Midpoint and distance on complex plane

Mamy tu dwie liczby zespolone,

liczba z jest równa 2 + 3i,

a liczba w jest równa -5 - i.

To co chcę zrobić w tym filmiku, to zaznaczyć
obie liczby na płaszczyźnie zespolonej,

a potem zastanowić się jaki dystans dzieli te 2
liczby na płaszczyźnie,

i jaka liczba zespolona jest dokładnie
w połowie drogi pomiędzy tymi liczbami.

Inny sposób myślenia o tym to jaka liczba
jest środkiem odcinka pomiędzy tymi liczbami.

Zachęcam do zapauzowania filmiku i zastanowieniu się
nad tym zanim zabiorę się za ten problem.

Wpierw zapiszmy te liczby na płaszczyźnie.

Narysuję tutaj oś urojoną.

To nasza oś urojona. A tutaj narysuję oś rzeczywistą.

Proszę, oś rzeczywista.

Po pierwsze, bedziemy potrzebowali liczby 2 na osi
rzeczywistej.

Oraz aż -5 również na osi rzeczywistej.

Zaznaczmy zatem: 1, 2, 3, 4, 5.

1, 2, 3, 4, 5.

Na osi urojonej będziemy musieli mieć 3.

Oraz -1.

Zatem zaznaczam na osi: 1, 2, 3.

I tutaj: 1, 2, 3.

Oczywiście mogę dorysować więcej znaczników,
ale nie będziemy korzystać

z wiekszej części płaszczyzny.

Teraz zaznaczymy te 2 punkty.

Część rzeczywista liczby z jest 2.

Część urojona jest 3.

Zatem liczba z znajduje się tutaj.

Tutaj mamy 2, i tutaj 3i.

2 + 3i, tak jak powiedziałem.

Teraz zaznaczymy w.

W to -5 - i.

1, 2, 3, 4, 5. -5 - i.

Tutaj mamy -1. Zatem -i, czyli tutaj jest w.

Zastanówmy się wpierw nad odległością
pomiędzymi dwiema liczbami zespolonymi.

Odległość na płaszczyźnie zespolonej.

Jednym ze sposobów myslenia o niej
jest długość tego odcinka.

Żeby go policzyć, moglibyśmy po prostu
skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

Jeśli znacie wzór na długość odcinka w dwóch
wymiarach,

to jest to tak naprawdę zastosowanie
twierdzenia Pitagorasa.

Pomyślmy chwilę. Możemy rozważyć jak duża

jest różnica na osi rzeczywistej ; czyli długość tego
odcinka.

To jest jak dużą różnicę mamy na osi rzeczywistej.

Jeśli idziemy od w do z, to pokonujemy drogę z -5 na osi
rzeczywistej,

do 2 na osi rzeczywistej. Jaka jest różnica liczb 2 i -5 ?
Odpowiedź to 7.

Mamy odległość od -5 do zera 5, i dalej do dwójki
odległość 2.

Długość całego odcinka to zatem 7.

A jaka jest długość tego boku?

Na osi urojonej idziemy od -1 do 3.

Zatem odległość to 4.

Teraz zastosujemy twierdzenie Pitagorasa.

Mamy trójkąt prostokątny. Chcemy policzyć tę odległość,

oznaczmy odcinek przez x.

X^2 bedzie równe 7^2 + 4^2, jest to po prostu wniosek

twierdzenia Pitagorasa.

Inaczej mówiąc, x jest równe pierwiastkowi z 49 + 16.

Zapiszę to na tablicy.

49 plus 16.

Ile to wynosi? 65.

Zatem x jest równe pierwiastek z 65.

Zatem x jest równe pierwiastek z 65.

Nie możemy niestety uprościć tego pierwiastka.

65 to 13 razy 5. Musimy na razie zostawić to w tej
postaci.

X jest równe pierwiastkowi z 65.

Odległość na płaszczyźnie zespolonej pomiędzy
tymi dwoma liczbami to pierwiastek z 65.

Co jest równe trochę ponad 8.

Zatem jak znaleźć liczbę która jest dokladnie
w połowie pomiędzy tymi dwoma liczbami?

Cóż, musimy znaleźć liczbę której część rzeczywista
jest w połowie pomiędzy tymi częściami rzeczywistymi.

Podobnie ta liczba musi mieć część urojoną
w połowie pomiędzy częściami urojonymi.

Mamy zatem pewną liczbę zespoloną, dalej
będziemy nazywać ją punktem środkowym.

Jej część rzeczywista to będzie średnia
tych dwóch liczb.

Zatem mamy 2 + (-5). Całość jescze musimy
podzielić przez 2 (bo liczymy średnią).

Jej część urojona to bedzie średnia tych dwóch liczb.

Zatem 3 - 1. Podzielone na 2 oraz pomnożone przez i.

Tutaj mamy 2 - 5 = -3.

Zatem mamy -3/2 dodać

3 - 1 = -2 podzielone przez 2,

jeszcze tylko się upewnię że nie zrobiłem
błędu.

Liczę średnią: 3 - 1 = 2 podzielone przez 2 daje 1.

Czyli mamy -3/2 + i jako punkt środkowy.

Z wykresu widać, że ten wynik ma sens.

Tutaj mamy część rzeczywistą, -3/2.

I jeszcze cześć urojoną, 1.

Oczywiście nie narysowałem idealnego
wykresu,

ale widać że wyliczona przez nas liczba rzeczywiście
powinna być punktem środkowym.