Linear Algebra: Subspace Projection Matrix Example

Temos um subespaço V,
que é a nossa letra favorita

para subespaços.
Ele é igual ao

espaço vetorial de dois
vetores em R^4.

O primeiro vetor
é 1 0 0 1 e o

segundo vetor
é 0 1 0 1

Isso é meu subespaço V.

Você pode ver que
eles serão a base.

Eles são linearmente
independentes.

Dois vetores que são lineares ou
qualquer conjunto de vetores que são

linearmente independentes que
geram um subespaço são a base

para aquele subespaço.

Veja que eles são linearmente
independentes.

Esse cara tem um aqui.

Não tem como fazer qualquer
combinação com esse cara

para conseguir um 1 aqui.

Esse cara tem um 1 aqui.

Não tem como fazer qualquer
combinação linear

desses zeros aqui
para dar um 1 lá.

Por isso, são linearmente independentes.

Isso se chama a base de V.

Entendido isso, vamos ver
se podemos descobrir

a matriz transformação para
uma projeção de um vetor

qualquer nesse subespaço.

Digamo que X-- Estamos
trabalhando em R^4, certo?

Digamos que x é um elemento
de R^4 e quero descobrir

a matriz transformação
para a

a projeção em V de x.

No vídeo passado, nós
ensinamos uma forma genérica

para descobrir isso.

Disse que se A é uma matriz
transformação-- desculpe

Se A é uma matriz cujas colunas
são a base para o

subespaço, digamos que A seja
igual a 1 0 0 1, 0 1 0 1.

A é a matriz cujas colunas
são a base para o nosso

subespaço, então a projeção
de x em V seria igual a...

Isso é um pouco difícil.

Primeira vez que você olha
dá dor de cabeça, mas

existe um certo padrão ou
simetria ou uma forma de--

é A vezes, você terá
algo no meio

e então você tem A transposto
vezes seu vetor x.

O caminho que eu lembro é no
meio. Você tem esses

dois caras trocados.

Então você tem A transposto A
e você pega

o inverso dele.

Provavelmente você não usará isso
em seu cotidiano

daqui a cinco ou dez anos, então
não precisa memorizar

mas, por enquanto, ponha isso
em sua memória de médio prazo

porque é bom saber
como fazer esses

problemas de projeção.

Se queremos encontrar a
matriz geral para essa

transformação, nós só temos
que determinar o que é igual a ela

e isso é apenas um monte
de operações matriciais.

Então é A.

O que é A transposto?

Uma transposta ocorre quando
todas as linhas

se transformam em colunas.

A primeira coluna se torna
a primeira linha.

Ficando 1 0 0 1.

A segunda coluna vira
a segunda linha 0 1 0 1.

Isso é a transposta de A.

O que é A transposta de A?

Para descobrir isso, quero
saber o que é

A transposto vezes A.

Vamos multiplicar A
transposto vezes A.

Reescreverei A bem aqui.

1 0 0 1, 0 1 0 1.

Isso nos dará uma boa
prática em produtos

entre matrizes.

Isso será igual a quanto?

Primeiramente, ela é uma
matriz 2 por 4, e

multiplicando por uma matriz
4 por 2, será igual a uma

matriz 2 por 2.

A primeira entrada é
o produto escalar daquela

linha com aquela coluna.

É um vezes um mais zero
vezes zero mais zero vezes zero

mais um vezes um.

Deu o valor dois para a
primeira entrada bem aqui.

Então você faz o produto
escalar desse cara com esse

outro cara bem aqui.

É um vezes zero, que é zero,
mais zero vezes um, que é zero,

mais zero vezes zero, que é zero, mais
um vezes um, que é um.

Fazemos com esse cara pontilhado com
essa coluna bem aqui.

zero vezes um é zero mais um vezes zero é
zero mais zero vezes zero é zero mais

um vezes um é um.

Finalmente, essa linha
pontilhada com

essa segunda coluna.

Segunda linha, segunda coluna.

zero vezes zero é zero, um vezes um
é um, zero vezes zero é zero,

um vezes um é um.

Temos um vezes um
mais um vezes um.

Isso dá dois.

Será igual a dois.

Isso é A transposto A.

Mas não é tão bom.

Precisamos descobrir o que é a
inversa de A transposto A.

Isso é A transposto A.

Mas precisamos descobrir a
inversa de A transposto A.

O que é a inversa disso?

Deixe-me escrever aqui.

A inversa de A
transposto A será

igual a o quê?

É um sobre o determinante
desse cara.

Qual é o determinante?

Será um sobre o
determinante disso.

O determinante é dois vezes dois,
que é quatro, menos um vezes um.

É quatro menos um, que é três.

Um sobre o determinante vezes
esse cara, onde se eu

trocar esses dois, eu troco os
uns-- desculpe, troco os dois.

Esse dois vem aqui, e então
esse dois laranja vai para cá.

Faço esses uns
negativos.

Isso se torna um menos um e
esse se torna um menos um.

Aprendemos que essa é uma
solução geral para a

inversa de uma matriz 2 por 2.

Acho que a dez ou onze vídeos
atrás, você talvez tenha aprendido

em sua segunda aula de
Álgebra, mas vamos lá.

Temos a inversa de A transposto A.

Então, temos isso.

Temos que todo esse cara aqui
é só essa matriz.

Eu poderia multiplicar o 1/3 nele,
mas não tenho que fazer

isso por enquanto.

Mas vamos descobrir a
matriz inteira.

Todo o A vezes esse cara,
inversa de A transposto A

vezes A transposto.

Deixe-me escrever dessa forma.

A projeção de x no subespaço V
será igual a A.

1 0 0 1-- vou escrever um
pouco maior.

1 0 0 1, 0 1 0 1 vezes a inversa
de A transposto A, certo?

A vezes a inversa de A transposto A,
que é esse cara bem aqui.

Vamos por o 1/3 para
fora, porque

é só um escalar.

Colocarei o 1/3 vezes
esse cara.

A inversa de A transposto A
é 1/3 vezes dois

menos um, menos um, dois.

Multiplicarei ele vezes
A transposto.

E tudo aquilo vezes
nosso vetor x.

A transposto está bem aqui.

Ele é 1 0 0 1, 0 1 0 1.

Tudo isso será multiplicado
pelo seu vetor x.

Temos ainda um bom
produto de matrizes

em nossa frente.

Vamos ver se podemos fazer isso.

Primeiramente, vamos só
multiplicar esses dois caras.

Não acho que exista qualquer
maneira simples de fazer isso.

Essa é uma matriz 2 por 2 e essa
é uma matriz 2 por 4

quando as multiplico,
terei como resultado

uma matriz 2 por 4.

Deixe-me escrever essa
matriz 2 por 4 bem aqui.

Posso escrever esse
cara bem aqui.

1 0 0 1, 0 1 0 1.

Tenho o 1/3 que veio
da inversa de A transposto A

mas pus o fator
escalar para fora.

Tudo isso é igual à
projeção de x em V.

Vamos fazer esse produto.

Essa primeira entrada será
dois vezes um mais menos um

vezes zero, então dá dois.

Teremos dois vezes zero
mais menos um vezes um.

Bem, dá menos um.

Temos dois vezes zero mais
menos um vezes zero.

Bem, isso dá zero.

Então teremos dois
vezes um mais

menos um vezes um.

Dá dois menos um.

Que é um, certo?

dois vezes um mais menos
um vezes um.

Tudo certo.

Vamos para a segunda linha.

Menos um vezes um mais dois
vezes zero, que dá menos um.

Menos um vezes zero
mais dois vezes um.

Bem, dá dois.

Menos um vezes zero
mais dois vezes zero.

Isso dá zero.

Menos um vezes um mais
dois vezes um.

Bem, é menos um mais
dois, que é um.

Quase lá, e, agora, temos
que multiplicá-lo por x

no final.

Isso é a transformação.

Mas isso aqui é nossa
matriz transformação.

Mais a ser feito.

Espero não ter cometido
erros por descuido e que

eu não faça nenhum
durante este produto.

Isso será um pouco
complicado, porque

é uma 4 por 2 vezes uma 2 por 4.

Terminarei com
uma matriz 4 por 4.

Me dê um tempo para
respirar, porque

gerarei uma matriz
4 por 4 bem aqui.

Qual será o resultado?

A primeira entrada será
um vezes dois mais

zero vezes menos um.

Será igual a dois.

A próxima entrada: um vezes essa
linha vezes qualquer coluna aqui

será a primeira entrada
na coluna, porque

será zerado.

Um vezes dois mais zero
vezes menos um dá dois.

Um vezes menos um mais zero
vezes dois é menos um.

Um vezes zero mais zero
vezes zero é zero.

Um vezes um mais zero
vezes um é um.

Quando você pega essa
linha e a multiplica por

essas colunas, você
acha sua primeira linha.

Vamos fazer essa linha
vezes essas colunas.

Dá zero, então temos
um zero vezes

a primeira entrada de
tudo isso é um

vezes o segundo.

Zero vezes dois mais um vezes
menos um é menos um.

Zero vezes menos um mais
um vezes dois é dois.

Teremos a segunda linha aqui.

2 0 1.

Isso faz sentido, porque
se você olhar para

essa parte da matriz, será
uma matriz identidade 2 por 2.

De qualquer forma, é uma dica
porque isso se parece tanto

com aquilo, mas iremos
passar por

produto matricial.

Multiplicamos isso-- vou
fazer com uma cor diferente.

Multiplicamos essa cara vezes
cada uma dessas colunas.

Esse cara pontilhado com
aquele será zero, porque

esse cara é uma linha
vetorial de zeros.

Teremos vários zeros.

Em fim, a última linha
é um vezes a primeira

entrada mais um vezes
a segunda entrada.

Esse cara será dois mais
menos um, que é um.

Menos um mais dois,
que é um.

zero mais zero,
que é zero.

Um mais um, que é dois.

Tudo isso vezes x.

E aqui temos ele.

É excitante!

A projeção em V de x
é igual a toda essa

matriz vezes x.

Essa coisa aqui, poderia
se multiplicada por 1/3,

mas não temos
que fazer isso.

Isso só tornará um pouco
mais bagunçado.

Isso aqui é a matriz
transformação.

Como pode ver, uma vez
ao transformar-- lembre

essa projeção em V é
uma transformação linear

de R^4 para R^4.

Você me dá um elemento
de R^4, e eu lhe dou outro

elemento de R^4 que está em
meu subespaço que é a

projeção.

Então teremos uma
4 por 4. Você pode

ver bem aqui.

Espero que lhe
seja útil ver um

resultado tangível.

R^4 é muito abstrato, pois
estaria além de nosso

exemplo tridimensional.

Estamos lhe dando com um
conjunto de dados abstratos

em que nos interessa
encontrar uma projeção.

[ Legendado por Raul ]