1
00:00:00,418 --> 00:00:02,347
Σε αυτό το βίντεο θα μιλήσουμε λίγο

2
00:00:02,347 --> 00:00:04,906
για τη σειρά (προτεραιότητα) των πράξεων.

3
00:00:04,906 --> 00:00:06,990
Και θέλω να δώσετε πολλή προσοχή

4
00:00:06,990 --> 00:00:08,757
γιατί, πραγματικά, ΟΛΑ τα υπόλοιπα που

5
00:00:08,757 --> 00:00:10,793
θα κάνετε στα μαθηματικά θα βασίζονται πάνω

6
00:00:10,793 --> 00:00:14,524
στο ότι έχετε γερές βάσεις στη σειρά των πράξεων.

7
00:00:14,524 --> 00:00:15,931
Έτσι, τι εννοούμε καν

8
00:00:15,931 --> 00:00:17,554
όταν λέμε σειρά των πράξεων;

9
00:00:17,554 --> 00:00:18,808
Θα σας δώσω ένα παράδειγμα.

10
00:00:18,808 --> 00:00:21,420
Το όλο νόημα είναι για να έχουμε έναν τρόπο

11
00:00:21,420 --> 00:00:23,650
επίλυσης μίας μαθηματικής παράστασης.

12
00:00:23,650 --> 00:00:26,239
Ας πούμε ότι έχω τη μαθηματική παράσταση:

13
00:00:26,239 --> 00:00:32,293
7 συν 3, επί 5.

14
00:00:32,293 --> 00:00:36,511
Τώρα, αν δε συμφωνούσαμε όλοι στη σειρά των πράξεων,

15
00:00:36,511 --> 00:00:39,335
θα υπήρχαν δύο τρόποι να λύσουμε αυτή την παράσταση.

16
00:00:39,335 --> 00:00:41,424
Θα μπορούσατε απλά να τη διαβάσετε από αριστερά προς δεξιά.

17
00:00:41,424 --> 00:00:44,506
Έτσι θα μπορούσατε να πείτε "ωραία, ας κάνω πρώτα το 7 συν 3".

18
00:00:44,506 --> 00:00:49,319
Θα μπορούσατε να πείτε 7 συν 3 και μετά να πολλαπλασιάσετε αυτό με το 5

19
00:00:49,319 --> 00:00:53,249
και 7 συν 3 κάνει 10.

20
00:00:53,249 --> 00:00:56,657
Και μετά το πολλαπλασιάζετε με το 5.

21
00:00:56,657 --> 00:00:59,924
10 επί 5, θα είχατε αποτέλεσμα 50.

22
00:00:59,924 --> 00:01:01,645
Έτσι, αυτός θα ήταν ένας τρόπος επίλυσης

23
00:01:01,645 --> 00:01:03,597
αν δε συμφωνούσαμε όλοι σε μία σειρά των πράξεων.

24
00:01:03,597 --> 00:01:05,810
Ίσως είναι ένας φυσικός τρόπο - απλά πας από αριστερά προς δεξιά.

25
00:01:05,810 --> 00:01:07,252
Ένας άλλος τρόπος θα ήταν να λέγατε

26
00:01:07,252 --> 00:01:10,403
"α, μ' αρέσει να κάνω πολλαπλασιασμό πριν κάνω πρόσθεση".

27
00:01:10,403 --> 00:01:14,397
Έτσι θα το λύνατε σαν - θα το κάνω με διαφορετικά χρώματα -

28
00:01:14,397 --> 00:01:17,926
7 συν... και κάνετε το 3 επί 5 πρώτα

29
00:01:17,926 --> 00:01:24,425
7 συν 3 επί 5 που θα ήταν 7 συν

30
00:01:24,425 --> 00:01:32,750
3 επί 5 κάνει 15 ... και 7 συν 15 κάνει 22

31
00:01:32,750 --> 00:01:35,713
Έτσι προσέξτε ότι λύσαμε αυτήν την παράσταση με δύο διαφορετικούς τρόπους,

32
00:01:35,713 --> 00:01:37,756
αυτός ήταν απλά από αριστερά προς δεξιά,

33
00:01:37,756 --> 00:01:39,985
κάνοντας την πρόσθεση και μετά τον πολλαπλασιασμό.

34
00:01:39,985 --> 00:01:41,916
Σε αυτόν τον τρόπο, κάναμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό,

35
00:01:41,916 --> 00:01:43,840
και μετά την πρόσθεση. Πήραμε δύο διαφορετικές απαντήσεις.

36
00:01:43,840 --> 00:01:45,868
Αυτό δε μας κάνει ιδιαίτερα στα μαθηματικά.

37
00:01:45,868 --> 00:01:50,388
Αν αυτό ήταν μέρος κάποιας προσπάθειας να στείλουμε κάτι στο φεγγάρι

38
00:01:50,388 --> 00:01:52,233
επειδή δύο άνθρωποι το έλυσαν με διαφορετικό τρόπο

39
00:01:52,233 --> 00:01:54,106
ή ένας υπολογιστής το έλυσε με έναν τρόπο

40
00:01:54,106 --> 00:01:55,448
και ένας άλλος υπολογιστής το έλυσε με άλλον -

41
00:01:55,448 --> 00:01:57,301
ο δορυφόρος μπορεί να καταλήξει στον Άρη!

42
00:01:57,301 --> 00:01:59,401
Έτσι αυτό είναι απλά ανεπίτρεπτο,

43
00:01:59,401 --> 00:02:00,721
και για αυτό πρέπει να έχουμε

44
00:02:00,721 --> 00:02:03,129
έναν συμφωνημένο τρόπο για τη σειρά των πράξεων,

45
00:02:03,129 --> 00:02:06,644
ένα συμφωνημένο τρόπο επίλυσης αυτής της παράστασης.

46
00:02:06,644 --> 00:02:09,402
Έτσι, ο συμφωνημένος τρόπος για τη σειρά των πράξεων

47
00:02:09,402 --> 00:02:11,177
είναι να κάνουμε πρώτα τις παρενθέσεις.

48
00:02:11,177 --> 00:02:12,934
-- ας το γράψω εδώ πέρα --

49
00:02:12,934 --> 00:02:19,913
"παρενθέσεις" πρώτα. Μετά κάνουμε τις δυνάμεις.

50
00:02:19,913 --> 00:02:21,258
Αν δεν ξέρετε τι είναι οι δυνάμεις,

51
00:02:21,258 --> 00:02:24,731
μην ανησυχείτε για αυτό τώρα. Σε αυτό το βίντεο

52
00:02:24,731 --> 00:02:27,913
δε θα έχουμε δυνάμεις στα παραδείγματά μας.

53
00:02:27,913 --> 00:02:30,409
Έτσι δε χρειάζεται να ανησυχείτε για αυτό σε αυτό το βίντεο.

54
00:02:30,409 --> 00:02:31,974
Ύστερα κάνετε πολλαπλασιασμό -

55
00:02:31,974 --> 00:02:35,686
θα γράψω απλά "mult" για συντομία του multiplication.

56
00:02:35,686 --> 00:02:37,928
Ύστερα κάνετε πολλαπλασιασμό και διαίρεση.

57
00:02:37,928 --> 00:02:40,652
Έχουν πάνω κάτω την ίδια προτεραιότητα.

58
00:02:40,652 --> 00:02:47,553
Και, τέλος, κάνετε πρόσθεση και αφαίρεση.

59
00:02:47,553 --> 00:02:49,867
Έτσι, ποια είναι αυτή η σειρά των πράξεων;

60
00:02:49,867 --> 00:02:51,185
Να του βάλω μια ταμπέλα -- αυτό εδώ είναι,

61
00:02:51,185 --> 00:02:56,131
αυτή είναι η συμφωνημένη σειρά των πράξεων

62
00:02:56,131 --> 00:02:58,350
και αν ακολουθούμε αυτή τη σειρά για τις πράξεις

63
00:02:58,350 --> 00:03:00,309
θα πρέπει πάντα να καταλήγουμε στην ίδια απάντηση

64
00:03:00,309 --> 00:03:02,656
για μια δεδομένη παράσταση. Οπότε τι μας λέει αυτό;

65
00:03:02,656 --> 00:03:05,281
Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος επίλυσης αυτού εδώ πάνω;

66
00:03:05,281 --> 00:03:07,049
Λοιπόν, δεν έχουμε παρενθέσεις --

67
00:03:07,049 --> 00:03:08,811
οι παρενθέσεις μοιάζουν με κάτι τέτοιο,

68
00:03:08,811 --> 00:03:10,637
αυτά τα καμπυλωτά πράγματα γύρω από τους αριθμούς.

69
00:03:10,637 --> 00:03:12,329
Δεν έχουμε παρενθέσεις εδώ -

70
00:03:12,329 --> 00:03:15,111
θα κάνω κάποια παραδείγματα που θα έχουν παρενθέσεις.

71
00:03:15,111 --> 00:03:16,835
Δεν έχουμε δυνάμεις εδώ,

72
00:03:16,835 --> 00:03:18,983
αλλά έχουμε κάποιο πολλαπλασιασμό και διαίρεση

73
00:03:18,983 --> 00:03:20,853
ή, βασικά, έχουμε κάποιο πολλαπλασιασμό μόνο.

74
00:03:20,853 --> 00:03:22,862
Έτσι, η σειρά των πράξεων λέει

75
00:03:22,862 --> 00:03:25,351
"κάνε πρώτα πολλαπλασιασμό και διαίρεση".

76
00:03:25,351 --> 00:03:28,320
Έτσι λέει να κάνουμε πολλαπλασιασμό πρώτα --

77
00:03:28,320 --> 00:03:32,402
αυτός είναι ένας πολλαπλασιασμός. Άρα λέει να κάνω αυτή την πράξη πρώτα.

78
00:03:32,402 --> 00:03:36,735
Προηγείται της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης.

79
00:03:36,735 --> 00:03:39,508
Έτσι, αν κάνουμε αυτό πρώτα, παίρνουμε 3 επί 5,

80
00:03:39,508 --> 00:03:42,679
που κάνει 15, και μετά προσθέτουμε το 7.

81
00:03:42,679 --> 00:03:44,723
Πρόσθεση ή αφαίρεση - θα το κάνω εδώ -

82
00:03:44,723 --> 00:03:47,866
έχουμε απλά πρόσθεση - έτσι απλά.

83
00:03:47,866 --> 00:03:49,901
Έτσι, κάνουμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό, παίρνουμε 15,

84
00:03:49,901 --> 00:03:52,326
και μετά του προσθέτουμε το 7...22.

85
00:03:52,326 --> 00:03:56,113
Έτσι, βασιζόμενοι στη συμφωνημένη σειρά των πράξεων,

86
00:03:56,113 --> 00:03:59,375
αυτή εδώ είναι η σωστή απάντηση -

87
00:03:59,375 --> 00:04:01,594
ο σωστός τρόπος επίλυσης αυτής της παράστασης.

88
00:04:01,594 --> 00:04:03,482
Ας κάνουμε κι άλλο παράδειγμα.

89
00:04:03,482 --> 00:04:08,082
Νομίζω ότι θα ξεκαθαρίσει λίγο περισσότερο τα πράγματα.

90
00:04:08,082 --> 00:04:10,467
Και θα το κάνω με ροζ χρώμα.

91
00:04:10,467 --> 00:04:17,932
Έτσι ας πούμε ότι έχω 7 συν 3

92
00:04:17,932 --> 00:04:19,871
- θα βάλω παρενθέσεις εδώ -

93
00:04:19,871 --> 00:04:30,652
επί 4 δια 2 μείον 5 επί 6.

94
00:04:30,652 --> 00:04:32,435
Οπότε έχουμε διάφορα καλούδια εδώ πέρα,

95
00:04:32,435 --> 00:04:34,836
αλλά αν απλά ακολουθήσετε τη σειρά των πράξεων,

96
00:04:34,836 --> 00:04:37,767
θα το απλοποιήσετε με έναν πολύ καθαρό τρόπο

97
00:04:37,767 --> 00:04:39,409
και ελπίζω να φτάσουμε όλοι στην ίδια απάντηση.

98
00:04:39,409 --> 00:04:41,631
Ας ακολουθήσουμε, λοιπόν, τη σειρά των πράξεων.

99
00:04:41,631 --> 00:04:43,752
Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να κοιτάξουμε για παρενθέσεις.

100
00:04:43,752 --> 00:04:46,023
Είναι παρενθέσεις αυτά εδώ; Ναι, είναι!

101
00:04:46,023 --> 00:04:48,798
Έχει παρενθέσεις γύρω από το 7 συν 3.

102
00:04:48,798 --> 00:04:53,937
Αυτό λέει "ας κάνουμε αυτό πρώτα". Έτσι 7 συν 3 κάνει 10.

103
00:04:53,937 --> 00:04:55,339
Αυτό μπορούμε να το απλοποιήσουμε

104
00:04:55,339 --> 00:04:57,183
- απλά κοιτώντας αυτή τη σειρά των πράξεων -

105
00:04:57,183 --> 00:05:01,256
σε 10 φορές όλο αυτό. Ας το κάνω αντιγραφή και επικόλληση,

106
00:05:01,256 --> 00:05:03,996
για να μη χρειάζεται να το ξαναγράφω.

107
00:05:03,996 --> 00:05:06,870
Ας κάνω αντιγραφή. Τώρα επικόλληση.

108
00:05:06,870 --> 00:05:10,079
Οπότε αυτό το απλοποιεί σε 10 επί όλο αυτό,

109
00:05:10,079 --> 00:05:13,330
κάναμε τις παρενθέσεις μας πρώτα. Τώρα τι κάνουμε;

110
00:05:13,330 --> 00:05:15,362
Δεν έχει άλλες παρανθέσεις εδώ.

111
00:05:15,362 --> 00:05:16,686
Θα πρέπει να κάνουμε τις δυνάμεις.

112
00:05:16,686 --> 00:05:18,199
Δε βλέπω καμία δύναμη εδώ,

113
00:05:18,199 --> 00:05:20,145
αν είστε απλά περίεργοι για το πώς είναι οι δυνάμεις

114
00:05:20,145 --> 00:05:21,423
μία δύναμη θα ήταν κάπως έτσι

115
00:05:21,423 --> 00:05:23,153
ξέρετε, 7 στο τετράγωνο...

116
00:05:23,153 --> 00:05:25,699
Θα βλέπατε αυτούς τους μικρούς αριθμούς πάνω δεξιά.

117
00:05:25,699 --> 00:05:27,067
Δεν έχουμε δυνάμεις εδώ,

118
00:05:27,067 --> 00:05:27,935
άρα δε χρειάζεται να ανησυχούμε.

119
00:05:27,935 --> 00:05:32,742
Μετά λέει να κάνουμε πολλαπλασιασμό και διαίρεση.

120
00:05:32,742 --> 00:05:34,199
Πού βλέπουμε πολλαπλασιασμό -

121
00:05:34,199 --> 00:05:38,826
έχουμε έναν πολλαπλασιασμό, μία διαίρεση, και άλλον έναν πολλαπλασιασμό.

122
00:05:38,826 --> 00:05:43,795
Τώρα, όταν έχετε αρκετές πράξεις της ίδιας προτεραιότητας

123
00:05:43,795 --> 00:05:46,164
και στη σειρά μας των πράξεων, πολλαπλασιασμός και διαίρεση

124
00:05:46,164 --> 00:05:50,482
έχουν την ίδια προτεραιότητα - τότε το κάνετε από αριστερά προς δεξιά.

125
00:05:50,482 --> 00:05:54,141
Έτσι, σε αυτή την περίπτωση, θα πολλαπλασιάσετε με 4

126
00:05:54,141 --> 00:05:59,166
και μετά θα διαιρέσετε με το 2. Δε θα πολλαπλασιάσετε με το 4 διαρεμένο από το 2.

127
00:05:59,166 --> 00:06:03,717
Μετά θα κάνουμε το 5 επί 6 πριν κάνουμε την αφαίρεση,

128
00:06:03,717 --> 00:06:06,504
εδώ. Ας δούμε πόσο κάνει.

129
00:06:06,504 --> 00:06:08,984
Κάνουμε λοιπόν αυτόν τον πολλαπλασιασμό πρώτα.

130
00:06:08,984 --> 00:06:10,427
Κάνουμε αυτόν τον πολλαπλασιασμό πρώτα,

131
00:06:10,427 --> 00:06:12,422
θα μπορούσαμε ταυτόχρονα να κάνουμε και αυτόν τον πολλαπλασιασμό

132
00:06:12,422 --> 00:06:13,769
γιατί δεν πρόκειται να αλλάξει τα πράγματα,

133
00:06:13,769 --> 00:06:16,053
αλλά θα τα κάνω ένα ένα.

134
00:06:16,053 --> 00:06:20,111
Έτσι, το επόμενο βήμα είναι να κάνουμε αυτό το 10 επί 4.

135
00:06:20,111 --> 00:06:25,733
10 επί 4 κάνει 40.

136
00:06:25,733 --> 00:06:28,433
Μετά έχετε 40 δια 2

137
00:06:28,433 --> 00:06:32,204
- ας ξανακάνω αντιγραφή και επικόλληση όλο αυτό.

138
00:06:32,204 --> 00:06:34,414
Μετά απλοποείται σε αυτό εδώ.

139
00:06:34,414 --> 00:06:35,992
Θυμηθείτε, πολλαπλασιασμός και διαίρεση,

140
00:06:35,992 --> 00:06:38,426
έχουν ακριβώς την ίδια προτεραιότητα,

141
00:06:38,426 --> 00:06:40,000
έτσι θα πάμε από αριστερά προς δεξιά.

142
00:06:40,000 --> 00:06:43,006
Θα μπορούσατε να το γράψετε αυτό σαν πολλαπλασιασμό με 1/2

143
00:06:43,006 --> 00:06:45,510
και τότε δε θα πείραζε η σειρά. Αλλά χάριν απλότητας

144
00:06:45,510 --> 00:06:49,333
πολλαπλασιασμός / διαίρεση πάνε αριστερά προς δεξιά.

145
00:06:49,333 --> 00:06:53,116
Έτσι έχετε 40 δια 2 μείον 5 επί 6.

146
00:06:53,116 --> 00:06:55,207
Έτσι, διαίρεση - έχετε μόνο μία διαίρεση εδώ.

147
00:06:55,207 --> 00:06:57,680
Θέλετε να κάνετε αυτή. Αυτό θα κάνει...

148
00:06:57,680 --> 00:07:00,183
Έχετε αυτή τη διαίρεση και αυτόν τον πολλαπλασιασμό.

149
00:07:00,183 --> 00:07:01,229
Δεν είναι μαζί.

150
00:07:01,229 --> 00:07:03,671
Άρα όντως μπορείτε να τα ψιλοκάνετε ταυτόχρονα.

151
00:07:03,671 --> 00:07:07,015
Και να το ξεκαθαρίσετε ότι θα κάνετε αυτό πριν την αφαίρεση,

152
00:07:07,015 --> 00:07:11,605
γιατί πολλαπλασιασμός / διαίρεση προηγούνται της πρόσθεσης / αφαίρεσης,

153
00:07:11,605 --> 00:07:13,191
μπορούμε να βάλουμε και παρενθέσεις γύρω τους.

154
00:07:13,191 --> 00:07:16,387
Απλά πείτε "κοίτα, θα κάνουμε αυτό και αυτό πρώτα,

155
00:07:16,387 --> 00:07:18,428
ΠΡΙΝ κάνω αυτή την αφαίρεση"

156
00:07:18,428 --> 00:07:22,355
γιατί πολλαπλασιασμός / διαίρεση έχουν προτεραιότητα.

157
00:07:22,355 --> 00:07:25,480
Έτσι, 40 δια 2 κάνει 20.

158
00:07:25,480 --> 00:07:27,317
Θα έχουμε πάλι αυτό το μείον.

159
00:07:27,317 --> 00:07:31,071
5 επί 6 κάνει 30.

160
00:07:31,071 --> 00:07:35,668
20 μείον 30 ισούται με -10.

161
00:07:35,668 --> 00:07:39,012
Και αυτή είναι η σωστή λύση.

162
00:07:39,012 --> 00:07:41,035
Θέλω να κάνω κάτι πολύ, πολύ, πολύ ξεκάθαρο:

163
00:07:41,035 --> 00:07:45,667
αν έχετε πράγματα της ίδιας προτεραιότητας

164
00:07:45,667 --> 00:07:51,922
έτσι, αν έχετε 1 συν 2 μείον 3 συν 4 μείον 1

165
00:07:51,922 --> 00:07:55,253
πρόσθεση και αφαίρεση έχουν την ίδια προτεραιότητα

166
00:07:55,253 --> 00:07:58,352
στη σειρά των πράξεων - θα πρέπει να πάτε από αριστερά προς δεξιά.

167
00:07:58,352 --> 00:08:01,455
Θα πρέπει να το λύσετε σαν 1 συν 2 κάνει 3.

168
00:08:01,455 --> 00:08:05,872
Άρα είναι το ίδιο για το 3 μείον 3 συν 4 μείον 1.

169
00:08:05,872 --> 00:08:10,316
Μετά κάνετε 3 μείον 3, κάνει 0, συν 4, μείον 1.

170
00:08:10,316 --> 00:08:13,424
Ή είναι το ίδιο πράγμα με 4 μείον 1

171
00:08:13,424 --> 00:08:16,675
που είναι το ίδιο πράγμα με το 3 - απλά πάτε από αριστερά προς δεξιά.

172
00:08:16,675 --> 00:08:20,529
Το ίδιο ισχύει και όταν έχετε πολλαπλασιασμό και διαίρεση

173
00:08:20,529 --> 00:08:22,666
όλα της ίδιας προτεραιότητας.

174
00:08:22,666 --> 00:08:29,400
Έτσι, αν έχετε 4 επί 2, δια του 3, επί 2,

175
00:08:29,400 --> 00:08:35,344
κάνετε το 4 επί 2, κάνει 8, διαιρούμενο από 3, επί 2

176
00:08:35,344 --> 00:08:39,338
και λέτε 8 δια 3 κάνει - εμ, θα πάρετε κλάσμα εδώ -

177
00:08:39,338 --> 00:08:44,353
οπότε θα ήταν 8/3. Άρα αυτό θα ήταν 8/3 επί 2.

178
00:08:44,353 --> 00:08:50,855
Και 8/3 επί 2 ισούται με 16/3.

179
00:08:50,855 --> 00:08:53,362
ΈΤΣΙ το λύνετε - δεν κάνετε αυτόν τον πολλαπλασιασμό πρώτα,

180
00:08:53,362 --> 00:08:56,335
και μετά διαιρείτε το 2 με αυτό, και όλο το υπόλοιπο.

181
00:08:56,335 --> 00:08:59,815
Η μία φορά που μπορείτε να μπουρδουκλώσετε τη σειρά των πράξεων

182
00:08:59,815 --> 00:09:03,184
είναι όταν έχετε ΜΟΝΟ πρόσθεση ή ΜΟΝΟ αφαίρεση.

183
00:09:03,184 --> 00:09:08,713
Έτσι αν έχετε 1 συν 5 συν 7 συν 3 συν 2

184
00:09:08,713 --> 00:09:11,052
δεν έχει σημασία με ποιά σειρά θα το κάνετε.

185
00:09:11,052 --> 00:09:12,267
Θα μπορούσατε να κάνετε το 2 συν 3,

186
00:09:12,267 --> 00:09:13,564
θα μπορούσατε να πάτε από δεξιά προς τα αριστερά,

187
00:09:13,564 --> 00:09:14,539
θα μπορούσατε να πάτε από αριστερά προς τα δεξιά,

188
00:09:14,539 --> 00:09:15,886
ή να αρχίσετε από κάοπυ ενδιάμεσα -

189
00:09:15,886 --> 00:09:18,337
αν είναι ΜΟΝΟ προσθέσεις,

190
00:09:18,337 --> 00:09:20,989
και το ίδιο πράγμα ισχύει αν έχετε ΜΟΝΟ πολλαοπλασιασμούς,

191
00:09:20,989 --> 00:09:24,933
αν είναι 1 επί 5 επί 7 επί 3 επι 2

192
00:09:24,933 --> 00:09:28,192
δεν έχει σημασία η σειρά με την οποία θα το κάνετε.

193
00:09:28,192 --> 00:09:32,140
Αυτό συμβαίνει μόνο όταν έχετε μόνο πολλαπλασιασμούς Ή μόνο προσθέσεις.

194
00:09:32,140 --> 00:09:34,682
Αν υπήρχε κάποια διαίρεση εδώ ή κάποια αφαίρεση εδώ,

195
00:09:34,682 --> 00:09:39,267
τότε καλύτερα να πάτε από αριστερά προς δεξιά.