Sammensatte uligheder

Sal løser flere lineære sammensatte uligheder.

Algebra 1 dækker både noget af pensum for udskolingen i folkeskolen og gymnasiet. Det er emner som: Lineær ligninger og uligheder, funktioner og grafer. Udvidelse af funktionskonceptet som f.eks eksponentielle modeller samt andengradsligninger, funktioner og grafer. På Khan Academy kan du arbejde dybdegående med disse emner.

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Lad os løse nogle opgaver med
sammensatte uligheder,

som er er uligheder med mere
en et sæt af betingelser.

Du vil se, hvad jeg mener om et øjeblik.

I den første opgave har vi,

-5 ≤ x - 4 ≤ 13.

Vi har 2 sæt af betingelser for x,
som skal opfyldes i udtrykket.

x - 4 skal være større end
eller lig med -5,

og x - 4 skal være mindre
end eller lig med 13.

Vi kan omskrive den sammensatte
uligheden til

-5 ≤ x - 4 OG x - 4 ≤ 13.

Vi løser dem hver for sig,
men vi skal huske, at der står "og",

når vi finder løsninger for den
sammensatte ulighed.

Det skal være løsninger, som opfylder
både den ulighed og den ulighed.

Lad os løse dem hver for sig først.

I den her kan vi lægge 4 til
på begge sider.

På venstre side har vi - 5 + 4.
Det er -1.

-1 ≤ x.

4-tallene reduceres,
og vi har kun x på højre side.

Den venstre side kan forkortes til

x skal være større end
eller lig med -1,

eller -1 er mindre
end eller lig med x.

Vi kan også skrive det som

x ≥ -1.

De 2 betyder det samme.
Vi vendte bare uligheden.

Lad os nu se på den anden betingelse.
Her i den grønne kasse.

Lad os lægge 4 til begge på sider.

På venstre side får vi bare x.

På højre side får vi 13 + 4.
Det er 17.

Vi har nu, at x ≤ 17.

Vores 2 betingelser er,

x ≥ -1 og x ≤ 17.

Vi kan omskrive det til en
sammensat ulighed.

Løsningsmængden er de x-værdier,

som er mindre end eller lig med 17
og større end eller lig med -1.

Begge betingelser skal være opfyldt.

Hvordan ser det ud på en tallinje?

Lad os tegne en tallinje her.

Lad os sige, at det er 17.

Der er 18 og så videre.

Det her er 0.

Der er selvfølgelig en masse tal i mellem.

Her er -1 og der er -2.

x ≥ -1,

så vi starter ved -1.

Vi fylder cirklen ud, fordi vi har
'større end eller lig med'.

x er større end -1, men det skal også
være mindre end eller lig med 17.

Det kunne være lig med 17
eller mindre end 17.

Løsningsmængden er alle de x,
som er markeret med orange.

Med interval notation skriver vi
x er mellem -1 og 17,

og den kan også være lig med -1,
så den kantet parentes vender indad

og den kan også være lig med 17.

Det er interval notationen for løsningen
for den sammensatte ulighed.

Lad os tage en mere.

Lad os tage en interessant en.

Vi har den sammensatte ulighed

-12 < 2 - 5x ≤ 7.

En opgave, hvor der er en 'mindre end'
og en 'mindre end eller lig med'.

Der er altså 2 forskellige
typer ulighedstegn,

da det er godt at se et eksempel
med begge typer ulighedstegn.

Først kan vi opdele den
i 2 almindelige uligheder.

Her er den ene ulighed.

Vi ved -12 < 2 - 5x.

Det skal være opfyldt,
OG den her ulighed skal også være opfyldt.

2 - 5x ≤ 7 OG x > -12,

så 2 - 5x ≤ 7.

Dem løser vi bare hver for sig.

Vi skal fjerne de 2 på venstre side her.

Lad os trække 2 fra på begge
sider af den her ulighed.

Når vi trækker 2 fra
begge sider af uligheden,

bliver venstre side
-14 <

-- 2 går ud -- så mindre end -5x.

Lad os dividere begge sider med -5.

Husk, at når vi ganger eller dividerer
med et negativt tal,

skal vi vende ulighedstegnet.

Når vi dividerer begge sider med -5,

får vi -14 / -5,
og vi har 1x på højre side.

Vi dividerer med -5 og vender tegnet,

så det bliver til et 'større end'-tegn.

De to negative fortegn reduceres,
og vi har 14/5 > x,

eller x < 14/5.
Hvad giver det?

Det er 2 og 4/5.

x < 2 4/5.

Vi omskrev bare den
uægte brøk til et blandet tal.

Lad os se på den anden ulighed.

Den her i lilla.

Vi trækker 2 fra på begge
sider af den her ulighed,

som vi gjorde før.

Vi kunne gøre det samtidigt,
men det bliver let uoverskueligt.

For at undgå sjuskefejl er det bedst
at adskille dem, som vi gør her.

Vi trækker igen 2 fra
begge sider af uligheden.

Venstre side bliver -5x,

og det er mindre end eller lig med,

højre side bliver 7 - 2, det er 5.

Vi dividerer nu begge sider med -5.

På venstre side får vi et x.

På højre side er det
5 divideret med -5.

Det er -1.

Vi dividerer med et negativt tal,
så vi skal vende ulighedstegnet.

Det var et 'mindre end eller lig med' og
bliver til et 'større end eller lig med'.

Vi har nu de 2 løsninger.

x < 2 4/5 og x ≥ -1.

Vi skriver det som et interval.

x ≥ -1.

Det er den nedre grænse for intervallet,

og x < 2 4/5.

Læg mærke til, at det ikke er
mindre end eller lig med.

Så vi har en parentes der,
(På dansk vil man bruge [ )

fordi det ikke kan være lig med 2 4/5.
x < 2 4/5.

Vi kan også skrive det på en anden måde.

x < 2 4/5.

Det er bare den ulighed vendt om,

og x ≥ -1.

De 2 udtryk er ens.

Vi kan også tegne det på en tallinje.

Her er -1 og 2 4/5 er her.

Der er naturligvis tal imellem.
0 er her.

Det skal være større end
eller lig med -1.

Det kan godt være lig med -1,
så cirklen er udfyldt.

Det skal være større end -1
og det skal være mindre end 2 4/5.

Det kan ikke være lig med 2 4/5.
Det kan kun være mindre end,

så vi sætter en tom cirkel
omkring 2 4/5,

og så er det alle tal mindre end
hele vejen ned til -1.

-1 er med, fordi vi har
"mindre end eller lig med".

Disse to opgaver kaldes "OG"-opgaver.
Vi skal opfylde begge betingelser.

Lad os nu tage en "ELLER"-opgave.

Lad os sige, at vi har de her uligheder.

Lad os sige, at 4x - 1 ≥ 7

ELLER 9x / 2 < 3.

Når vi siger "ELLER",
er løsningerne alle de x,

som vil opfylde 1 af de 2 uligheder.

I de to andre opgaver skulle vi finde x,
der opfyldte begge uligheder.

Her er det mere frit.
Vi skal bare opfylde 1 af de 2.

Lad os finde løsninger for dem
begge hver for sig

og bagefter kombinationen af alle x,
der opfylder 1 af de 2 uligheder.

For den venstre del kan vi
lægge 1 til på begge sider.

Vi lægger 1 til på begge sider.

På venstre side bliver det 4x ≥ 7 + 1.

Det er 8.

Vi dividerer begge sider med 4,
så x ≥ 2.

ELLER

Lad os nu tage den her.

Hvis vi ganger begge sider med 2/9,

hvad får vi så?

Vi ganger begge sider med 2/9.

Det er et positivt tal, så vi skal
ikke vende ulighedstegnet.

Disse reduceres, og vi får
x < 3 · 2/9.

3/9 er det samme som 1/3,
så x < 2/3.

ELLER x < 2/3.

Vi har nu de 2 løsningsmængder.

x ≥ 2
ELLER x < 2/3.

Det er interessant.

Lad os tegne løsningerne på tallinjen.

Det er vores tallinje.

Det er 0, 1, 2, 3.

Det er -1.

x ≥ 2.

Vi kan starte med 2 her og det skal
være større end eller lig med 2,

så vi inkluderer alt, der er
større end eller lig med 2.

Det er den løsning dér.

Den anden løsning siger,
at x < 2/3.

2/3 er her omkring.

Der er 2/3.

x kan være mindre end 2/3.

Det er interessant,

for hvis vi vælger et af de her tal,

vil det opfylde den her ulighed.

Hvis vi vælger et af de her tal,
vil det opfylde den her ulighed.

Hvis der havde stået "OG" her,
ville der ikke have været nogle tal,

som opfylder den, fordi et tal kan ikke
både være større end 2 og mindre end 2/3.

Grunden til, at vi har en løsning til
opgaven er, fordi det er en "eller"-opgave.

x skal bare opfylde 1 af de 2 uligheder.

Jeg håber, du har syntes det var
nyttigt.