Hvorfor Afstand er Arealet under Hastighed-Tid linien

Forstå hvorfor afstand er arealet under hastighed-tid linien

Lad os tilføje noget der bevæger sig med en konstant hastighed på 5 m/s

og vi antager at den flytter sig til højre

bare for at give os en retning, fordi dette er en vektor størrelse

så det flytter sig i den her retning, lige derovre

Og lad mig plotte dens hastighed mod tid

så dette er min hastighed

Jeg har faktisk tænkt mig at kun at plotte størrelsen af hastighed

og du kan angive dette sådan her: ||v||

så dette er størrelsen af hastigheden

Og derefter, på denne akse, vil jeg plotte tiden

Så vi har en konstant hastighed på 5 m/s

så dens størrelse er 5 m/s, og det er konstant, den forandrer det ikke

som sekunder tæller, ændrer hastigheden sig ikke

Så den flytter sig bare 5 m/s

Nu spørger jeg dig: hvor langt flytter denne ting sig efter 5 sekunder?

Så efter 5 sekunder, så dette er 1s...2s...3s...4S...5S... lige herovre

Så hvor langt flyttede denne ting sig efter 5 sekunder

Godt kan vi tænke på det på to måder

1) Vi ved, at hastighed er lig med forskydning over ændringen i tid

og forskydning er bare ændring i position

så dette er ændring i position over ændring i tid

eller 2) en anden måde at tænke på det, hvis du ganger begge sider af ændring i tid

du få hastighed gange ændring i tid, er lig med forskydning

Så hvad var forskydningen herovre?

Jeg ved godt hvad hastigheden er, det er 5 m/s

5 m/s, der er hastigheden (Lad mig farvekode dette)

Og vi ved, hvad ændringen i tid her er, det er 5 sekunder

og så du får... sekunderne går ud med sekunder...

du får 5 * 5 = 25 meter

Og det er ret ligetil

men det lidt mere interessante er

er at det er præcis området under dette rektangel lige herovre

Og det jeg vil vise dig i denne video

det er generelt, hvis du plotter hastighed, størrelsen af hastighed

... .so du kunne sige hastighed kontra tid...

eller lad mig bare holde mig til *størrelsen af den hastigheden* kontra tid

arealet under den kurve vil være den tilbagelagte afstand (eller forskydningen)

fordi forskydning er bare hastigheden gange ændringen i tid

så hvis du bare skærer et rektangel ud, lige derovre

Så lad mig tegne en lidt anderledes udgave hvor hastigheden ændres

så lad mig tegne en anden situation, hvor du har en konstant acceleration

acceleration herovre kommer til at være 1 m/s/s, så 1 m/s ^ 2

og lad mig tegne den samme type graf

(selv om det kommer til at se lidt anderledes ud nu)

Så dette er min hastigheds akse

(Jeg giver mig selv en lille smule mere plads)

Så dette er min hastigheds akse

Jeg vil lige tegne størrelsen af hastigheden

og dette herovre er min tids-akse

så dette er tid, lad mig tegne nogle ting op her

så...1... 2... 3... 4... 5... 6... 7... 8... 9... 10

og...1... 2... 3... 4... 5... 6... 7... 8... 9... 10

og størrelsen af hastigheden skal måles i m/s

og tiden vil blive målt i sekunder

Så hvad kommer der til at ske her?

Under forudsætning af, at vi starter med...

så min oprindelige hastighed, eller jeg kunne sige, at størrelsen af min oprindelige hastighed

så min oprindelige fart, kunne man sige, det er bare en smart måde at sige min oprindelige fart...

.. .er nul

Så min oprindelige fart er 0

så efter 1 sekund, hvad kommer der til at ske?

Efter 1 sekund, kører jeg 1 m/s hurtigere

så nu kører jeg med 1 m/s. Efter 2 sekunder, hvad er der sket?

Altså nu kører jeg endnu en 1 m/s hurtigere end det

Efter endnu et sekund, hvis jeg går frem i tiden

hvis ændringen i tid er 1 sekund, så kører jeg et sekund hurtigere end det

Og hvis du kan huske idéen om hældning fra din Algebra 1 klasse

Det er præcis hvad acceleration er, i dette diagram lige herovre

Vi ved at acceleration er lig med... ændring i hastighed over ændring i tid

herovre er ændring i tid langs x-aksen

så det herovre er en ændring i tid

og det herovre er en ændring i hastighed

Når vi plotter hastighed (eller størrelsen af hastighed) i forhold til tid

hældningen af denne linie er acceleration

og da vi antager at accelerationen er konstant

har vi en konstant hældning

så vi har bare en linje her, vi har ikke en kurve

Nu vil jeg finde på en situation

Lad os sige, at vi accelererer med 1 m/s^2...og vi gør det for

så ændringen i tid vil være 5 sekunder

og mit spørgsmål til dig er: hvor langt er vi rejst?

Hvilket er et smule mere interessant spørgsmål end hvad vi hidtil har spurgt om

Så starter vi med en oprindelig hastighed på 0

og i 5 sekunder, accelererer vi med 1 m/s ^ 2

så 1... 2... 3... 4... 5... så det er her vi er

så efter 5 sekunder, kender vi vores hastighed

vores hastighed er nu 5 m/s

Men hvor langt har vi rejst?

Vi kan tænke på det en smule mere visuelt

Vi kunne sige, altså, vi kunne prøve at tegne rektangler herovre

Vi var på, måske over her havde vi en hastighed på 1 m/s

så hvis jeg siger 1 m/s gange et sekund, vil det give mig en lille smule afstand...

og ved den næste vil jeg have en lille smule mere afstand...

beregnet på samme måde. Jeg kunne blive ved med at tegne disse rektangler her

Men tænker du...Vent! De rektangler er der ikke...

fordi jeg var ikke... under hele sekundet...Kørte jeg ikke kun 1 m/s...

Jeg *blev ved med at* accelererer, så faktisk skulle jeg måske opdele rektanglerne

Jeg kunne opdele rektanglerne endnu mere

Måske, hver halve sekund

så på dette halve sekund, kørte jeg med denne hastighed

og jeg kørte med denne hastighed i et halvt sekund

hastighed gange tiden vil give mig forskydningen

og så jeg gør det for den næste halve sekund

nøjagtigt samme idé her, det vil give mig forskydningen

så videre og så videre

Jeg tror, det man får ud af det...

er at jo mindre rektangler du forsøger at lave her

jo tættere kommer du på at få arealet under kurven

Og ligesom situationen her, kommer dette areal under kurven til at være den rejste afstand

og heldigt for os, kommer det bare til at være en trekant

og vi ved, hvordan vi finder frem til arealet for en trekant

så arealet af en trekant = (1/2) * grundlinje * højde

som forhåbentlig giver mening for dig

fordi hvis du bare ganger grundlinjen * højde

får du arealet for hele rektanglet, og trekanten er præcis halvdelen af det

Så den rejste afstand i denne situation

eller skulle jeg sige forskydningen

fordi vi vil være sikre på at vi fokuserer på vektorer

forskydningen her kommer til at være

(eller jeg skulle sige størrelsen af forskydningen... hvilket er det samme som afstanden)

kommer til at være 1/2 gange grundlinjen... som er 5 sekunder

gange højden... hvilket er 5 meter per sekund

.. .gange 5 m/s (Lad mig skrive det i en anden farve)

sekunderne går ud med sekunder

og vi står tilbage med (1/2) * 5 * 5 meter

så det er (1/2) * 25, hvilket svarer til 12,5 meter

og der er en interessant ting her

der er et par interessante ting

forhåbentlig indser du, at hvis du plotter hastighed kontra tid

1) arealet under kurven, givet en vis mængde tid, fortæller dig, hvor langt du har rejst

2) den anden interessante ting er, at hældningen af kurven fortæller du din acceleration

Hvad er hældningen herovre (venstre)?

Altså, den er helt flad, og det er fordi at hastigheden ikke ændres

så i denne situation, har vi en konstant acceleration

størrelsen af den acceleration er præcist nul

vores hastighed ændrer sig ikke

her (højre) har vi en acceleration på 1 m/s ^ 2

og det er derfor hældningen af denne linie herovre er 1

en anden interessant ting er, at selv om du har konstant acceleration

kan du stadig finde ud af afstanden ved bare at tage arealet under kurven... sådan

så vi kan regne ud... vi var i stand til at få 12,5 meter

Den sidste ting, jeg vil gerne introducere dig til...

(faktisk, lad mig gøre det i den næste video)

og jeg vil præsentere dig idéen om *gennemsnitlig hastighed*

nu, hvor vi er bekvemmelige med idéen om at

afstanden du rejste er arealet under denne hastighed-kontra-tid kurve