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Number Sets 2

  • 0:00 - 0:07
    순환소수 3.4028은 어느 수체계로
    설명할 수 있을까요?
  • 0:07 - 0:11
    이 숫자가 무엇을
    나타내는지 알아봅시다
  • 0:11 - 0:13
    특히 이 숫자 위에 선이
    무엇을 의미하는지 말입니다
  • 0:13 - 0:17
    이 숫자 위의 선은 28이 계속
    반복되고 있다는 것을 나타냅니다
  • 0:17 - 0:25
    따라서 이 숫자는 3.4028의
    뒤에 28이 계속
  • 0:25 - 0:26
    반복되고 있는 소수라고
    생각하면 됩니다
  • 0:26 - 0:30
    끊임없이 반복되고 있다고
    생각하면 됩니다
  • 0:30 - 0:32
    3.40282828282828...
    이렇게 계속 쓸수도 있지만
  • 0:32 - 0:36
    반복되는 28위에 선을 긋는게
    훨씬 더 간단합니다
  • 0:36 - 0:38
    28이 계속 반복된다는 것을
    보이기 위해서는 말이죠
  • 0:38 - 0:41
    그럼 이 수가 어떤 수체계에
    포함되는지 알아봅시다
  • 0:41 - 0:45
    이제까지 다룬 가장
    큰 수체계는 실수입니다
  • 0:45 - 0:48
    이 수는 당연히
    실수에 포함됩니다
  • 0:48 - 0:52
    실수는 흔히 수직선에 있는
    모든 수라고 생각하면 됩니다
  • 0:52 - 0:56
    그리고 3.4028은
    이 근처에 위치한 실수입니다
  • 0:56 - 1:01
    여기가 -1이면 여기는 각각
    0, 1, 2, 3, 4가 되겠네요
  • 1:01 - 1:05
    3.4028은
    3.4보다는 약간 크고
  • 1:05 - 1:08
    3.41보다는 약간 작은 수니까
    이쯤에 위치할 것입니다
  • 1:08 - 1:10
    따라서 이 소수는 확실히
    수직선 상에 위치합니다
  • 1:10 - 1:16
    실수이니까요
    확실하게 실수입니다
  • 1:16 - 1:20
    하지만 이 수가 유리수인지는
    아직 모릅니다
  • 1:20 - 1:27
    유리수는 유리식이나
    분수로 표현될 수 있기 때문입니다
  • 1:27 - 1:34
    만약 p가 유리수라고 한다면
  • 1:34 - 1:46
    p는 두 정수의 비로 표현될 수
    있다는 것을 의미합니다
  • 1:46 - 1:48
    m/n으로 표현합니다
  • 1:48 - 1:51
    이제 이 수를 어떻게 정수로
    표현할 수 있을까 알아봅시다
  • 1:51 - 1:54
    이 수를 어떻게 분수로 나타낼까를
    생각해보면 됩니다
  • 1:54 - 1:59
    이 식을 분수로
    표현해 봅시다
  • 1:59 - 2:01
    이 수가 x라고
    가정해봅시다
  • 2:01 - 2:10
    x 는 3.40282828282828....과
    같습니다
  • 2:10 - 2:13
    그렇다면 10,000x가
    어떤 수일지 생각해봅시다
  • 2:13 - 2:14
    여기서 10,000x가
    궁금한 이유는
  • 2:14 - 2:17
    소수점을 맨 오른쪽으로
    옮기고 싶기 때문입니다
  • 2:17 - 2:22
    따라서 10,000x를 구해보죠
  • 2:22 - 2:23
    10,000x는 그럼
    몇이 될까요?
  • 2:23 - 2:26
    어떤 수에 10을 곱할 때마다
  • 2:26 - 2:27
    소수점을 오른쪽으로
    한 칸씩 옮기면 됩니다
  • 2:27 - 2:30
    10,000은 10을
    4번 곱한 것과 같으므로
  • 2:30 - 2:32
    10,000을 곱하면
    소수점을 오른쪽으로
  • 2:32 - 2:33
    4칸 옮기는 것과 같습니다
  • 2:33 - 2:36
    1, 2, 3, 4
  • 2:36 - 2:41
    따라서 10,000x는
    34,028
  • 2:41 - 2:47
    여기서 28은 여전히
    반복될 것입니다
  • 2:47 - 2:51
    이 숫자는 x에서 5칸만큼
    소수점이 움직인 것입니다
  • 2:51 - 2:53
    알겠나요?
  • 2:53 - 2:55
    이 숫자는 대략
    3과 1/2입니다
  • 2:55 - 2:58
    이를 10,000배하면
    약 35,000가 나옵니다
  • 2:58 - 2:59
    이렇게 구하는 것이
    10,000x입니다
  • 2:59 - 3:01
    그러면 100x는
    어떻게 구할 지 생각해봅시다
  • 3:01 - 3:04
    여기서 하고 싶은 것은
    두 개의 숫자를 만들어서
  • 3:04 - 3:07
    빼면 x로 표현한 뒤
    반복되는 부분이
  • 3:07 - 3:08
    사라지도록
    하는 것입니다
  • 3:08 - 3:11
    그리고 원래 아는 숫자대로
    다루면 됩니다
  • 3:11 - 3:13
    그럼 100x가
    어떤 수인지 알아봅시다
  • 3:13 - 3:16
    100x
  • 3:16 - 3:17
    소수점은
    움직여봅시다
  • 3:17 - 3:21
    원래 위치를 명심하고 100을 곱하면
    소수점 두 칸을 움직입니다
  • 3:21 - 3:25
    그러면 100x는
    여기에 이렇게 써보면
  • 3:25 - 3:31
    340.28282828... 에서
    28이 반복되는 숫자겠네요
  • 3:31 - 3:32
    28이 십의 자리부터
    반복된다고 할 수 있지만
  • 3:32 - 3:35
    반복되는 부분이 소수점 뒤에
    나타나도록 하는 것이 좋습니다
  • 3:35 - 3:37
    그래서 28이 반복된다고
    다시 쓰면 됩니다
  • 3:37 - 3:40
    이제 신기한 일이
    나타날 것입니다
  • 3:40 - 3:42
    이 두 숫자들은
    x의 배수입니다
  • 3:42 - 3:46
    위의 10,000x에서
    아래의 100x를 빼면
  • 3:46 - 3:47
    어떤 일이
    나타날까요?
  • 3:47 - 3:49
    끊임없이 반복되는 부분이
    없어지겠죠?
  • 3:49 - 3:52
    각 식의 양변에서
    모두 빼야 합니다
  • 3:52 - 3:53
    빼봅시다
  • 3:53 - 4:00
    좌변에서는
    10,000x에서 100x를 빼면
  • 4:00 - 4:04
    9,900x가 될 것이고
  • 4:04 - 4:07
    우변에서는
    소수점 아래는
  • 4:07 - 4:08
    모두 없어질 것입니다
  • 4:08 - 4:12
    그러면 34,028 - 340가
    무엇인지만 알아내면 됩니다
  • 4:12 - 4:14
    알아내 봅시다
  • 4:14 - 4:17
    8이 0보다 크므로
    그냥 계산하고
  • 4:17 - 4:20
    2는 4보다 작습니다
  • 4:20 - 4:22
    받아내림해야 하지만
  • 4:22 - 4:26
    앞의 자릿수가 0이므로
    아직은 빌릴 수 없겠군요
  • 4:26 - 4:28
    앞에서 0이 3보다 작으므로
    받아내림을 위해서
  • 4:28 - 4:29
    앞의 자리에서
    수를 빌려오죠
  • 4:29 - 4:32
    4에서부터 먼저
    수를 빌려오겠습니다
  • 4:32 - 4:37
    4로부터 수를 빌려오면
    4는 3이 되고
  • 4:37 - 4:38
    0은 10이 됩니다
  • 4:38 - 4:40
    그러면 2는 10으로부터
    빌려올 수 있습니다
  • 4:40 - 4:44
    그러면 10은 9가 되고
    2는 12가 됩니다
  • 4:44 - 4:46
    이제 뺄셈을
    할 수 있습니다
  • 4:46 - 4:51
    8 - 0은 8입니다
    12 - 4는 8입니다
  • 4:51 - 4:54
    9 - 3은 6입니다
  • 4:54 - 4:58
    3에서 아무것도
    안 빼면 3입니다
  • 4:58 - 5:05
    따라서 9,990x는
    33,488입니다
  • 5:05 - 5:09
    위의 34,028에서
    340을 뺐으므로
  • 5:09 - 5:13
    아래에는 33,688이
    남습니다
  • 5:13 - 5:22
    x의 값을 알기 위해서
    양변을 9,900으로 나눕시다
  • 5:22 - 5:27
    좌변을 9,990으로 나눕시다
    우변도 9,990으로 나눕시다
  • 5:27 - 5:28
    그러면 어떤 식이
    나옵니까?
  • 5:28 - 5:37
    x가 33,688/9,900와 같다는 것을
    알 수 있습니다
  • 5:37 - 5:39
    어려워 할 필요 없습니다
  • 5:39 - 5:42
    x는 이 숫자였던 겁니다
  • 5:42 - 5:45
    x는 끊임없이 반복되는
    부분이 있는 숫자였습니다
  • 5:45 - 5:48
    곱셈을 통한 식의 변형과
  • 5:48 - 5:50
    변형된 식들을
    서로 빼서 우리는
  • 5:50 - 5:53
    x를 분수로
    표현할 수 있었습니다
  • 5:53 - 5:56
    이 분수는
    기약분수는 아닙니다
  • 5:56 - 5:59
    분모와 분자는 둘 다
    2와 4로 약분이 가능해 보입니다
  • 5:59 - 6:03
    따라서 이 분수를 기약분수로
    표현할 수 있겠지만 상관하지 맙시다
  • 6:03 - 6:05
    여기서 중요하게 봐야 할 것은
  • 6:05 - 6:09
    x를 분수로 나타낼 수
    있다는 사실입니다
  • 6:09 - 6:12
    두 개의
    정수의 비로 말입니다
  • 6:12 - 6:17
    이 수는 유리수입니다
  • 6:17 - 6:19
    여기서 푼 방법은
    이 숫자에만
  • 6:19 - 6:21
    적용되는 것이 아닙니다
  • 6:21 - 6:25
    끊임없이 반복되는 수라면
    이 방법을 이용할 수 있습니다
  • 6:25 - 6:28
    따라서 순환소수는
    전체적으로 유리수입니다
  • 6:28 - 6:31
    진짜 무리수들은
    어느 부분이 반복되지 않습니다
  • 6:31 - 6:32
    파이와 같이 말이죠
  • 6:32 - 6:35
    다른 것들은
    꽤 명확해 보입니다
  • 6:35 - 6:36
    이 수는 정수가 아닙니다
  • 6:36 - 6:38
    정수들은 여기서 다루고 있는
    범자연수(whole number)입니다
  • 6:38 - 6:40
    따라서 이 수는
    어떤 정수 사이에 있습니다
  • 6:40 - 6:43
    이 수는 자연수도 아니고
    범자연수도 아닙니다
  • 6:43 - 6:46
    범자연수는 어떤 면에서
    정수에 일부분이라고 볼 수 있습니다
  • 6:46 - 6:48
    따라서 x는 범자연수도
    정수도 아닙니다
  • 6:48 - 6:51
    따라서 이 숫자는
    실수이며 유리수입니다
Title:
Number Sets 2
Description:

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:52
Amara Bot edited Korean subtitles for Number Sets 2

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