y'er plus 4 y'er, vil vi have 6 y'er.

168
00:10:07,620 --> 00:10:11,067
Det skal være lig med 18.

169
00:10:11,267 --> 00:10:15,607
Nu ligner det det, vi havde i det andet eksempel.

170
00:10:15,668 --> 00:10:18,162
Vi har, at 6 gange et tal er lig med 18,

171
00:10:18,162 --> 00:10:20,321
så hvis vi dividerer begge sider af den her ligning med 6,

172
00:10:20,321 --> 00:10:22,481
finder vi, hvad det her tal er.

173
00:10:22,481 --> 00:10:30,793
På venstre side deler vi med 6,

174
00:10:30,793 --> 00:10:34,403
og på højre side deler vi med 6.

175
00:10:34,403 --> 00:10:39,478
Så finder vi ud af, at y er lig med 3.

176
00:10:39,478 --> 00:10:40,499
Lad os tjekke det.

177
00:10:40,499 --> 00:10:41,985
Det er det, der er godt ved ligninger.

178
00:10:41,985 --> 00:10:44,261
Vi kan altid tjekke for at se, om vi fandt det rigtige svar.

179
00:10:44,261 --> 00:10:45,933
Lad os se, om det virker.

180
00:10:45,933 --> 00:10:52,249
2 gange 3 plus 4 gange 3 er lig med hvad?

181
00:10:52,249 --> 00:10:56,335
2 gange 3 er 6.

182
00:10:56,335 --> 00:10:59,493
4 gange 3 er 12.

183
00:10:59,493 --> 00:11:03,167
6 plus 12 er jo lig med 18.

184
00:11:03,167 --> 00:11:06,000
Så det går op.