Midpoint and distance on complex plane

เรามีจำนวนเชิงซ้อนสองตัวตรงนี้

จำนวนเชิงซ้อน z เท่ากับ 2 บวก 3i

และจำนวนเชิงซ้อน w เท่ากับลบ 5 ลบ i

สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้คือก่อนอื่น

พลอตจำนวนเชิงซ้อนสองตัวบนระนาบเชิงซ้อน

แล้วคิดว่าระยะระหว่าง

จำนวนสองตัวนี้บนระนาบเป็นเท่าใด และจำนวน

เชิงซ้อนใดอยู่กึ่งกลางระหว่างจำนวนสองตัวนี้พอดี

หรือวิธีคิดอีกอย่างคือว่า จำนวน

เชิงซ้อนใดคือจุดกึ่งกลางระหว่างจำนวนสองตัวนี้

ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอแล้วคิด

เองก่อนที่ผมจะทำให้ดู

ลองพยายามพลอตค่าเหล่านี้บนระนาบเชิงซ้อนกัน

ขอผมวาด ตรงนี้

ขอผมวาดแกนจินตภาพ

แกนจินตภาพของเรา และตรงนี้

ขอผมวาดแกนจริงนะ

แกนจริงตรงนี้ แล้วลอง

ลองดูเราวาดมันให้สูงถึง

บวก 2 ในแกนจริง และต่ำถึงลบ 5

ตามแกนจริง ลองไป 1, 2, 3, 4, 5

1, 2, 3, 4, 5

ตามแกนจินตภาพ เราไปสูงถึงบวก

3 และลงไปถึงลบ 1

เราทำได้ 1, 2, 3 และเราทำ

1, 2, 3 และแน่นอน ผมวาด

ต่อได้เพื่อให้มีขีดสวยงาม ถึงแม้ว่าเรา

จะไม่ต้องใช้ระนาบส่วนนั้น

ลองพลอตสองจุดนี้กัน

ส่วนจริงของ z คือ 2 แล้วเรามี

3 คูณ i ส่วนจินตภาพจึงเป็น 3

เราก็ไปตรงนี้

นี่คือ 2 และนี่คือ 3 ตรงนี้

2 บวก 3i ค่านั่นตรงนั้นคือ z

ทีนี้ลองพลอต w, w คือลบ 5

1, 2, 3, 4, 5, ลบ 5

ลบ i นี่ก็คือลบ 1 ตรงนี้

ลบ i, นั่นคือ w

อย่างแรก เราคิดถึงระยะห่างระหว่างจำนวน

เชิงซ้อนสองตัวนี้ ระยะบนระนาบเชิงซ้อน

วิธีคิดอย่างหนึ่งคือว่า มันก็แค่

ระยะของเส้นตรงนี่ตรงนี้

และเพื่อหาค่านั้น เราก็แค่คิด

ถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ถ้าคุณเคยได้ยินสูตรระยะห่างในสองมิติ

มันก็แค่การใช้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ลองคิดกันสักหน่อย

เราคิดถึงปริมาณที่เราเปลี่ยนไป

ตามแกนจริง ซึ่งก็คือระยะนี่ตรงนี้

นี่คือปริมาณที่เราเปลี่ยนไปตามแกนจริง

และถ้าเราไปจาก w ถึง z เราจะไปจาก

ลบ 5 ตามแกนจริงถึง 2

แล้ว 2 ลบลบ 5 เป็นเท่าใด?

มันคือ 7 ถ้าเราไป 5 หน่วยถึง 0

ตามแกนจริง แล้วไปอีก 2 ถึงได้ 2

ความยาวนี่ตรงนี้จึงเท่ากับ 7

แล้วความยาวของด้านนี่ตรงนี้เป็นเท่าใด?

ตามแกนนอน เราจะไปจาก

ลบ 1 ถึง 3 ระยะนี่ตรงนี้จึงเป็น 4

เราจึงใช้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้

นี่คือสามเหลี่ยมมุมฉาก ระยะ

จึงเท่ากับระยะนี้

สมมุติว่านี่คือ x ตรงนี้

x กำลังสองจะเท่ากับ 7 กำลังสอง

นี่ก็แค่ทฤษฏีบทพีทาโกรัส บวก 4 กำลังสอง

บวก 4 กำลังสอง หรือเราบอกได้ว่า x เท่ากับ

รากที่สองของ 49 บวก 16

ผมแค่เขียนออกมาจะได้ไม่ข้ามขั้นไป

49 บวก 16 แล้วมันจะเท่ากับอะไร?

นั่นคือ 65 แล้ว x ใช่แล้ว 59 บวกอีก 6 ได้ 65

x เท่ากับรากที่สองของ 65

ทีนี้ลองดู 65 แยกตัวประกอบไม่ได้

มันไม่มีตัวประกอบใดเป็นกำลังสองสมบูรณ์ตรงนี้

นี่ก็แค่ 13 คูณ 5

เราจึงปล่อยมันไว้อย่างนั้นได้

x เท่ากับรากที่สองของ 65 ระยะห่าง

ในระนาบเชิงซ้อนระหว่างจำนวนเชิงซ้อนสองตัวนี้

รากที่สองของ 65 ซึ่งผมคิดว่า
มันมากกว่า 8 นิดหน่อย

แล้วจำนวนเชิงซ้อนที่

อยู่กึ่งกลางระหว่างสองตัวนี้พอดีล่ะ?

เพื่อหาค่านั้น เราแค่ต้อง

หาว่าจำนวนใดมีส่วนจริง

เป็นกึ่งกลางระหว่างส่วนจริงสองตัวนี้

และจำนวนใดมีส่วนจินตภาพ

เป็นกึ่งกลางระหว่างส่วนจินตภาพสองตัวนี้

ถ้าเรามี สมมุติว่าจำนวนเชิงซ้อนนั่น

ลองเรียกมันว่า a คือจุดกึ่งกลาง มันเป็นส่วนจริง

จะเท่ากับค่าเฉลี่ยของจำนวนสองตัวนี้

มันจะเท่ากับ 2 บวกลบ 5

2 บวกลบ 5 ส่วน 2, ส่วน 2,

และส่วนจินตภาพของมันจะเท่ากับค่าเฉลี่ย

ของจำนวนสองตัวนี้ ได้บวก บวก 3 ลบ 1

3 ลบ 1, ลบ 1, ส่วน 2 คูณ i

แล้วอันนี้เท่ากับ ลองดู 2 บวกลบ 5

ได้ลบ 3 ค่านี้จึงเป็นลบ 3/2 บวก

นี่คือ 3 ลบ 1 ได้ลบ ได้ลบ 2

ส่วน 2 ลองดู 3 ขอผมตรวจว่ามันถูกต้องไหม

3 ค่าเฉลี่ย 3 ลบ 1 เป็น 2

หารด้วย 2 เป็น 1, 3 บวก 3

ลบ 3/2 บวก i คือจุดกึ่งกลางระหว่างสองตัวนั้น

และถ้าเราพลอตมัน เราจะทดสอบได้ว่า
มันถูกต้องจริงไหม

ส่วนจริง ลบ 3/2, นั่นคือลบ 1

ลบ 1 กับอีกครึ่ง จะอยู่ตรงนี้

แล้วบวก i มันอยู่ตรงนี้

และผมต้องวาดมันให้ถูกสัดส่วนจริงๆ

แต่อันนี้ดูแล้วถูกต้อง จุดนี่ตรงนี้

จะเป็นจุดกึ่งกลาง