Tích phân từng phần của tích phân xác định

Khi tính tích phân xác định bằng cách tính tích phân từng phần, trước tiên chúng ta nên tính nguyên hàm (như chúng ta làm với tích phân bất định), nhưng sau đó chúng ta cũng nên tính nguyên hàm ở các cận và thực hiện phép trừ.

Tự thực hành bài học này trên KhanAcademy.org ngay bây giờ: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-antideriutions-ftc/bc-integration-by-parts/e/integration-by-parts ? utm_source = YT & utm_medium = Desc & utm_campaign = APCalculusBC

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-antideriutions-ftc/bc-partial-fraction/v/partial-fraction-expansion-to-integrate?utm_source=YT&utm_medium = Desc & utm_campaign = APCalculusBC

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-antideriutions-ftc/bc-integration-by-parts/v/integration-by-parts-of-ex-cos-x-1? utm_source = YT & utm_medium = Desc & utm_campaign = APCalculusBC

AP Calculus BC trên Khan Academy: Tìm hiểu AP Calculus BC - mọi thứ từ AP Calculus AB cùng với một số tính năng bổ sung, chẳng hạn như chuỗi Taylor, để chuẩn bị cho Bài kiểm tra AP

Giới thiệu về Học viện Khan: Học viện Khan là một tổ chức phi lợi nhuận với sứ mệnh cung cấp nền giáo dục miễn phí đẳng cấp thế giới cho mọi người, ở bất kỳ đâu. Chúng tôi tin rằng người học ở mọi lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí mà họ có thể làm chủ theo tốc độ của riêng mình. Chúng tôi sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan để trợ giúp sinh viên và giáo viên trên toàn thế giới. Các nguồn lực của chúng tôi bao gồm giáo dục mầm non đến giáo dục đại học sớm, bao gồm toán, sinh học, hóa học, vật lý, kinh tế, tài chính, lịch sử, ngữ pháp và hơn thế nữa. Chúng tôi cung cấp dịch vụ luyện thi SAT được cá nhân hóa miễn phí với sự hợp tác của nhà phát triển bài thi, College Board. Học viện Khan đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ và 100 triệu người sử dụng nền tảng của chúng tôi trên toàn thế giới mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia với chúng tôi trên Facebook hoặc theo dõi chúng tôi trên Twitter tại @khanacademy. Và hãy nhớ rằng, bạn có thể học bất cứ điều gì.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Đăng ký kênh AP Calculus BC của Khan Academy: https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Đăng ký Học viện Khan: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Điều ta làm ở video này

là tính tích phân xác định từ 0

đến pi của x cosx dx.

Như mọi khi, hãy thử dừng video và

tự giải nhé.

Được rồi, khi bạn thấy cái này,

khá hiển nhiên là bạn sẽ

lấy nguyên hàm ở đây và tính nó

tại pi, và trừ từ đó,

và tính nó tại 0, nên có lẽ ta cần

một phương pháp hay hơn.

Nhìn chung, nếu bạn thấy một tích các hàm số

như ở đây, và nếu một trong các hàm này

khá dễ dàng để lấy nguyên hàm

mà không cần nhiều bước, như cosx,

và một hàm nữa như x - nếu bạn lấy đạo hàm

nó trở nên rất đơn giản.

Trong trường hợp này, nó sẽ thành 1.

Đó là một dấu hiệu khá tốt rằng ta nên

thực hiện tích phân từng phần.

Hãy nhắc lại một chút về tích phân từng phần.

Mình sẽ thực hiện ở ngay đây.

Nếu mình có tích phân, và mình sẽ viết dưới dạng

một tích phân bất định, nhưng ở đây

ta cần tích phân xác định và tính giá trị của nó tại pi

và 0, nên nếu mình có f(x)

nhân g'(x), dx,

cái này sẽ bằng, như ta đã chứng minh ở các video khác,

giống như

quy tắc nhân mà bạn đã học ở

vi phân, cái này sẽ bằng

f(x) nhân g(x) trừ, và bạn đổi cái này cho nhau,

trừ f'(x), g(x), dx.

Và lặp lại điều mình đã nói,

bạn muốn tìm f(x) sao cho khi bạn lấy đạo hàm của nó,

nó được đơn giản hóa

và bạn muốn tìm g'(x) sao cho khi bạn lấy

nguyên hàm của nó,

nó sẽ không trở nên phức tạp.

Không trở nên phức tạp.

Vì nếu f(x) được đơn giản hóa khi mình lấy

đạo hàm của nó, và g'(x) không

trở nên phức tạp hơn khi mình lấy nguyên hàm của nó,

thì biểu thức này dễ để tìm

nguyên hàm hơn.

Hãy làm như thế.

Giữa x và cosx, cái nào

trở nên đơn giản hơn khi mình lấy đạo hàm của nó?

Đạo hàm của x là 1, nên mình sẽ chọn

nó làm f(x), mình sẽ viết nó ra đây,

f(x) của mình là x,

và f'(x) sẽ bằng 1,

vậy rồi g'(x) của mình là gì?

g'(x) là cosx, và nếu mình lấy

nguyên hàm, nó sẽ không trở nên phức tạp hơn.

Nguyên hàm của cosx là sinx.

Vậy đó sẽ là g'(x) của mình.

g'(x) bằng cosx

và như vậy g(x), nguyên hàm của cosx,

sẽ là sinx, hoặc một cách khác để nghĩ về nó,

đạo hàm của sinx là cosx.

Giờ ta nghĩ đến việc cộng C,

nhưng nhớ rằng, đây là tích phân xác định,

nên những hằng số tùy ý đấy

sẽ bị triệt tiêu.

Giờ hãy cân nhắc cái này.

Hãy áp dụng tích phân từng phần ở đây.

Trong trường hợp này, cái này sẽ bằng

sẽ bằng

mình sẽ nhảy xuống đây, cái này sẽ bằng

f(x) nhân g(x).

Vậy f(x) này là x, g(x) là sinx,

f(x) nhân g(x), trừ tích phân của

f'(x), f'(x) là 1,

ta có thể viết nó dưới dạng, 1 nhân g(x),

g(x) là sinx, nên ta viết như thế này,

nhưng 1 nhân sinx, ta có thể viết luôn

sinx, sẽ đơn giản hơn,

sinx, dx, và hãy nhớ, đây là tích phân xác định,

nên ta sẽ tính cái này

tại pi và tại 0, và lấy hiệu

giữa 2 cái này.

Vậy tích phân bất định của sinx dx là gì?

Hoặc cũng có thể nói là nguyên hàm của nó,

ta biết rằng đạo hàm của cosx là trừ sinx

và ta có thể mang

trừ sin này vào tích phân, ta có thể viết

cộng tích phân của trừ sinx,

rõ ràng nguyên hàm ở đây là

cosx, nên cái này sẽ là

cosx, và ta sẽ cần tính giá trị

ở hai đầu mút.

Đầu tiên, hãy tính giá trị tại pi,

cái này sẽ bằng pi sin pi,

pi sin pi, cộng cos pi,

và từ đó, mình sẽ trừ cho giá trị của cái này

tại 0, để mình ghi cái này bằng màu khác,

vậy nó sẽ bằng 0 nhân sin 0

cộng cos 0,

sin pi bằng 0, nên cái này bị

triệt tiêu.

Cos pi, cái này là trừ 1,

và cái này là 0, cái này là cos 0,

cái này là 1, nên mình có âm 1 trừ 1,

điều này dẫn đến kết quả âm 2,

và ta đã giải xong.

Bằng cách dùng tích phân từng phần, ta có thể tính

tích phân xác định này.