Midpoint and distance on complex plane

Имаме две комплексни числа.

Числото z, равно на 2 + 3i,

и числото w, равно на –5 – i.

В това видео искам

най-напред да ги начертая
в комплексната равнина

и после да намеря разстоянието

между тези две числа в равнината,

също и комплексното число, което
е точно по средата между тях,

числото, което се намира

точно по средата между тях.

Приканвам те да оставиш
видеото на пауза

и да помислиш самостоятелно.

Най-напред да начертаем числата

в комплексната равнина.

Това е имагинерната ос,

начертах я тук,

а това е реалната ос.

Първо ще помисля

как ще разположа числата.

По реалната ос
имам стойности от 2 до –5:

отмервам 5 единици надясно

и 5 единици наляво.

По имагинерната ос имам

най-много +3
и най-малко –1.

Отмервам по 3 единици

нагоре и надолу,

и ще разграфя и малко нагоре,

макар и да не използвам
тази част на равнината.

Сега да начертаем
двете числа.

Реалната част на z е 2

и имаме 3i,
значи имагинерната му част е 3.

Стигаме до тази точка.

Тя е с координати (2;3),
2 + 3i.

Тази точка е числото z.

Сега да начертаем числото w.

Реалната му част е –5.

То има –i, това отговаря
на имагинерна част –1.

Числото w е в точката (–5;–1).

Нека първо помислим
за разстоянието между тези

две комплексни числа
в комплексната равнина.

Можеш да си го представиш като

дължината на тази отсечка тук.

Можем да я изчислим

чрез питагоровата теорема.

Формулата за разстояние
в двумерна система

е директно приложение

на питагоровата теорема,
но да помислим за това.

Промяната по реалната ос

е това разстояние тук,
тя показва колко единици разлика

имат двете числа по реалната ос.

Като се движим от w към z,
се придвижваме по реалната ос

от –5 до 2.

Колко е 2 минус –5?

Това е 7:
имаме 5 единици да достигнем нулата

по реалната ос
и после още 2.

Дължината на червената
отсечка е 7.

Колко е дължината
на другия катет на триъгълника?

По имагинерната ос
се придвижваме

от –1 до 3,
това прави разстояние от 4 единици.

Сега можем да приложим
питагоровата теорема.

Това е правоъгълен триъгълник

и търсеното разстояние
е равно на хипотенузата му.

Да я обозначим с х:

х на квадрат е равно
на 7 на квадрат + 4 на квадрат,

това е просто
питагоровата теорема.

Нашето х е равно
на корен квадратен

от 49 плюс 16.

Ще го разпиша,
за да не пропускам стъпки.

Колко е 49 + 16?

Това е 65:
имам 49 плюс 10 плюс още 6.

Х е равно на
корен квадратен от 65.

Можем да разложим 65
на прости множители.

Но в него няма точни квадрати,

то е 13 по 5

и можем да го оставим така.

Х е разстоянието
между тези две

комплексни числа
на комплексната равнина

и е равно на корен от 65,
което е малко повече от 8.

Сега да потърсим
комплексното число,

което се намира
по средата между тези две.

Това е число,

което има реална част

между тези две реални части

и имагинерна част

между тези две
имагинерни части.

Това също ще е комплексно число,

нека го наречем а,

неговата реална част
е средното на тези две числа:

то е 2 плюс –5,

делено на две.

Имагинерната му част
е средното

на тези две числа: 3 и –1.

Тя е 3 – 1 делено на 2. Имам и i.

Това е равно на

2 плюс –5 е –3,
значи реална част –3/2,

а това е 3 – 1

върху 2
за имагинерната част,

нека проверя отново,
3 и –1 прави 2, върху 2,

това е числото 1.

Числото между тези две
е –3/2 + i.

Ще потвърдим дали е логично
като го начертаем.

Реалната му част е –3/2:
това е минус 1 и още

половин единица,
това е тук.

Плюс един път по i,
числото е тук.

Трябва да съм напълно
точен в мащаба,

но това изглежда добре

като средна точка.