-
...
-
Ком скупу бројева припада број 3,40<u>28</u> (понављање)
-
припада?
-
И пре него што одговоримо на ово питање, хајде само да размислимо
-
о томе шта овај број представља.
-
И посебно шта представља ова линија на врху броја.
-
Ова линија на врху броја значи да се број 28
-
понавља заувек.
-
Значи можемо да напишемо овај број као 3,4028, али 28
-
наставља да се понавља изнова.
-
Понавља се изнова и изнова у недоглед.
-
Можемо да наставимо да их пишемо заувек.
-
И очигледно је лакше написати ову линију изнад броја
-
28 којом означавамо да се број понавља заувек.
-
Хајде сада да размислимо, ком скупу бројева овај број припада.
-
Најшири скуп бројева којим смо се до сада бавили
-
су реални бројеви.
-
И овај број дефинитивно припада скупу реалних бројева.
-
Реални бројеви заправо обухватају читаву
-
бројевну праву, коју ми користимо.
-
Број 3,4028 са понављањем је негде овде на бројевној прави.
-
Ако је овде -1 а овде 0, 1, 2, 3, 4 онда је
-
3,4028 мало више од 3,4, а мало
-
мање од 3,41.
-
Налази се тачно на овом месту.
-
Значи он се дефинитивно налази на бројевној прави.
-
Спада у реалне бројеве.
-
Дефинитивно спада у реалне бројеве.
-
То је реалан број.
-
Али није толико очигледан одговор на питање да ли спада у
-
рационалне бројеве?
-
Запамтимо, рационални број је онај који може бити написан
-
рационалним изразом или као разломак.
-
Ако кажемо да је p рационални број, то значи да p
-
може бити изражено као однос два цела броја.
-
То значи да p може бити изражено као однос
-
два цела броја, m/n.
-
Значи, питање је да ли можемо да изразимо ово као однос
-
два цела броја?
-
Или да кажемо то другачије, можемо ли да
-
напишемо овај број као разломак?
-
Да бисмо то урадили, хајде да га заиста напишемо као разломак.
-
Хајде да дефинишемо x као број једнак овом броју.
-
Значи x је једнак броју 3,40<u>28</u>.
-
Хајде да размислимо о 10,000x.
-
Једини разлог зашто желим 10,000x је што хоћу да
-
померим децималну тачку скроз овде десно.
-
Значи 10,000x.
-
Чему ће тај број бити једнак?
-
Сваки пут када множимо са степеном броја 10 померамо
-
се за једну децималу удесно.
-
10,000 је 10 четвртог степена,
-
тако да је то померање децимале за
-
четири места удесно.
-
1, 2, 3, 4.
-
То ће бити 34,028.
-
Али ово 28 стално наставља да се понавља.
-
Значи и даље имамо број 28 који се понавља изнова, и изнова
-
и изнова и изнова.
-
Само су се сви бројеви померили са леве стране децималне тачке
-
за пет места.
-
Можемо то посматрати на тај начин.
-
То има смисла.
-
Близу је броја 3 и 1/2.
-
Ако помножимо са 10,000, добићемо скоро 35,000.
-
Дакле, то је 10,000x.
-
Хајде сада да покушамо са 100x.
-
Цела наша вежба се састоји у томе што желимо да добијемо два броја
-
која, када их одузмемо у облику од x,
-
део који се понавља нестаје.
-
Након тога можемо да их третирамо као традиционалне бројеве.
-
Хајде да размислимо шта се дешава у случају 100x .
-
100x...
-
У том случају се децимална тачка овде помера.
-
Запамтимо, децимална тачка се првобитно налазила на овом месту,
-
Сада је померамо удесно за два места.
-
Значи 100x биће 300... Написаћу то овако...
-
Изгледаће овако 340,<u>28</u>.
-
Могли смо да напишемо да се 28 понавља овде, али то
-
не би имало много смисла.
-
Увек желите то да напишете после децималне тачке.
-
Онда морамо да напишемо 28 поново, да бисмо показали да се понавља.
-
Сада се дешава нешто занимљиво...
-
Ова два броја су умношци броја x.
-
И ако одузмемо доњи број од горњег броја,
-
шта ће се догодити?
-
Део броја који се понавља ће нестати.
-
Хајде то да покушамо.
-
Урадићемо то са обе стране једначине.
-
Урадимо то...
-
Са леве стране једначине, 10.000x минус
-
100x ће бити 9.900x.
-
Док ће са десне стране једначине... да видимо...
-
децимални део ће нестати.
-
Морамо само да израчунамо колико је 34,028 минус 340.
-
Хајде онда да израчунамо.
-
8 је веће од 0, тако да нећемо морати да радимо
-
прегруписавање овде.
-
2 је мање од 4,
-
Овде ћемо морати мало да прегрупишемо, али не можемо да
-
још увек да позајмимо зато што овде имамо 0.
-
0 је мање од 3, тако да и овде
-
морамо да позајмимо.
-
Хајде да прво позајмимо од 4.
-
Ако прво позајмимо од 4, овде остаје 3 а онда ово
-
постаје 10.
-
И сада 2 може да позајми од 10.
-
Овде остаје 9 а ово постаје 12.
-
Сада можемо коначно да урадимо одузимање.
-
8 минус 0 је 8.
-
12 минус 4 је 8.
-
9 минус 3 је 6.
-
3 минус ништа је 3.
-
3 минус ништа је 3.
-
Значи 9.900x је једнако 33.688.
-
Одузели смо 340 од овога горе.
-
Тако да смо добили 33.688.
-
Ако желимо сада да решимо x, само поделимо
-
обе стране са 9.900.
-
Поделимо леву са 9.900,
-
затим поделимо десну са 9.900.
-
Шта нам је остало на крају?
-
Остало је да је x једнако 33.688 кроз 9.900.
-
Сад, у чему је овде поента?
-
Па, x је био овај број, број од кога смо почели,
-
број који је настављао да се изнова понавља.
-
Применивши мало алгебарске манипулације,
-
одузимајући један умножак броја од другог,
-
написали смо то исто х као разломак.
-
Сада, ово није најпростији облик. Оба броја
-
су дефинитивно дељива са 2, и изгледа и са 4.
-
Из овога можемо извести најнижи заједнички чинилац,
-
али то нас сада не интересује.
-
Оно што нас тренутно интересује је чињеница да смо могли да представимо
-
x, могли смо да напишемо овај број, као разломак.
-
Као однос два цела броја.
-
Значи, овај број је такође и рационалан.
-
Такође је рационалан.
-
Техника коју смо користили,
-
не примењује се само за овај број.
-
Сваки пут када имате број у коме се цифре понављају,
-
можете да користите ову технику.
-
Генерално, цифре које се понављају су рационалне.
-
Цифре које нису рационалне су оне које се никада, никада
-
не понављају, као π.
-
Друга ствар, која је прилично очигледна, је да
-
ово није цео број.
-
Цели бројеви су они бројеви
-
са којима смо радили.
-
Значи, ово је на неком месту између целих бројева.
-
Овај број не спада у природне бројеве или у ненегативне бројеве, који зависе
-
од контекста у ком их посматрамо као подскупове целих бројева.
-
Овај број дефинитивно не спада у те групе бројева.
-
Он је реалан и рационалан.
-
То је све што можемо да кажемо о овом броју.
Khan Academy
