First order homegenous equations

Jag kommer nu introducera dig till idén om en homogen

Jag kommer nu introducera dig till idén om en homogen

differentialekvation.

differentialekvation.

Homogena är samma ord som vi använder för mjölk, när vi

säga att mjölken har--att alla fat stycken har

spritts.

Men ansökan här, åtminstone jag inte se den

anslutning.

Homogen differentialekvation.

Och även inom differentialekvationer, vi lär dig senare

Det finns en annan typ av homogena

differentialekvation.

De kallas homogena linjära differentialekvationer,

men de betyder något faktiskt ganska olika.

Men ändå, för ändamålet, jag kommer att visa dig

homogena differentialekvationer.

Och vad vi göra med kommer att

vara första ordning ekvationer.

Vad betyder en homogen differentialekvation?

Jo, säger jag hade bara en vanlig första order differentiella

ekvationen kan skrivas här.

Så dy dx är lika med vissa funktion av x och y.

Låt oss anta att vi försöker göra detta och det är inte skiljas,

och det är inte exakt.

Vad vi lär oss är att om det kan vara homogena, om detta är

en homogen differentialekvation som vi kan göra en

Variabelersättning.

Och att Variabelersättning tillåter denna ekvation att vända

till en skiljas.

Men innan jag måste visa er att jag måste berätta, vad

innebär det att vara homogen?

Tja, om jag kan algebraiskt manipulera denna högra sida

Denna ekvation, så att jag kan faktiskt skriva om den.

I stället för en funktion x och y, om jag skulle skriva om detta

differentialekvation så att dy dx är lika med vissa

fungera, låt oss kalla det G, eller vi ska kalla det kapital F.

Om jag kan skriva det algebraiskt, så det är en

funktion av y dividerad med x.

Sedan kan jag göra en Variabelersättning

Det gör det kan avskiljas.

Så just nu, det verkar alla förvirrande.

Låt mig visa dig ett exempel.

Låt mig visa dig ett exempel.

Och jag ska bara visa dig exemplen, visar vissa artiklar

och sedan ska vi bara göra ersättningarna.

Så låt oss säga att min differentialekvation är den

derivatan av y om x är lika med

x plus y över x.

Och du kan, om du vill, kan du försöka göra detta till en

skiljas, men det är inte det trivialt att lösa.

Eller åtminstone, jag tittar på en inspektion, och det inte

verka det trivialt att lösa.

Och som vi ser här, vi har derivatan.

Det är lika med vissa funktion av x och y.

Och min fråga är till er, kan jag bara algebraiskt omarbetning

detta så det blir en funktion av y över x?

Jo, visst, om vi bara delar båda dessa övre termer av x.

Detta är samma sak som x över x plus y över x.

Denna ekvation är samma sak som dy över

DX är lika med detta.

Vilket är samma sak som att skriva om det hela

ekvation--jag kommer att byta färger godtyckligt--som detta,

dy över dx är lika med x dividerat med x är lika med 1, om

antar vi att x inte är lika med 0.

Plus y över x.

Så undrar du säkert vad menade jag genom en funktion

y över x?

Tja, kan du se det här.

När jag bara algebraiskt manipuleras denna ekvation I

fick 1 plus y över x.

Så om jag sade att y över x är lika med vissa tredje variabel,

Detta är bara en funktion av den tredje variabeln.

Och faktiskt, jag kommer att göra det just nu.

Så låt oss göra en ersättning för y x.

Låt oss anta att v-- och jag ska göra v i en annan färg--Låt oss

säga att v är lika med y över x.

Eller annat sätt, om du bara multiplicera båda sidor av x, du

skulle kunna skriva att y är lika med xv.

Och vi ska ersätta v y över x, men vi är också

kommer för att behöva ersätta dy över dx.

Så låt oss räkna ut vad det är i termer av de

derivat av v.

Derivatan av y om x är alltså lika med--

Vad är derivat av detta med avseende på x?

Tja, om vi antar att v är också en funktion av x, sedan

Vi ska bara använda regeln produkt.

Derivatan av x är 1 gånger v plus x gånger den

derivat av v med avseende på x.

Och nu, vi kan ersätta denna och denna tillbaka till detta

ekvation, och vi får--så dy över dx,

som är lika med detta.

Så vi få v plus x dv dx, derivat av v med respekt

x, är lika till--det är bara den vänstra sidan--det har

motsvarar 1 plus y över x.

Men vi gör denna ersättning som v är lika

till y över x.

Så vi ska göra 1 plus v.

Och nu, det borde vara ganska enkelt.

Så låt oss se, vi kan subtrahera v från båda

sidor av denna ekvation.

Låt mig visa dig ett exempel.

Och sedan vad vi har kvar?

Vi har x dv dx är lika med 1.

Låt oss dela upp båda sidor av x.

Och vi får derivatan av v om x är

lika med 1 över x.

Det bör kanske börja bli lite tydligare vad det

lösningen här är, men låt oss bara hålla kommer fram.

Så om vi multiplicera båda sidor med dx, vi få är dv lika med 1

över x gånger dx.

Nu kan vi ta antiderivative från båda sidorna,

integrera båda sidor.

Och vi är kvar v är lika med den naturliga logaritmen av det

absoluta värdet av x plus c.

Och vi är typ av, men det skulle vara trevligt att få detta

lösning bara y och x, och inte har detta tredje

variabeln v här.

Eftersom vårt ursprungliga problem var bara i y och x.

Så låt oss göra.

Vad var v?

Vi gjort substitution att v är lika med y över x.

Så låt oss vända ersätta det nu, eller unsubstitute den.

Så vi få y är x lika med den naturliga logaritmen av x plus c,

vissa konstant.

Multiplicera båda sidor gånger x.

Och du får y är lika med x gånger naturligt

logg över x plus c.

Och vi är klar.

Vi löste den till synes oskiljaktiga differentialen

ekvation som erkänner att det var homogena, och att

att Variabelersättning v är lika med y över x.

Som förvandlas det till ett skiljas

ekvation i v.

Och sedan vi löst det.

Och sedan vi unsubstituted det tillbaka.

Och vi fick en lösning till en differentialekvation.

Du kan kontrollera detta själv, att y är lika med

x naturliga logaritmen av det absoluta värdet av x plus c.

Åh, verkligen, gjorde jag ett misstag.

y över x är lika med den naturliga logaritmen av x plus c.

Om jag multiplicera båda sidor av denna ekvation gånger x, vad

lösningen?

Det är inte bara x den naturliga logaritmen av x.

Jag har att multiplicera detta gånger x, alltför, rätt?

Fördelande egenskap--som var en amatör misstag.

Så den rätta lösningen är är y lika med x den naturliga logaritmen av

det absoluta värdet av x plus x gånger c.

Och om du vill räkna ut c, jag skulle behöva ge dig

några ursprungliga villkor.

Och sedan du kunde lösa för c.

Och det skulle vara särskilt lösningen, då, för

denna differentialekvation.

I nästa video, ska jag bara göra ett par mer av dessa

problem. Jag ser du sedan.

problem. Jag ser du sedan.