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用Z分数表寻找两个值之间的比例

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    - [讲师]一台笔记本电脑的价格
  • 0:02 - 0:06
    是正态分布的，平均值为750美元
  • 0:06 - 0:09
    标准差为60美元。
  • 0:09 - 0:12
    笔记本电脑价格
  • 0:12 - 0:13
    在624美元
  • 0:14 - 0:15
    和768美元之间的比例是多少
  • 0:18 - 0:20
    我们来想想题目的要求。
  • 0:20 - 0:24
    我们有一个正态分布的价格。
  • 0:24 - 0:27
    它看起来会是这样的。
  • 0:27 - 0:29
    这只是我手绘的正态分布
  • 0:29 - 0:31
    的草图。
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    它看起来会像这样。
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    它应该是对称的。
  • 0:34 - 0:37
    我尽量让我手绘的图像对称。
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    我们有平均数
  • 0:39 - 0:40
    在中心位置。
  • 0:40 - 0:42
    平均数
  • 0:42 - 0:43
    就在那里。
  • 0:43 - 0:45
    是750美元。
  • 0:46 - 0:50
    题目还告诉我们，我们的标准差是60美元。
  • 0:50 - 0:53
    这意味着比平均值高出一个标准差
  • 0:53 - 0:55
    的位置大概就在这里。
  • 0:55 - 0:58
    750加60。
  • 0:58 - 1:00
    这就是810美元。
  • 1:00 - 1:02
    比平均值低一个标准差
  • 1:02 - 1:04
    就大概在那里。
  • 1:04 - 1:08
    是750减去60美元，
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    也就是690美元。
  • 1:11 - 1:14
    然后题目问的是：
  • 1:14 - 1:15
    笔记本价格
  • 1:15 - 1:17
    在624美元
  • 1:18 - 1:19
    和768美元之间的比例是多少？
  • 1:22 - 1:24
    所以下限是
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    $624，
  • 1:28 - 1:30
    这实际上会超过
  • 1:30 - 1:31
    平均值以下一个标准差，
  • 1:31 - 1:34
    大概是在这里。
  • 1:34 - 1:35
    这就是
  • 1:36 - 1:37
    $624的位置。
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    而$768
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    大约
  • 1:44 - 1:46
    就在那里。
  • 1:46 - 1:48
    再一次声明，这只是一个手绘的草图。
  • 1:48 - 1:49
    这是768。
  • 1:50 - 1:53
    那么这两个数值之间的比例是多少？
  • 1:53 - 1:55
    所以我们要找的基本上就是
  • 1:55 - 2:00
    在这两个值之间的分布所占的面积。
  • 2:00 - 2:02
    我们要采用的方法
  • 2:02 - 2:05
    是计算出768对应的Z分数，
  • 2:05 - 2:07
    它是正数
  • 2:07 - 2:09
    因为它高于平均值。
  • 2:09 - 2:11
    然后我们要用一个Z分数表来计算。
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    低于768的比例是多少。
  • 2:15 - 2:17
    因此，从本质上讲，我们要弄清楚
  • 2:17 - 2:18
    这整个面积。
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    也包括
  • 2:19 - 2:21
    小于624的这部分面积。
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    这就是Z分数表包含的内容。
  • 2:22 - 2:26
    然后我们要算出624的Z分数。
  • 2:26 - 2:29
    是负的2点几。
  • 2:29 - 2:31
    我们将再次使用Z分数表
  • 2:31 - 2:35
    来计算出小于这个数字的比例。
  • 2:35 - 2:38
    然后我们就可以减去这个红色区域，
  • 2:38 - 2:41
    从小于768的比例中减去它，
  • 2:41 - 2:44
    从而得到这个介于两者之间的面积。
  • 2:44 - 2:46
    那我们开始吧。
  • 2:46 - 2:50
    让我们先算出768的Z分数。
  • 2:50 - 2:53
    然后我们再来算624的Z分数。
  • 2:53 - 2:56
    768的Z分数，我这样写来表示
  • 2:58 - 3:00
    是
  • 3:00 - 3:01
    768减去750
  • 3:04 - 3:07
    除以标准差，除以60。
  • 3:07 - 3:10
    等于18
  • 3:10 - 3:11
    除以60。
  • 3:13 - 3:16
    也就等于6除以
  • 3:17 - 3:19
    让我们看看，如果我们把分子
  • 3:19 - 3:20
    和分母除以3。
  • 3:20 - 3:24
    得到6除以20，也就等于
  • 3:24 - 3:25
    0.30。
  • 3:29 - 3:32
    所以这就是这个上界的Z分数。
  • 3:32 - 3:36
    我们来算算有多少比例是小于这个的。
  • 3:36 - 3:38
    为此，我们需要Z分数表。
  • 3:38 - 3:40
    拿出我们的Z分数表。
  • 3:40 - 3:42
    让我们看看，我们想得到0.30。
  • 3:44 - 3:46
    这就是0.3，在这第一列，
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    我们在其他视频中也讲过这个。
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    这一列只到我们Z分数的十分位。
  • 3:52 - 3:54
    如果我们想找百分位，
  • 3:54 - 3:57
    那就是这些其他列给我们的信息。
  • 3:57 - 3:58
    我们的Z分数是0.3。
  • 4:00 - 4:02
    所以我们要在
  • 4:02 - 4:03
    这一行。
  • 4:05 - 4:08
    而我们的百位数在这里，
  • 4:08 - 4:10
    是0，所以这就是
  • 4:10 - 4:12
    小于768美元的比例。
  • 4:16 - 4:16
    是0.6179。
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    所以0.61，0.6179。
  • 4:26 - 4:28
    那么现在我们做一下同样的练习，
  • 4:28 - 4:32
    但针对的是低于624美元的比例。
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    Z分数
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    624美元的Z分数就等于
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    624减去平均值750。
  • 4:46 - 4:47
    所有这些除以60。
  • 4:49 - 4:50
    那么这等于什么呢？
  • 4:50 - 4:52
    我把我的计算器拿出来，
  • 4:52 - 4:54
    我可不想犯大意的错误。
  • 4:54 - 4:55
    624减去750
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    等于，
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    然后再除以60。
  • 5:06 - 5:08
    等于负2.1。
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    所以这个下限是低于平均值
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    2.1个标准差，
  • 5:13 - 5:17
    或者你可以说它有一个负2.1的Z分数。
  • 5:17 - 5:20
    等于负2.1。
  • 5:20 - 5:23
    所以要算出小于这个值的比例，
  • 5:23 - 5:25
    就是这里这个红色区域，
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    我们回到我们的Z分数表。
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    需要先用到Z分数表的第一部分。
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    同样的思路，但这是从负数开始的。
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    负3.4的Z分数，
  • 5:34 - 5:37
    比平均值低3.4个标准差。
  • 5:37 - 5:39
    就像我们之前看到的那样，
  • 5:39 - 5:42
    这里是百分之零，这是百分之一，
  • 5:42 - 5:44
    百分之二，以此类推。
  • 5:44 - 5:47
    而我们要找的是-2.1。
  • 5:47 - 5:51
    为了精确起见，我们可以说-2.10。
  • 5:51 - 5:53
    这将会让我们得到，
  • 5:53 - 5:55
    让我们看看-2.1，
  • 5:55 - 5:56
    找到了。
  • 5:56 - 5:57
    我们的Z分数是
  • 5:58 - 6:01
    负2.1，或者说是负2.10。
  • 6:02 - 6:04
    我们有百分之零，
  • 6:04 - 6:07
    所以我们要找的就在表格这里。
  • 6:07 - 6:11
    所以我们看到小于624的比例
  • 6:11 - 6:12
    是.0179或0.0179。
  • 6:16 - 6:17
    0.0179。
  • 6:21 - 6:22
    所以如果我们想算出
  • 6:22 - 6:24
    这两者之间的比例。
  • 6:24 - 6:26
    我们只要从这整个蓝色的面积中
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    减去这个红色面积。
  • 6:28 - 6:31
    从小于768的整个比例中减去红色面积
  • 6:31 - 6:33
    来得到这两者之间的比例。
  • 6:33 - 6:34
    0.6179,
  • 6:36 - 6:38
    再一次提醒一下，虽然我知道我一直在重复它。
  • 6:38 - 6:41
    这个比例表示的是这里整个蓝色的面积。
  • 6:41 - 6:43
    我们要从中减去红色的面积，
  • 6:43 - 6:44
    减去0.0179。
  • 6:47 - 6:48
    我们要把这个减掉，
  • 6:48 - 6:49
    来得到0.6。
  • 6:52 - 6:55
    所以如果我们想把我们的答案精确到小数点后四位。
  • 6:55 - 6:57
    那就是0.6000。
  • 6:58 - 7:00
    或者用另一种方式来思考这个问题
  • 7:00 - 7:01
    确切地说，60%的笔记本电脑的价格是
  • 7:03 - 7:04
    在624和768美元之间。
Title:
用Z分数表寻找两个值之间的比例
Description:

通过计算Z分数和使用Z分数表，找到正态分布中两个值之间的比例。

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Video Language:
English
Team:
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Duration:
07:10

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