-
Vítejte zpět.
-
Kde jsme skončili v minulém videu, ukazoval jsem vám tu věc, která se
-
nazývá geometrická řada.
-
A víte, že jsme měli nějákou základnu a.
-
Může to být jakékoliv číslo.
-
Může to být 1/2, může to být 10.
-
Ale je to --nějáké číslo.
-
A zvyšujeme ho zvýšením exponentu
-
a pak je sečteme, tomu se říká geometrická řada.
-
A tak chceme přijít na sumu geometrické řady
-
kterou známe, když mám nějáký základ a jdu nahoru k nějákému
-
číslu n.
-
Co---a co je tohle a na --proč jsem napsal
-
a na n mínus 2?
-
To má být a na velké N.
-
Můj mozek asi přestal fungovat
-
v minulém videu.
-
To se stává, když mi začne ubíhat čas.
-
Ale nicméně.
-
Pojďme zpět.
-
Tak jsem definoval s jako geometrickou sumu.
-
Teď definuji další sumu.
-
A to definuji jako a krát s.
-
A to se rovná--no, to prostě bude a krát
-
tahle suma, že?
-
A to je to samé a jako tohle a, že?
-
Tohle a je to samé jako tohle a.
-
Takže kolik je a krát tahle celá věc?
-
No, je to a krát a na nultou,
-
jen to přepíšu.
-
Takže tohle bude a protože jen distribuuji a, že?
-
a krát a na nultou, plus a krát a na prvou, plus a krát
-
a na druhou, plus dál a na n mínus 1
-
plus a krát a na ntou.
-
Teď jsem vzal a a distribuoval jsem
-
celou sumu.
-
Tak čemu se to rovná?
-
No, to se rovná a krát a na nultou.
-
To je jedna, a na prvou, plus a na druhou, plus a
-
na třetí, plus a na ntou, že?
-
Protože jen přičítáte exponenty, a na ntou
-
plus a na ntou plus 1.
-
Tohle je as.
-
A předtím jsme viděli, že s je jen naše původní suma.
-
Tohle je jen a na nultou, plus a na 1, plus a na
-
druhou plus, výš, výš, výš.
-
Až k a na ntou, že?
-
Tak se zeptám na otázku.
-
Co se stane, když to od toho odečtu?
-
Co se stane?
-
Když řeknu as mínus s.
-
No, to jsem odečetl z toho, na levo.
-
Co se děje na pravo?
-
No, všechno bude záporné, že?
-
Udělám to výrazně.
-
Tohel se stane---protože odečítám-záporné,
-
záporné, tohle je všechno záporné.
-
Záporné.
-
Záporné.
-
No,
-
To se vyruší. a na druhou mínus a na druhou se vyruší.
-
a na třetí , to se všechno vyruší.
-
Až po n, že?
-
Co nám zbývá?
-
Zbývá nám jen mínus a na 0, že?
-
Jen tenhle výraz.
-
A jen nám zbývá tenhle výraz.
-
Plus a na n plus 1.
-
A samozřejmě, co je a na nultou?
-
To je 1.
-
Takže máme a krát s mínus s se rovná
-
n plus 1 mínus 1.
-
Tak teď rozdistribuujeme s.
-
Takže dostaneme s krát a mínus 1 se rovná a na ntou
-
plus 1 mínus 1, že?
-
A co dostaneme?
-
No, můžeme obě strany vydělit 1.
-
Tak teď vymažu něco tady nahoře.
-
Myslím, že můžu beze strachy vymazat tohle všechno, opravdu.
-
No, nechci vymazat tolik.
-
Chci vymazat tohle.
-
To je dost dobré.
-
OK.
-
A jen jsem---dělelit obě strany rovnice
-
mínus 1, dostanu s se rovná a na n plus 1 mínus
-
1 děleno a mínus 1.
-
A kam nás to dostalo?
-
Definujeme geometrickou řadu, že se rovná sumě.
-
Od k se rovná 0 po n a do k.
-
A teď jsme odvodili vzoreček, jak
-
ta suma bude vypadat.
-
Se rovná a na n plus 1 mínus 1 děleno a mínus 1.
-
K čemu to je?
-
Teď víme, když to tak řeknu, no, co je---jen to vymažu
-
, taky.
-
Jen to vymažu a můžeme--OK.
-
Takže když jsem řekl, že přijdeme na sumu, nevím,
-
mocniny 3 do 3 , do já nevím, 3 do 10
-
mocniny.
-
Tak víte, že 3.
-
3 na 0, plus 3 na 1, plus 3 na druhou, plus
-
až k desítce.
-
Takže tohle je ta samá suma jako k se rovná 0
-
až 10, od 3 do k.
-
Že?
-
Takže ten vzoreček, a je 3, n je 10.
-
Takže tahle suma se jen bude rovnat 3 na 11
-
mínus 1 děleno š mínus 1.
-
Což se rovná--no, nevím, kolik je 3
-
na 11.
-
Mínus 1 děleno 2.
-
To je docela užitečné.
-
To je číslo.
-
Ale museli byste si zapamatovat
-
až do 11 mocniny.
-
Ale myslím, že to chápete.
-
Je to velmi užitečné hlavně, když, no--když,
-
byla mocnina 10, to by bylo velmi jednoduché.
-
Ale co teď chci udělat, je vzít tohle
-
a řekněme, no, co se děje když n jde do nekonečna?
-
Ukážu vám to.
-
Tak co se děje?
-
Jsou dva druhy řad--to není, co jsem chtěl
-
udělat.
-
Jsou dva typy řad, a bereme to tak, že
-
můžeme najít jejich sumy.
-
Je tam konečno a nekonečno řad.
-
A abychom našli sumu nekonečných
-
tohle není nekonečno, které potřebují--co říkáme--
-
se snaží konevergovat.
-
A jestli si myslíte, co se jim musí stát, aby konvergovali
-
každá další jednotka se musí zmenšovat
-
víc a víc, až jdeme do nekonečna.
-
Tak řekněme, že a je zlomek
-
a je 1/2.
-
Jak se chová geometrická řada, když máme 1/2?
-
Tak řekněme, že berem geometrickou řadu od k
-
rovná se 0 do nekonečna.
-
Je to pěkné.
-
Vezmeme nekonečnou sumu, nekonečný počet
-
výrazů, a uvidíme, jestli můžeme dostat opravdové číslo.
-
Vezmeme nekonečnou věc, přičteme a
-
a přičte se to na konečnou věc.
-
To mě vždy udivovalo.
-
A základna je teď 1/2.
-
Je to 1/2 a bude to 1/2 na k.
-
To bude co?
-
1/2 na 0, plus 1/2 plus , co je 1/2 na druhou?
-
Plus 1/4 plus 1/8 plus 1/16.
-
Každý další se o hodně změnšuje.
-
Stane se to polovinou předcházejícího členu.
-
No, řekněme, co se stane, když tohle není nekonečno?
-
Co se stane, když tohle je n?
-
No, a pak dostaneme 1 děleno 2 na ntou, že?
-
1/2 na n je to samé jako 1 děleno 2 na n.
-
A když se podíváme na náš vzoreček, řekli bychom,
-
no, to je jen rovno +/2 na n plus 1 mínus
-
1, děleno 1/2 mínus 1.
-
A to bude naše odpověď.
-
Museli bychom vědět kolik je n.
-
Ale teď chceme vědět, co se děje, když jdeme do nekonečna.
-
Tohle je limita.
-
Co se děje---co je limita, když n jde do nekonečna
-
z 1/2 do n plus 1 mínus 1 děleno 1/2 mínus 1?
-
No, všechno tohle jsou konstatntní výrazy, takže se nic neděje.
-
Co se děje, když tenhle výraz jde do nekonečna?
-
Co je 1/2 na nekonečno?
-
No, to je 0.
-
To je neuvěřitelně malé číslo.
-
Vezměte si 1/2 na náhodný exponent, to jde do 0.
-
Co nám zbývá?
-
Jen nám zbývá tohle se rovná mínus 1 děleno 1/2 mínus
-
1, nebo můžeme násobit spodek a hořejšek mínus 1.
-
A dostaneme 1 děleno 1 mínus 1/2.
-
Což se rovná 1 děleno 1/2 , což je 2.
-
Myslím, že je to úžasné.
-
Když přidám 0 plus 1/2 plus 1/4 plus 1/8 plus 1/16 a nikdy nezastavíte
-
tak to jde do nekonečna---ale ne do nekonečna, ale jdu do 1
-
děleno 2 na nekonečnou, zůstane mi
-
tohle pěkné jasné číslo.
-
2.
-
Tohle bude docela fuška, namalovat to jako
-
koláč, a uvidíme, co se stane
-
kyž přidáváte menší a menší kousíčky koláče.
-
Nikdy mě to nepřestane udivovat, že jsem přidal nekonečno
-
výrazů, že?
-
Tohle bylo nekonečno.
-
A mám konečné číslo.
-
Mám konečné číslo.
-
Nicméně, už nemáme čas.
-
Brzy nashle.
