Εισαγωγή στη σειρά των πράξεων

Σειρά των πράξεων

Σε αυτό το βίντεο θα μιλήσουμε λίγο

για τη σειρά (προτεραιότητα) των πράξεων.

Και θέλω να δώσετε πολλή προσοχή

γιατί, πραγματικά, ΟΛΑ τα υπόλοιπα που

θα κάνετε στα μαθηματικά θα βασίζονται πάνω

στο ότι έχετε γερές βάσεις στη σειρά των πράξεων.

Έτσι, τι εννοούμε καν

όταν λέμε σειρά των πράξεων;

Θα σας δώσω ένα παράδειγμα.

Το όλο νόημα είναι για να έχουμε έναν τρόπο

επίλυσης μίας μαθηματικής παράστασης.

Ας πούμε ότι έχω τη μαθηματική παράσταση:

7 συν 3, επί 5.

Τώρα, αν δε συμφωνούσαμε όλοι στη σειρά των πράξεων,

θα υπήρχαν δύο τρόποι να λύσουμε αυτή την παράσταση.

Θα μπορούσατε απλά να τη διαβάσετε από αριστερά προς δεξιά.

Έτσι θα μπορούσατε να πείτε "ωραία, ας κάνω πρώτα το 7 συν 3".

Θα μπορούσατε να πείτε 7 συν 3 και μετά να πολλαπλασιάσετε αυτό με το 5

και 7 συν 3 κάνει 10.

Και μετά το πολλαπλασιάζετε με το 5.

10 επί 5, θα είχατε αποτέλεσμα 50.

Έτσι, αυτός θα ήταν ένας τρόπος επίλυσης

αν δε συμφωνούσαμε όλοι σε μία σειρά των πράξεων.

Ίσως είναι ένας φυσικός τρόπο - απλά πας από αριστερά προς δεξιά.

Ένας άλλος τρόπος θα ήταν να λέγατε

"α, μ' αρέσει να κάνω πολλαπλασιασμό πριν κάνω πρόσθεση".

Έτσι θα το λύνατε σαν - θα το κάνω με διαφορετικά χρώματα -

7 συν... και κάνετε το 3 επί 5 πρώτα

7 συν 3 επί 5 που θα ήταν 7 συν

3 επί 5 κάνει 15 ... και 7 συν 15 κάνει 22

Έτσι προσέξτε ότι λύσαμε αυτήν την παράσταση με δύο διαφορετικούς τρόπους,

αυτός ήταν απλά από αριστερά προς δεξιά,

κάνοντας την πρόσθεση και μετά τον πολλαπλασιασμό.

Σε αυτόν τον τρόπο, κάναμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό,

και μετά την πρόσθεση. Πήραμε δύο διαφορετικές απαντήσεις.

Αυτό δε μας κάνει ιδιαίτερα στα μαθηματικά.

Αν αυτό ήταν μέρος κάποιας προσπάθειας να στείλουμε κάτι στο φεγγάρι

επειδή δύο άνθρωποι το έλυσαν με διαφορετικό τρόπο

ή ένας υπολογιστής το έλυσε με έναν τρόπο

και ένας άλλος υπολογιστής το έλυσε με άλλον -

ο δορυφόρος μπορεί να καταλήξει στον Άρη!

Έτσι αυτό είναι απλά ανεπίτρεπτο,

και για αυτό πρέπει να έχουμε

έναν συμφωνημένο τρόπο για τη σειρά των πράξεων,

ένα συμφωνημένο τρόπο επίλυσης αυτής της παράστασης.

Έτσι, ο συμφωνημένος τρόπος για τη σειρά των πράξεων

είναι να κάνουμε πρώτα τις παρενθέσεις.

-- ας το γράψω εδώ πέρα --

"παρενθέσεις" πρώτα. Μετά κάνουμε τις δυνάμεις.

Αν δεν ξέρετε τι είναι οι δυνάμεις,

μην ανησυχείτε για αυτό τώρα. Σε αυτό το βίντεο

δε θα έχουμε δυνάμεις στα παραδείγματά μας.

Έτσι δε χρειάζεται να ανησυχείτε για αυτό σε αυτό το βίντεο.

Ύστερα κάνετε πολλαπλασιασμό -

θα γράψω απλά "mult" για συντομία του multiplication.

Ύστερα κάνετε πολλαπλασιασμό και διαίρεση.

Έχουν πάνω κάτω την ίδια προτεραιότητα.

Και, τέλος, κάνετε πρόσθεση και αφαίρεση.

Έτσι, ποια είναι αυτή η σειρά των πράξεων;

Να του βάλω μια ταμπέλα -- αυτό εδώ είναι,

αυτή είναι η συμφωνημένη σειρά των πράξεων

και αν ακολουθούμε αυτή τη σειρά για τις πράξεις

θα πρέπει πάντα να καταλήγουμε στην ίδια απάντηση

για μια δεδομένη παράσταση. Οπότε τι μας λέει αυτό;

Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος επίλυσης αυτού εδώ πάνω;

Λοιπόν, δεν έχουμε παρενθέσεις --

οι παρενθέσεις μοιάζουν με κάτι τέτοιο,

αυτά τα καμπυλωτά πράγματα γύρω από τους αριθμούς.

Δεν έχουμε παρενθέσεις εδώ -

θα κάνω κάποια παραδείγματα που θα έχουν παρενθέσεις.

Δεν έχουμε δυνάμεις εδώ,

αλλά έχουμε κάποιο πολλαπλασιασμό και διαίρεση

ή, βασικά, έχουμε κάποιο πολλαπλασιασμό μόνο.

Έτσι, η σειρά των πράξεων λέει

"κάνε πρώτα πολλαπλασιασμό και διαίρεση".

Έτσι λέει να κάνουμε πολλαπλασιασμό πρώτα --

αυτός είναι ένας πολλαπλασιασμός. Άρα λέει να κάνω αυτή την πράξη πρώτα.

Προηγείται της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης.

Έτσι, αν κάνουμε αυτό πρώτα, παίρνουμε 3 επί 5,

που κάνει 15, και μετά προσθέτουμε το 7.

Πρόσθεση ή αφαίρεση - θα το κάνω εδώ -

έχουμε απλά πρόσθεση - έτσι απλά.

Έτσι, κάνουμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό, παίρνουμε 15,

και μετά του προσθέτουμε το 7...22.

Έτσι, βασιζόμενοι στη συμφωνημένη σειρά των πράξεων,

αυτή εδώ είναι η σωστή απάντηση -

ο σωστός τρόπος επίλυσης αυτής της παράστασης.

Ας κάνουμε κι άλλο παράδειγμα.

Νομίζω ότι θα ξεκαθαρίσει λίγο περισσότερο τα πράγματα.

Και θα το κάνω με ροζ χρώμα.

Έτσι ας πούμε ότι έχω 7 συν 3

- θα βάλω παρενθέσεις εδώ -

επί 4 δια 2 μείον 5 επί 6.

Οπότε έχουμε διάφορα καλούδια εδώ πέρα,

αλλά αν απλά ακολουθήσετε τη σειρά των πράξεων,

θα το απλοποιήσετε με έναν πολύ καθαρό τρόπο

και ελπίζω να φτάσουμε όλοι στην ίδια απάντηση.

Ας ακολουθήσουμε, λοιπόν, τη σειρά των πράξεων.

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να κοιτάξουμε για παρενθέσεις.

Είναι παρενθέσεις αυτά εδώ; Ναι, είναι!

Έχει παρενθέσεις γύρω από το 7 συν 3.

Αυτό λέει "ας κάνουμε αυτό πρώτα". Έτσι 7 συν 3 κάνει 10.

Αυτό μπορούμε να το απλοποιήσουμε

- απλά κοιτώντας αυτή τη σειρά των πράξεων -

σε 10 φορές όλο αυτό. Ας το κάνω αντιγραφή και επικόλληση,

για να μη χρειάζεται να το ξαναγράφω.

Ας κάνω αντιγραφή. Τώρα επικόλληση.

Οπότε αυτό το απλοποιεί σε 10 επί όλο αυτό,

κάναμε τις παρενθέσεις μας πρώτα. Τώρα τι κάνουμε;

Δεν έχει άλλες παρανθέσεις εδώ.

Θα πρέπει να κάνουμε τις δυνάμεις.

Δε βλέπω καμία δύναμη εδώ,

αν είστε απλά περίεργοι για το πώς είναι οι δυνάμεις

μία δύναμη θα ήταν κάπως έτσι

ξέρετε, 7 στο τετράγωνο...

Θα βλέπατε αυτούς τους μικρούς αριθμούς πάνω δεξιά.

Δεν έχουμε δυνάμεις εδώ,

άρα δε χρειάζεται να ανησυχούμε.

Μετά λέει να κάνουμε πολλαπλασιασμό και διαίρεση.

Πού βλέπουμε πολλαπλασιασμό -

έχουμε έναν πολλαπλασιασμό, μία διαίρεση, και άλλον έναν πολλαπλασιασμό.

Τώρα, όταν έχετε αρκετές πράξεις της ίδιας προτεραιότητας

και στη σειρά μας των πράξεων, πολλαπλασιασμός και διαίρεση

έχουν την ίδια προτεραιότητα - τότε το κάνετε από αριστερά προς δεξιά.

Έτσι, σε αυτή την περίπτωση, θα πολλαπλασιάσετε με 4

και μετά θα διαιρέσετε με το 2. Δε θα πολλαπλασιάσετε με το 4 διαρεμένο από το 2.

Μετά θα κάνουμε το 5 επί 6 πριν κάνουμε την αφαίρεση,

εδώ. Ας δούμε πόσο κάνει.

Κάνουμε λοιπόν αυτόν τον πολλαπλασιασμό πρώτα.

Κάνουμε αυτόν τον πολλαπλασιασμό πρώτα,

θα μπορούσαμε ταυτόχρονα να κάνουμε και αυτόν τον πολλαπλασιασμό

γιατί δεν πρόκειται να αλλάξει τα πράγματα,

αλλά θα τα κάνω ένα ένα.

Έτσι, το επόμενο βήμα είναι να κάνουμε αυτό το 10 επί 4.

10 επί 4 κάνει 40.

Μετά έχετε 40 δια 2

- ας ξανακάνω αντιγραφή και επικόλληση όλο αυτό.

Μετά απλοποείται σε αυτό εδώ.

Θυμηθείτε, πολλαπλασιασμός και διαίρεση,

έχουν ακριβώς την ίδια προτεραιότητα,

έτσι θα πάμε από αριστερά προς δεξιά.

Θα μπορούσατε να το γράψετε αυτό σαν πολλαπλασιασμό με 1/2

και τότε δε θα πείραζε η σειρά. Αλλά χάριν απλότητας

πολλαπλασιασμός / διαίρεση πάνε αριστερά προς δεξιά.

Έτσι έχετε 40 δια 2 μείον 5 επί 6.

Έτσι, διαίρεση - έχετε μόνο μία διαίρεση εδώ.

Θέλετε να κάνετε αυτή. Αυτό θα κάνει...

Έχετε αυτή τη διαίρεση και αυτόν τον πολλαπλασιασμό.

Δεν είναι μαζί.

Άρα όντως μπορείτε να τα ψιλοκάνετε ταυτόχρονα.

Και να το ξεκαθαρίσετε ότι θα κάνετε αυτό πριν την αφαίρεση,

γιατί πολλαπλασιασμός / διαίρεση προηγούνται της πρόσθεσης / αφαίρεσης,

μπορούμε να βάλουμε και παρενθέσεις γύρω τους.

Απλά πείτε "κοίτα, θα κάνουμε αυτό και αυτό πρώτα,

ΠΡΙΝ κάνω αυτή την αφαίρεση"

γιατί πολλαπλασιασμός / διαίρεση έχουν προτεραιότητα.

Έτσι, 40 δια 2 κάνει 20.

Θα έχουμε πάλι αυτό το μείον.

5 επί 6 κάνει 30.

20 μείον 30 ισούται με -10.

Και αυτή είναι η σωστή λύση.

Θέλω να κάνω κάτι πολύ, πολύ, πολύ ξεκάθαρο:

αν έχετε πράγματα της ίδιας προτεραιότητας

έτσι, αν έχετε 1 συν 2 μείον 3 συν 4 μείον 1

πρόσθεση και αφαίρεση έχουν την ίδια προτεραιότητα

στη σειρά των πράξεων - θα πρέπει να πάτε από αριστερά προς δεξιά.

Θα πρέπει να το λύσετε σαν 1 συν 2 κάνει 3.

Άρα είναι το ίδιο για το 3 μείον 3 συν 4 μείον 1.

Μετά κάνετε 3 μείον 3, κάνει 0, συν 4, μείον 1.

Ή είναι το ίδιο πράγμα με 4 μείον 1

που είναι το ίδιο πράγμα με το 3 - απλά πάτε από αριστερά προς δεξιά.

Το ίδιο ισχύει και όταν έχετε πολλαπλασιασμό και διαίρεση

όλα της ίδιας προτεραιότητας.

Έτσι, αν έχετε 4 επί 2, δια του 3, επί 2,

κάνετε το 4 επί 2, κάνει 8, διαιρούμενο από 3, επί 2

και λέτε 8 δια 3 κάνει - εμ, θα πάρετε κλάσμα εδώ -

οπότε θα ήταν 8/3. Άρα αυτό θα ήταν 8/3 επί 2.

Και 8/3 επί 2 ισούται με 16/3.

ΈΤΣΙ το λύνετε - δεν κάνετε αυτόν τον πολλαπλασιασμό πρώτα,

και μετά διαιρείτε το 2 με αυτό, και όλο το υπόλοιπο.

Η μία φορά που μπορείτε να μπουρδουκλώσετε τη σειρά των πράξεων

είναι όταν έχετε ΜΟΝΟ πρόσθεση ή ΜΟΝΟ αφαίρεση.

Έτσι αν έχετε 1 συν 5 συν 7 συν 3 συν 2

δεν έχει σημασία με ποιά σειρά θα το κάνετε.

Θα μπορούσατε να κάνετε το 2 συν 3,

θα μπορούσατε να πάτε από δεξιά προς τα αριστερά,

θα μπορούσατε να πάτε από αριστερά προς τα δεξιά,

ή να αρχίσετε από κάοπυ ενδιάμεσα -

αν είναι ΜΟΝΟ προσθέσεις,

και το ίδιο πράγμα ισχύει αν έχετε ΜΟΝΟ πολλαοπλασιασμούς,

αν είναι 1 επί 5 επί 7 επί 3 επι 2

δεν έχει σημασία η σειρά με την οποία θα το κάνετε.

Αυτό συμβαίνει μόνο όταν έχετε μόνο πολλαπλασιασμούς Ή μόνο προσθέσεις.

Αν υπήρχε κάποια διαίρεση εδώ ή κάποια αφαίρεση εδώ,

τότε καλύτερα να πάτε από αριστερά προς δεξιά.