分析极值形式的数学模型。
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0:00 - 0:03－【萨尔】一个物体从平台上发射。
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0:03 - 0:07其发射 x 秒后的高度以米衡量，
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0:07 - 0:11由这个式子表示：x 变量的 h 函数等于 －5
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0:11 - 0:14乘以 x － 4 的平方再加上 180。
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0:16 - 0:18通常谈到秒或时间变量，
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0:18 - 0:20多数由字母 t 来表示，这里我们
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0:20 - 0:22暂且用 x 变量来代表。
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0:22 - 0:26我们来思考一下这件事。
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0:26 - 0:27我们先让这个过程直观一些。
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0:27 - 0:30我画 h 轴代表高度。
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0:33 - 0:35我们再画 x 轴
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0:35 - 0:36代表时间。
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0:38 - 0:40先看 x 等于 0 时的情形。
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0:40 - 0:41这时物体在平台上，我们
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0:41 - 0:44可以计算平台的高度。
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0:44 - 0:46这一刻 x 等于 0。
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0:46 - 0:48我习惯说时间 t 等于 0，
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0:48 - 0:50现在是时间变量 x 等于 0 时，
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0:50 - 0:51在平台上
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0:51 - 0:53有个高度。
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0:53 - 0:56我们要把这个物体抛出。
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0:56 - 1:00这个高度函数的图像是一条抛物线,
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1:00 - 1:02而且它的开口朝下。
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1:02 - 1:03会有人问，怎么知道这个函数图
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1:03 - 1:06是一条开口朝下的抛物线？
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1:06 - 1:08函数图看起来象这样。
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1:08 - 1:10是个大概示意图。
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1:10 - 1:12希望能帮助你理解。
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1:12 - 1:13我断定它是抛物线
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1:13 - 1:16而且开口朝下，是源于
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1:16 - 1:18题目里给的信息。
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1:18 - 1:21这个二次式是写成极值形式。
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1:21 - 1:25极值形式的二次式
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1:25 - 1:27有个平方项，前面
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1:27 - 1:29还要乘以 －5。
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1:29 - 1:32这前面的负系数决定了该抛物线是向下开口。
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1:32 - 1:34如果把第一项展开，
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1:34 - 1:36x － 4 的平方就等于 x 的平方
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1:36 - 1:37加上其它项，然后
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1:37 - 1:38这些项全部乘以 －5，
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1:38 - 1:40其乘方次数最高的项
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1:40 - 1:44就是 －5 乘以 x 的平方。
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1:44 - 1:46这就是为什么该函数图是朝下开口的抛物线，
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1:46 - 1:49如示意图所示。
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1:49 - 1:53我们知道该图的大致特征，
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1:53 - 1:55再来探索其具体数值。
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1:55 - 1:57我想解的第一个问题是
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1:57 - 1:59这个平台的高度是多少。
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1:59 - 2:01这个平台到底
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2:04 - 2:05有多高？
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2:05 - 2:07我建议你暂停这个视频，
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2:07 - 2:09试着解答这个问题。
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2:09 - 2:13函数图和 y 轴的交点坐标是什么？
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2:13 - 2:15你一看就知道，这个一点
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2:15 - 2:18的 x 坐标等于 0。
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2:18 - 2:20因此要知道发射平台到底有多高，
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2:20 - 2:24就是要计算当 x 取值 0 时 h 函数的值。
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2:24 - 2:27这个函数值就是 －5 乘以
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2:27 - 2:30－4 的平方再加上 180。
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2:32 - 2:34就是把 x 值以 0 代入。
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2:34 - 2:37－4 的平方等于 16。
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2:37 - 2:40－5 乘以 16 等于 －80。
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2:41 - 2:42再加上 180。
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2:42 - 2:46所以这个 h 函数当 x 取值 0 时等于 100。
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2:46 - 2:49因此这个平台高度是 100 米。
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2:50 - 2:53记住这个高度单位是米。
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2:54 - 2:57现在下一个问题是，发射后经过
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2:57 - 3:01多少秒到达最高点？
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3:02 - 3:04这个最高点在我们
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3:04 - 3:07的开口朝下的抛物线上，
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3:07 - 3:09应该在极值点处达到最高。
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3:09 - 3:13所以那一点的 x 坐标就告诉
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3:14 - 3:18我们发射后经过多少时间
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3:21 - 3:24该物体能达到最高点。
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3:24 - 3:26我要在这里标注一下。
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3:26 - 3:29这一点的 x 值是多少？
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3:29 - 3:31再次建议你暂停该视频，
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3:31 - 3:33试着把答案找出。
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3:33 - 3:37我们要回答的
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3:37 - 3:38问题是发射该
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3:39 - 3:40物体和过多久
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3:44 - 3:46能到达最高点。
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3:47 - 3:52答案就是我们的极值点的 x 坐标。
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3:52 - 3:54如何找到这个 x 坐标呢？
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3:54 - 3:56这个二次式已经写成
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3:56 - 4:00极值形式，找出极值点
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4:00 - 4:04的坐标应该很容易。
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4:04 - 4:08我们来仔细看看
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4:08 - 4:10该表达式的结构。
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4:10 - 4:11看看它如何和极值点关联。
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4:11 - 4:13这里有个常数 180。
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4:13 - 4:15前面还有一项。
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4:15 - 4:17任何平方项都不可能是负数。
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4:17 - 4:20所以 x － 4 的平方总不可能是负数。
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4:20 - 4:22然后你得把它乘以 －5，
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4:22 - 4:26因此这一整项就不可能是正数。
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4:27 - 4:30所以整个函数不可能超过 180。
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4:32 - 4:35只有这个第一项等于
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4:35 - 4:370 时才能达到最大值。
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4:37 - 4:39什么时候这一项变成最大值？
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4:39 - 4:41这一项等于 0，
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4:41 - 4:44就是 x － 4 等于 0。
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4:44 - 4:46而 x － 4 等于 0 的唯一条件
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4:46 - 4:49就是 x 等于 4。
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4:49 - 4:50只要看一看这个式子，猜一下：
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4:50 - 4:51“x 等于多少才能使这项等于 0？”
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4:51 - 4:52当然是 4。
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4:52 - 4:54x 等于 4 能使它等于 0。
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4:54 - 4:56这个点的 x 坐标就是 4。
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4:56 - 5:00如果要算 x 取值 4 时 h 函数
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5:01 - 5:03是多少，这一项等于 0，
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5:03 - 5:07整个函数等于 180。
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5:07 - 5:09这就是 极值点的纵坐标。
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5:09 - 5:11最高的高度等于 180。
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5:11 - 5:15发射后经过 4 秒该物体达到最高点。
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5:15 - 5:18现在要问最后一个问题，
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5:18 - 5:22发射后经过多久高度变成 0？
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5:22 - 5:26就是问 x 取值多少该物体的高度为 0？
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5:27 - 5:32为了解答这个问题，我们需要解方程 x 变量的 h 函数等于 0。
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5:32 - 5:35具体就是 －5 乘以 x － 4
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5:35 - 5:39平方加上 180 等于 0。
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5:41 - 5:43我再次建议你暂停本视频，
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5:43 - 5:45试着自己解答这个问题。
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5:45 - 5:47可以先从方程两边减去 180。
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5:47 - 5:50结果是－5 乘以 x － 4 平方，
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5:50 - 5:52等于 －180。
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5:52 - 5:55然后在方程两边除以 －5。
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5:55 - 5:59我们得到 x － 4 的平方等于 36。
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6:02 - 6:05再往下一点。
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6:05 - 6:06然后，可以
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6:09 - 6:11在方程两边
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6:11 - 6:12开平方。
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6:12 - 6:15这样可能有两个结果，其中一个
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6:15 - 6:17是 x － 4 等于 6。
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6:17 - 6:21另一个可能的结论是 x － 4 等于 －6。
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6:21 - 6:24第一种情况下，在方程两边加上 4，
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6:24 - 6:26得到 x 等于 10。
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6:26 - 6:28在第二种情况下，在方程两边加上 4，
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6:28 - 6:31得到 x 等于 －2。
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6:31 - 6:33x 的定义是
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6:33 - 6:34物体发射后
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6:34 - 6:36经过的时间，
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6:36 - 6:38如果是负数
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6:38 - 6:39就没有意义。
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6:39 - 6:43所以我们应该排除 －2。
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6:43 - 6:46只有正值才符合题意。
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6:46 - 6:48那就是 x 等于 10。
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6:48 - 6:50物体发射后经过 10 秒钟，
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6:50 - 6:53它的高度就会等于 0。
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6:53 - 6:55如果地面的高度是 0，就是
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6:55 - 6:57说地面和海平面一样高，那么
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6:57 - 7:01那就是我们的抛物体着地的时间。
- Title:
- 分析极值形式的数学模型。
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分析极值形式的数学模型。
- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
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