Compound Inequalities

Haydi birkaç tane birden çok durum içeren bileşik eşitsizlik sorusu çözelim.

-

Neden bahsettiğimi şimdi göreceksiniz.

-

O halde ilk sorumuz, eksi 5 küçük ya da eşittir x eksi 4, o da küçük ya da eşittir 13.

-

O halde bizim x değerlerini sağlayan iki durumumuz var.

-

x eksi 4 büyük ya da eşittir eksi 5 ve x eksi 4 küçük ya da eşittir 13.

-

Bu bileşik eşitsizliği eksi 5 küçük ya da eşittir x eksi 4 ve x eksi 4 küçük ya da eşittir 13 şeklinde tekrar yazabiliriz.

-

-

Sonra bu ifadeleri ayrı ayrı çözebiliriz.

Ama çözerken "ve" ifadesini hatırlayarak çözüm kümesini düşünmeliyiz, çünkü bu çözüm kümesi hem bu eşitsizliği hem de bu eşitsizliği sağlamalı.

-

-

Öyleyse şimdi hepsini ayrı ayrı çözelim.

Burada, eşitliğin her iki tarafına 4 ekleyebiliriz.

-

Solda, eksi 5 artı 4, eksi 1 eder.

Eksi 1 küçük ya da eşittir x.

Burada 4'ler birbirini götürdü, ve sağ tarafta geriye sadece x kaldı.

-

Öyleyse sol tarafta, tam burada, sadeleşmiş x büyük ya da eşittir eksi 1 ya da eksi bir küçük ya da eşittir x.

-

-

Bunu aynı zamanda şöyle de yazabiliriz:

X büyük ya da eşittir eksi 1.

Bunlar birbirine eşittir.

Ben sadece yerlerini değiştirdim.

Şimdi de öbür durumu buraya yeşille yapalım.

Her iki tarafa 4 ekleyelim.

Sol tarafta, x'imiz var, ve sağ tarafta 13 artı 4 var, o da 17'ye eşittir.

-

-

Buradan anlıyoruz ki x küçük ya da eşittir 17.

O halde iki durumumuz var, x büyük ya da eşittir eksi 1, ve aynı zamanda küçük ya da eşittir 17.

-

Öyleyse, eğer istersek, biz bunu tekrar bileşik eşitsizlik şeklinde yazabiliriz.

-

Çözüm kümesi, yani x, küçük ya da eşittir 17 ve büyük ya da eşittir eksi 1 diyebiliriz.

-

-

Bu iki durumu da sağlamalı.

O halde bu, sayı doğrusu üzerinde nasıl görünür?

Haydi bunu sayı doğrusu üzerine yerleştirelim.

Diyelim ki bu 17.

Bu da 18.

Aşağıya doğru devam edelim.

Bu da 0.

-

Burada da eksi 1 var, ve de eksi 2.

-

X büyük ya da eşittir eksi 1, öyleyse eksi 1 ile başlayalım.

-

Bunu daire içine alacağız, çünkü büyüktür yada eşittir işareti var.

-

x eksi 1'den büyük olacak; fakat aynı zamanda 17'den de küçük ya da eşit olamalı.

-

O zaman bu 17'ye eşit ya da 17'den az olmalı.

Öyleyse tam burada çözüm kümem var, yani turuncuyla taradığım yer.

-

Eğer bunu tam sayılar şeklinde gösterirsek, x eksi 1 ve 17 arasında , buraya köşeli parantez koyarız, ve aynı zamanda eksi 1'e ve 17'ye eşit olur.

-

-

-

İşte bu, bileşik eşitsizliğimizin tam sayı şeklinde gösterimi.

-

Haydi başka bir tane daha yapalım.

İyi bir soru bulayım.

Diyelim ki eksi 12'miz var.

-

-

Eksi 12 küçüktür 2 eksi 5x, o da küçük ya da eşittir 7.

-

Şimdi sadece küçüktür ve küçük ya da eşittir ifadelerini içeren bir soru çözelim.

-

Kitapta baktığım soruda burada eşittir işareti var

ama bunu özellikle değiştirmek istedim.

Çünkü size her iki durumu da içeren karışık bir durumun

nasıl olduğunu göstermek istedim.

Şimdi, bu ifadeyi iki ayrı eşitsizliğe bölebiliriz.

Burada bir eşitsizliğimiz var.

Biliyoruz ki eksi 12 küçüktür 2 eksi 5x.

Burada hem bu eşitsizlik, hem de bu eşitsizlik sağlanmalı.

-

2 eksi 5x, 7'den küçük veya eşit olmalı; ve eksi 12'den büyük olmalı.

-

O zaman 2 eksi 5x küçük ya da eşittir 7.

Haydi bunu da önceki soruları çözdüğümüz gibi çözelim.

Burada 2'yi sola alalım ve eşitliğin iki tarafından da 2 çıkaralım.

-

Eğer her iki taraftan da 2 çıkarırsanız, sol taraf negatif 14 olur; 2'ler burada birbirini götürür; o da eksi 5x'ten küçük olur.

-

-

Şimdi de her iki tarafı eksi 5'e bölelim.

Bu arada unutmayalım ki eşitsizliği negatif bir sayıyla çarpmak ya da bölmek eşitsizliğin yönünü değiştirir.

-

Şimdi eğer iki tarafı eksi 5'e bölerseniz, solda eksi 14 bölü 5, sağdaysa sadece x kalır.

-

Bu arada eşitsizliği negatif bir sayıya böldüğünüzden küçüktür işareti büyüktüre dönüşür.

-

Eksi işaretleri birbirini götürür, sonuçta geriye 14/5 büyüktür x kalır.

-

Bu da 2 tam 4/5'e eşittir.

X küçüktür 2 tam 4/5'ten.

Bunu bileşik kesirden tam sayılı kesre çevirdim.

Şimdi de öbür tarafı yapalım.

Tam burada ve pembe renkli.

Aynı önceki eşitsizlikte yaptığımız gibi, her iki taraftan da 2 çıkaralım.

-

Ve aslında bunları otomatik olarak yapabilirsiniz, ama daha kafa karıştırıcı hale gelebilir.

-

Bu yüzden dikkat hatalarını engellemek için bunları ayırmanızı tavsiye ederim.

-

Eğer iki taraftan da 2 çıkarırsanız, sol taraf eksi 5x olur.

-

Ortada küçük ya da eşittir işareti var.

Sağ tarafsa 7 eksi 2'den 5 oldu.

Şimdi her iki tarafı eksi 5'e bölelim.

Solda x kalır.

Sağda ise 5 bölü eksi 5'ten eksi 1 kalır.

-

Eşitsizliği negatif sayıya böldüğümüzden eşitsizliğin yönünü değiştiriyoruz.

-

Bu da küçük ya da eşittirden, büyük ya da eşittire dönüşür.

-

O zaman iki durumumuz var:

x, 2 tam 4/5'ten küçük ve eksi 1'den büyük ya da eşit olmalı.

-

Bunu böyle yazabiliriz.

X eksi 1'den büyük ya da eşit olmalı, o zaman bu alt aralıkta kalır, ve aynı zamanda 2 tam 4/5'ten de küçük olmalı.

-

-

Dikkat - küçük ya da eşittir değil.

Burada size göstermek istediğim şey parantez.

Çünkü x 2 tam 4/5'e eşit olamaz.

X, 2 tam 4/5'ten küçük olmak zorunda.

Bunu şu şekilde de yazabiliriz.

X, 2 tam 4/5'ten küçük olmalı, aynı zamanda da eksi 1'den büyük ya da eşit olmalı.

-

-

Bu iki ifade aynı.

Eğer bu ifadeyi sayı doğrusunda gösterseydim, böyle görünürdü.

-

O zaman burada eksi 1 ve burada da 2 tam 4/5 var.

Arada birkaç tane daha değer var.

Burada 0 var.

Bizim ifademiz eksi 1'den büyük ya da eşit olduğundan eksi 1'e eşit olabilir demektir.

-

Demek ki ifademiz eksi 1'den büyük, ama aynı zamanda 2 tam 4/5'ten de küçük olacak.

-

Bu durumda buraya 2 tam 4/5'i dahil edemeyiz.

İfademiz 2 tam 4/5'e eşit olamaz, sadece küçük olabilir.

Bundan dolayı 2 tam 4/5'i içi boş daire içine aldık ve aşağıda, eksi 1'e kadar

geriye kalan tüm değerleri dahil ettik.

Buna eksi 1 de dahil çünkü küçük veya eşit işareti var.

-

Son iki sorumuz "ve" tipi sorular oldu.

Her iki durumu da sağlamak zorundasınız.

Şimdi de bir "veya" sorusu yapalım.

-

Diyelim ki 4x eksi 1 büyük ya da eşittir 7; veya 9x bölü 2 küçüktür 3.

-

-

Burada "veya" dediğimizden, x burada her iki eşitsizliği de sağlar.

-

Geçen birkaç soruda her iki eşitsizliği de sağlayan x değerlerini bulmak zorundaydık.

-

Bu biraz daha esnek.

Sadece birini sağlasak da olur.

Haydi her biri için çözüm kümelerini bulalım ve ardından bu değerlerin birleşimlerini, yani ikisini de sağlayacak her şeyi bulalım.

-

-

-

Burada, sol taraftakinde, her iki tarafa da 1 ekleriz.

-

-

Sol taraf 4x büyük ya da eşittir 7 artı 1'den 8 oldu.

-

Her iki tarafı 4'e bölünce, x büyük ya da eşittir 2 sonucunu elde ederiz.

-

Gelin şimdi de bunu yapalım.

Şimdi düşünelim, bu ifadenin her iki tarafını 2/9'la çarparsak ne elde ederiz?

-

Her iki tarafı 2/9'la çarparsak, çarptığımız sayı pozitif olduğundan eşitsizlikle ilgili bir şey yapmamıza gerek yok.

-

Bunlar birbirini götürdü ve x küçüktür 3 çarpı 2/9 kaldı.

3/9, 1/3 ile aynı şey olduğundan x, 2/3'ten küçük olmalı.

-

O zaman x küçüktür 2/3.

Bu da bizim çözüm kümemiz:

X büyük ya da eşittir 2 veya küçüktür 2/3.

-

Şimdi bu çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterelim.

Bu bizim sayı doğrumuz.

Burada 0, bu 1, bu 2, bu 3, bu da eksi 1.

-

X büyük ya da eşittir 2.

O halde başlayabiliriz - bunu farklı renkte yapalım.

2 ile buradan başlayabiliriz; x büyük ya da eşittir 2 olduğundan 2'den büyük ve 2'ye eşit her şeyi dahil edelim.

-

Burası bu şartı sağlar.

Ya da x küçüktür 2/3.

2/3 buralarda olacak, değil mi?

Burası 2/3 olsun.

X 2/3'ten az olabilir.

Burası ilginç.

Çünkü eğer bu sayılardan birini seçersek, eşitsizlik sağlanacak.

-

Bu sayılardan seçersek de, eşitsizlik sağlanacak.

-

Eğer burada "ve" olsaydı, bu ifadeleri aynı anda sağlayan bir değer olmayacaktı; çünkü x hem 2'den büyük, hem de 2/3'ten az olamaz.

-

-

Çözüm kümesi olabilmesinin tek yolu burada "veya" olması.

Ancak bu şekilde her iki eşitsizlik de sağlanabilir.

-

Her neyse, umarım eğlenmişsinizdir.