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Inverse Trig Functions: Arctan

  • 0:00 - 0:01
    上次課
  • 0:01 - 0:04
    上次課我講到如果有人走過來
  • 0:04 - 0:10
    向你請教arcsin
  • 0:10 - 0:13
    arcsin x=？
  • 0:13 - 0:16
    就等同於-
  • 0:16 - 0:19
    等同於
  • 0:19 - 0:23
    sin ?=x
  • 0:23 - 0:24
    上個例子我們在不同
  • 0:24 - 0:25
    情況下進行了求解
  • 0:25 - 0:28
    根據模板 寫出來
  • 0:28 - 0:31
    可以重寫爲反正弦函數
  • 0:31 - 0:34
    sin-1 x=?
  • 0:34 - 0:35
    意義是相同的
  • 0:35 - 0:38
    反正弦函數的兩種表示方法
  • 0:38 - 0:40
    這就是反正弦函數
  • 0:40 - 0:42
    不是-1次方
  • 0:42 - 0:44
    求的是sin值
  • 0:44 - 0:45
    問號
  • 0:45 - 0:47
    x對應的角度是多少？
  • 0:47 - 0:48
    這是上次課所講的內容
  • 0:48 - 0:50
    類似的
  • 0:50 - 0:53
    如果在街道上我走過來
  • 0:53 - 0:58
    請教tan
  • 0:58 - 1:02
    tan-1 x=？
  • 1:02 - 1:04
    你們應該馬上反應過來
  • 1:04 - 1:06
    他是在問
  • 1:06 - 1:09
    什麽角度的正切值
  • 1:09 - 1:11
    等於x
  • 1:11 - 1:13
    只需要得到這個角度值
  • 1:13 - 1:15
    舉個例子
  • 1:15 - 1:17
    在街道上我走過來
  • 1:17 - 1:20
    很多人在街道上行走
  • 1:20 - 1:23
    向你請教
  • 1:23 - 1:28
    arctan -1等於多少？
  • 1:28 - 1:30
    等同於問
  • 1:30 - 1:33
    tan-1(-1)等於多少？
  • 1:33 - 1:34
    本質相同
  • 1:34 - 1:37
    你們應該做的是-
  • 1:37 - 1:39
    如果沒有記住結果
  • 1:39 - 1:40
    就需要畫出單位圓
  • 1:40 - 1:43
    先來複習一下
  • 1:43 - 1:44
    什麽是tan
  • 1:44 - 1:46
    tanθ
  • 1:46 - 1:49
    這是tan函數
  • 1:49 - 1:51
    而不是反函數
  • 1:51 - 1:53
    等於sinθ
  • 1:53 - 1:57
    除以cosθ
  • 1:57 - 2:00
    sinθ是縱坐標值
  • 2:00 - 2:01
    在單位函數（口誤）
  • 2:01 - 2:03
    在單位圓上
  • 2:03 - 2:05
    cosθ是橫坐標值
  • 2:05 - 2:08
    如果畫一條直線
  • 2:08 - 2:10
    畫出單位圓
  • 2:10 - 2:13
    像這樣
  • 2:13 - 2:17
    對於某個角度
  • 2:17 - 2:20
    設爲θ
  • 2:20 - 2:26
    坐標爲(x,y)
  • 2:26 - 2:29
    我們知道y
  • 2:29 - 2:31
    等於sinθ
  • 2:31 - 2:33
    移動一點
  • 2:33 - 2:34
    sinθ
  • 2:34 - 2:35
    我們知道
  • 2:35 - 2:38
    x等於cosθ
  • 2:38 - 2:40
    tan等於什麽呢？
  • 2:40 - 2:45
    等於這段距離
  • 2:45 - 2:47
    除以這段距離
  • 2:47 - 2:50
    從代數角度講 很耳熟
  • 2:50 - 2:52
    因爲是從原點出發
  • 2:52 - 2:56
    y軸的變化除以x軸的變化 或者說
  • 2:56 - 2:59
    縱向變化除以橫向變化
  • 2:59 - 3:02
    tanθ也可以理解成
  • 3:02 - 3:04
    也確實是直線的斜率
  • 3:04 - 3:05
    斜率
  • 3:05 - 3:08
    可以寫成斜率
  • 3:08 - 3:11
    等於tanθ
  • 3:11 - 3:13
    這些要記住
  • 3:13 - 3:15
    現在舉個例子
  • 3:15 - 3:19
    如果問你 重寫一遍
  • 3:19 - 3:23
    tan-1(-1)等於多少？
  • 3:23 - 3:24
    也可以寫爲
  • 3:24 - 3:27
    arctan -1等於多少？
  • 3:27 - 3:30
    也就是說單位圓上什麽角度
  • 3:30 - 3:31
    對應斜率爲-1
  • 3:31 - 3:33
    畫出單位圓
  • 3:33 - 3:37
    單位圓像這樣
  • 3:37 - 3:43
    畫出坐標軸
  • 3:43 - 3:45
    爲使斜率爲-1
  • 3:45 - 3:49
    斜率爲-1 像這樣
  • 3:50 - 3:53
    如果這樣斜率爲+1
  • 3:53 - 3:54
    這個角度是多少？
  • 3:54 - 3:58
    爲使斜率爲-1
  • 3:58 - 4:00
    這兩段距離相等
  • 4:00 - 4:03
    你們應該已經意識到
  • 4:03 - 4:04
    這是直角
  • 4:04 - 4:06
    這兩個角相等
  • 4:06 - 4:09
    所以是45°45°90°三角形
  • 4:09 - 4:11
    等腰三角形
  • 4:11 - 4:12
    兩個角之和是90°
  • 4:12 - 4:13
    而且相等
  • 4:13 - 4:15
    所以是45°45°90°
  • 4:15 - 4:18
    如果已知45°45°90°
  • 4:18 - 4:20
    實際上 不需要知道邊長
  • 4:20 - 4:21
    在前面的影片中
  • 4:21 - 4:24
    我們知道 在這裡
  • 4:24 - 4:28
    這段距離是√2/2
  • 4:28 - 4:31
    y軸坐標爲
  • 4:31 - 4:33
    -√2/2
  • 4:33 - 4:35
    這裡的坐標值
  • 4:35 - 4:38
    x軸坐標爲√2/2
  • 4:38 - 4:41
    這兩段距離相等
  • 4:41 - 4:43
    √2/2的平方加
  • 4:43 - 4:46
    √2/2的平方等於1的平方
  • 4:46 - 4:48
    最重要的是認識到
  • 4:48 - 4:50
    這是45°45°90°三角形
  • 4:50 - 4:53
    這個角
  • 4:53 - 4:57
    單獨看這個三角形
  • 4:57 - 4:59
    這個角是45°
  • 4:59 - 5:04
    因爲是沿逆時鍾方向在x軸下面
  • 5:04 - 5:09
    所以是-45°角
  • 5:09 - 5:13
    那麽tan-45° 寫在下面
  • 5:13 - 5:15
    在角度制下
  • 5:15 - 5:17
    這更符合一般思維習慣
  • 5:17 - 5:23
    那麽tan-45°
  • 5:23 - 5:27
    等於這個負值
  • 5:27 - 5:30
    -√2/2除以√2/2
  • 5:30 - 5:31
    等於-1
  • 5:31 - 5:36
    或者寫爲arctan-1
  • 5:36 - 5:39
    等於-45°
  • 5:39 - 5:41
    如果用弧度制
  • 5:41 - 5:42
    只需要化爲弧度
  • 5:42 - 5:45
    乘以
  • 5:45 - 5:50
    π弧度除以180°
  • 5:50 - 5:51
    消去角度
  • 5:51 - 5:54
    得到45/180
  • 5:54 - 5:55
    4倍的關係
  • 5:55 - 5:58
    等於
  • 5:58 - 6:02
    -π/4弧度
  • 6:02 - 6:05
    所以arctan-1
  • 6:05 - 6:11
    等於-π/4 或者說
  • 6:11 - 6:14
    tan-1（-1）=-π/4
  • 6:14 - 6:15
    現在可以說
  • 6:15 - 6:18
    如果是-π/4 在這裡
  • 6:18 - 6:19
    不錯
  • 6:19 - 6:22
    得到結果爲-1
  • 6:22 - 6:23
    因爲這條直線的斜率爲-1
  • 6:23 - 6:25
    但是可以沿單位圓
  • 6:25 - 6:27
    累加2π
  • 6:27 - 6:29
    加上2π
  • 6:29 - 6:31
    仍然得到
  • 6:31 - 6:33
    如果求其tan值
  • 6:33 - 6:35
    仍然得到-1
  • 6:35 - 6:37
    再加上2π 仍然
  • 6:37 - 6:39
    得到-1
  • 6:39 - 6:42
    如果是這一點
  • 6:42 - 6:44
    其正切值也是-1
  • 6:44 - 6:46
    斜率是相同的
  • 6:46 - 6:49
    就像在反正弦函數那次課上講的
  • 6:49 - 6:51
    不存在
  • 6:51 - 6:52
    一對多映射的函數
  • 6:52 - 6:58
    tan-1(x)不能映射一係列
  • 6:58 - 7:00
    不同的取值
  • 7:00 - 7:04
    不能同時映射-π/4
  • 7:04 - 7:09
    或者是映射3π/4
  • 7:09 - 7:10
    怎麽寫呢
  • 7:10 - 7:15
    應該是2π-π/4
  • 7:15 - 7:16
    或4π-π/4
  • 7:16 - 7:18
    不能映射這些不同的值
  • 7:18 - 7:20
    所以需要對反正切函數
  • 7:20 - 7:22
    限定取值範圍
  • 7:22 - 7:25
    和對反正弦函數
  • 7:25 - 7:29
    限定取值範圍的處理方法相似
  • 7:29 - 7:30
    限定在第一和
  • 7:30 - 7:33
    第四象限
  • 7:33 - 7:35
    那麽反正切函數值
  • 7:35 - 7:37
    一般在這兩個象限之內
  • 7:37 - 7:40
    但是不能取這兩個點
  • 7:40 - 7:42
    因爲正切函數在π/2
  • 7:42 - 7:47
    和-π/2處取值爲無窮
  • 7:47 - 7:48
    因爲斜率是垂直的
  • 7:48 - 7:50
    x軸值爲0
  • 7:50 - 7:53
    除以- cosθ趨於0
  • 7:53 - 7:55
    相除的話爲無窮
  • 7:55 - 8:00
    取值範圍- 寫在下面
  • 8:00 - 8:02
    tan-1(x)
  • 8:02 - 8:04
    得到
  • 8:04 - 8:06
    正切取值範圍是什麽？
  • 8:06 - 8:11
    如果寫成tanθ=x
  • 8:11 - 8:13
    x可以取到
  • 8:13 - 8:14
    哪些值呢？
  • 8:14 - 8:17
    斜率可以取到所有的值
  • 8:17 - 8:19
    斜率值任意
  • 8:19 - 8:22
    所以x取值從-∞
  • 8:22 - 8:24
    到+∞
  • 8:24 - 8:27
    x可以取任意值
  • 8:27 - 8:29
    那麽θ呢？
  • 8:29 - 8:30
    剛才說過
  • 8:30 - 8:34
    θ只能從-π/2
  • 8:34 - 8:35
    取到π/2
  • 8:35 - 8:37
    而且不包括π/2
  • 8:37 - 8:38
    和-π/2
  • 8:38 - 8:39
    因爲其對應斜率垂直x軸
  • 8:39 - 8:41
    那麽
  • 8:41 - 8:43
    如果是討論tan
  • 8:43 - 8:44
    而不是反正切
  • 8:44 - 8:49
    tan的定義域
  • 8:49 - 8:51
    有多重取值
  • 8:51 - 8:53
    所以不這樣講
  • 8:53 - 8:55
    如果是反正切函數
  • 8:55 - 8:57
    就不用考慮一對多的映射
  • 8:57 - 8:59
    希望排除這些值
  • 8:59 - 9:02
    將θ限定在 範圍是
  • 9:02 - 9:06
    -π/2＜θ
  • 9:06 - 9:10
    θ＜π/2
  • 9:10 - 9:14
    限定在這個範圍
  • 9:14 - 9:16
    不包括這兩個點
  • 9:16 - 9:18
    就可以得到唯一解
  • 9:18 - 9:19
    當問到什麽角度的
  • 9:19 - 9:22
    正切值對應斜率爲-1？
  • 9:22 - 9:24
    和這個問題是一樣的
  • 9:24 - 9:25
    有唯一解
  • 9:25 - 9:27
    因爲如果 這一點在取值範圍之外
  • 9:27 - 9:29
    顯然沿圓周移動
  • 9:29 - 9:33
    這些都落在之前限定的θ
  • 9:33 - 9:34
    取值範圍之外
  • 9:34 - 9:38
    驗證一下計算結果
  • 9:38 - 9:40
    結果是π/4
  • 9:40 - 9:42
    用計算器求一下
  • 9:42 - 9:50
    tan-1(-1)等於
  • 9:50 - 9:53
    看一下是不是等於-π/4
  • 9:53 - 9:58
    -π/4等於
  • 9:58 - 9:59
    確實是-π/4
  • 9:59 - 10:01
    不借助計算器
  • 10:01 - 10:03
    就很難看出來
  • 10:03 - 10:06
    這個數值就是-π/4
Title:
Inverse Trig Functions: Arctan
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
10:07

Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles

Revisions

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