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Inverse Trig Functions: Arctan

  • 0:00 - 0:00
  • 0:00 - 0:03
    지난 영상에서
  • 0:03 - 0:06
    누군가가 여러분에게 다가와
  • 0:06 - 0:10
    arcsin x가 뭔지 묻는다면
  • 0:10 - 0:13
    arcsin x가 뭔지 묻는다면
  • 0:13 - 0:16
    이 값은 어떤 값과 같게 됩니다
  • 0:16 - 0:20
    이는 각도의 sin 값이
  • 0:20 - 0:22
    x라는 것과 같습니다
  • 0:22 - 0:26
    이전 예제에서 몇 가지
    유형들을 풀었습니다
  • 0:26 - 0:28
    같은 방법으로 풀어봅시다
  • 0:28 - 0:32
    이 등식을 sin-1(x) = ?라고
    쓸 수도 있습니다
  • 0:32 - 0:34
    이 등식을 sin-1(x) = ?라고
    쓸 수도 있습니다
  • 0:34 - 0:35
    두 식은 같습니다
  • 0:35 - 0:37
    sin 역함수를 쓰는
    두 가지 방법입니다
  • 0:37 - 0:40
    이것은 sin의 역함수입니다
  • 0:40 - 0:41
    -1을 곱하면 안됩니다
  • 0:41 - 0:45
    ?의 값은 어떻게 될까요
  • 0:45 - 0:47
    어떤 각도에서 x와 같아질까요?
  • 0:47 - 0:48
    우리는 이전 영상에서
    해결했습니다
  • 0:48 - 0:52
    같은 방법으로 길에서
  • 0:52 - 0:55
    제가 여러분에게 다가와서
  • 0:55 - 1:02
    tan-1(x)이 무엇과 같냐고 물었습니다
  • 1:02 - 1:04
    그러면 여러분은
  • 1:04 - 1:10
    어떤 각의 tan값이 x가 되냐고
    묻고 있다는 것을 알아야 합니다
  • 1:10 - 1:13
    저는 이 각도를 구하고자 합니다
  • 1:13 - 1:15
    예제를 풀어봅시다
  • 1:15 - 1:17
    제가 길에서 여러분에게
    온다 합시다
  • 1:17 - 1:20
    먼 길을 걸어왔다 합시다
  • 1:20 - 1:24
    제가 여러분에게
  • 1:24 - 1:28
    arctan^-1의 값이 얼마인가요?
  • 1:28 - 1:30
    또는 이렇게 물어볼 수 있습니다
  • 1:30 - 1:33
    tan-1(-1)의 값이 얼마인가요?
  • 1:33 - 1:35
    같은 질문입니다
  • 1:35 - 1:37
    이제 여러분은 머릿속에서
  • 1:37 - 1:40
    외우지 못하겠다면
    단위원을 그립니다
  • 1:40 - 1:43
    tan 함수에 대해서
  • 1:43 - 1:44
    복습해봅시다
  • 1:44 - 1:49
    tanΘ는
  • 1:49 - 1:53
    이건 보통 함수로
    tan의 역함수가 아닙니다
  • 1:53 - 1:57
    이는 sinΘ/cosΘ와 같습니다
  • 1:57 - 2:01
    sinΘ는 단위원에서의 y값이고
  • 2:01 - 2:03
    단위원에서입니다
  • 2:03 - 2:07
    cosΘ는 x값입니다
  • 2:07 - 2:09
    여러분이 선을 그으면
  • 2:09 - 2:11
    여기에 단위원을 그리겠습니다
  • 2:11 - 2:15
    단위원을 그려보면
  • 2:15 - 2:18
    각도를 하나 정합시다
  • 2:18 - 2:21
    이 각도를 Θ라 합시다
  • 2:21 - 2:26
    점의 좌표를 (x,y)라 합시다
  • 2:26 - 2:29
    우리는 이미 y값을 알고 있으며
  • 2:29 - 2:31
    이는 sinΘ입니다
  • 2:31 - 2:33
    화면을 옮기겠습니다
  • 2:33 - 2:34
    sinΘ입니다
  • 2:34 - 2:39
    우리는 이미 x값이
    cosΘ임을 알고 있습니다
  • 2:39 - 2:40
    그렇다면 tan은 어떻게 될까요?
  • 2:40 - 2:47
    높이의 길이/밑변의 길이입니다
  • 2:47 - 2:50
    또는 대수학 1에서
    봤던 것 같은 내용을 쓰겠습니다
  • 2:50 - 2:53
    원점에서 시작하겠습니다
  • 2:53 - 2:56
    이 길이가 ∆y이고
    이 길이는 ∆x입니다
  • 2:56 - 2:59
    ∆y/∆x가 구하려는 기울기입니다
  • 2:59 - 3:02
    그림에서 tanΘ는
  • 3:02 - 3:05
    이 선분의 기울기입니다
  • 3:05 - 3:06
    기울기입니다
  • 3:06 - 3:12
    즉 기울기가 tanΘ와
    같다고 쓸 수 있습니다
  • 3:12 - 3:14
    이 사실은 문제를 풀 때
    다시 언급하겠습니다
  • 3:14 - 3:19
    여기에 쓰겠습니다
  • 3:19 - 3:23
    tan-1(-1)은 얼마일까요?
  • 3:23 - 3:24
    이것과도 같습니다
  • 3:24 - 3:26
    arctan-1은 얼마일까요?
  • 3:26 - 3:29
    제가 묻는 것은 단위원에서
  • 3:29 - 3:31
    어떤 각도에서 기울기가
    -1이 되는가입니다
  • 3:31 - 3:35
    단위원을 그립시다
  • 3:35 - 3:38
    단위원을 그리겠습니다
  • 3:38 - 3:43
    축을 정하겠습니다
  • 3:43 - 3:44
    기울기가 -1이
    되기를 원합니다
  • 3:44 - 3:46
    기울기가 -1이면
  • 3:46 - 3:50
    이런 형태가 됩니다
  • 3:50 - 3:52
    이런 형태였다면
    기울기는 +1이 됩니다
  • 3:52 - 3:56
    이 각의 크기는 얼마일까요?
  • 3:56 - 3:59
    기울기가 -1이 되기 위해서는
  • 3:59 - 4:01
    두 선분의 길이가
    같아야 합니다
  • 4:01 - 4:04
    이미 아시겠지만
    이 각은 직각입니다
  • 4:04 - 4:06
    따라서 두 각의 크기가 같습니다
  • 4:06 - 4:09
    45 45 90 삼각형이 됩니다
  • 4:09 - 4:11
    이등변삼각형입니다
  • 4:11 - 4:13
    두 각을 합해서 90도가 되고
    크기가 같아야 합니다
  • 4:13 - 4:15
    즉 45 45 90 삼각형이 됩니다
  • 4:15 - 4:19
    직각이등변삼각형임을 알면
  • 4:19 - 4:20
    변의 길이를 알 필요가 없습니다
  • 4:20 - 4:22
    이전 영상에서
  • 4:22 - 4:24
    우리는 길이를 구했습니다
  • 4:24 - 4:28
    이 거리는 √2/2입니다
  • 4:28 - 4:32
    따라서 이 점의 y좌표는
  • 4:32 - 4:33
    -√2/2입니다
  • 4:33 - 4:36
    이 점의 x좌표는
  • 4:36 - 4:40
    √2/2인데 왜냐하면
  • 4:40 - 4:41
    두 변의 길이가 같기 때문입니다
  • 4:41 - 4:43
    (√2/2)^2 + (√2/2)^2는
  • 4:43 - 4:46
    1의 제곱과 같습니다
  • 4:46 - 4:48
    중요한 것은 이 삼각형이
  • 4:48 - 4:51
    직각이등변삼각형임을
    이해하는 것입니다
  • 4:51 - 4:55
    따라서 이 각도의 크기는
  • 4:55 - 4:58
    여러분이 삼각형을 보면
  • 4:58 - 4:59
    45도라고 할 것입니다
  • 4:59 - 5:04
    x축에 대해 시계방향으로 회전했으므로
  • 5:04 - 5:09
    -45도라고 하겠습니다
  • 5:09 - 5:14
    즉 tan -45는
  • 5:14 - 5:15
    각도는 도 단위입니다
  • 5:15 - 5:17
    보통 이렇게 접근합니다
  • 5:17 - 5:25
    tan -45도는 음수, 즉
  • 5:25 - 5:30
    -√2/2 / √2/2이며
  • 5:30 - 5:31
    이는 -1과 같습니다
  • 5:31 - 5:37
    또는 arctan-1이
  • 5:37 - 5:39
    -45도와 같다고 쓸 수 있습니다
  • 5:39 - 5:41
    우리는 라디안 단위로
    풀어야 하므로
  • 5:41 - 5:42
    라디안으로 바꿔줍시다
  • 5:42 - 5:48
    π라디안/180도를 곱해서
  • 5:48 - 5:50
    단위를 바꿔줍니다
  • 5:50 - 5:52
    도 단위는 지워집니다
  • 5:52 - 5:54
    즉 45/180를 얻습니다
  • 5:54 - 5:55
    1/4이 됩니다
  • 5:55 - 5:58
    - 부호에 유의합시다
  • 5:58 - 6:02
    -π/4라디안을 얻습니다
  • 6:02 - 6:06
    따라서 arctan-1은
    -π/4와 같습니다
  • 6:06 - 6:14
    tan-1(-1) 역시 -π/4와 같습니다
  • 6:14 - 6:15
    이렇게 말할 수 있습니다
  • 6:15 - 6:18
    -π/4 위치에 있다면
    이 점일 것입니다
  • 6:18 - 6:19
    좋습니다
  • 6:19 - 6:21
    이 직선의 기울기가 -1이므로
  • 6:21 - 6:23
    -1을 얻을 수 있습니다
  • 6:23 - 6:25
    하지만 시계 반대방향으로 계속 가면
  • 6:25 - 6:27
    이 각에 2π를 더합니다
  • 6:27 - 6:31
    아마 2π를 더해도
    같은 값을 얻을 것입니다
  • 6:31 - 6:33
    새로운 각의 tan값을 구하면
  • 6:33 - 6:35
    -1이 됩니다
  • 6:35 - 6:39
    2π를 다시 더해도
    -1이 얻어집니다
  • 6:39 - 6:42
    이 점에서 생각해봅시다
  • 6:42 - 6:44
    tan값은 여전히 -1인데
  • 6:44 - 6:46
    기울기가 같기 때문이죠
  • 6:46 - 6:49
    앞서 sin 역함수
    영상에서 말했듯이
  • 6:49 - 6:52
    치역이 여러 개인 함수는
    존재하지 않습니다
  • 6:52 - 6:58
    tan-1(x)는 한 값에서
    여러 값들을
  • 6:58 - 7:00
    치역으로 가질 수 없습니다
  • 7:00 - 7:03
    따라서 π/4가 될 수 없습니다
  • 7:03 - 7:09
    -3π/4가 될 수도 없습니다
  • 7:09 - 7:10
    -3π/4가 될 수도 없습니다
  • 7:10 - 7:14
    2π - π/4가 될 수도 없고
  • 7:14 - 7:16
    4π - π/4가 될 수도 없습니다
  • 7:16 - 7:19
    함수는 서로 다른 치역을
    동시에 가질 수 없습니다
  • 7:19 - 7:21
    즉 tan의 역함수의
  • 7:21 - 7:22
    치역 범위를 제한해야 합니다
  • 7:22 - 7:26
    sin 역함수의 치역을 제한한 것처럼
  • 7:26 - 7:29
    치역의 범위를 정합니다
  • 7:29 - 7:33
    치역의 범위를
    1,4사분면으로 제한합니다
  • 7:33 - 7:36
    즉 tan 역함수에서의 답은
  • 7:36 - 7:37
    이 두 사분면에서 얻어집니다
  • 7:37 - 7:40
    하지만 이 두 점은
    범위에서 제외됩니다
  • 7:40 - 7:45
    왜냐하면 tan 함수가
    π/2와 -π/2에서
  • 7:45 - 7:46
    정의되지 않기 때문이죠
  • 7:46 - 7:48
    기울기가 수직선이 됩니다
  • 7:48 - 7:50
    x의 변화량이 0입니다
  • 7:50 - 7:53
    cosΘ는 0이 됩니다
  • 7:53 - 7:56
    0인 값으로 나누면
    정의가 되지 않습니다
  • 7:56 - 8:00
    즉 치역은
  • 8:00 - 8:03
    tan-1(x)에 대해서
  • 8:03 - 8:06
    tan 함수가 갖는
    값은 어떻게 될까요?
  • 8:06 - 8:12
    tanΘ가 x와 같다고 하면
  • 8:12 - 8:14
    x가 가질 수 있는 값에는
    어떤 것이 있을까요?
  • 8:14 - 8:17
    기울기로 가능한 모든 값입니다
  • 8:17 - 8:19
    어떤 값이든지 기울기가
    될 수 있습니다
  • 8:19 - 8:23
    따라서 x는 -∞와 +∞ 사이의
  • 8:23 - 8:25
    어떤 값이든지 될 수 있습니다
  • 8:25 - 8:27
    x는 어떤 값이든 될 수 있습니다
  • 8:27 - 8:29
    그렇다면 Θ는 어떨까요?
  • 8:29 - 8:30
    이미 말했습니다
  • 8:30 - 8:34
    Θ는 -π/2와 π/2 사이에서만
  • 8:34 - 8:35
    값을 가지도록 제한되어 있습니다
  • 8:35 - 8:38
    -π/2와 π/2는 포함되지 않습니다
  • 8:38 - 8:40
    기울기가 수직이 되기 때문이죠
  • 8:40 - 8:42
    이제 저는 평범한
  • 8:42 - 8:43
    탄젠트 함수를 다루겠습니다
  • 8:43 - 8:44
    역함수 말고요
  • 8:44 - 8:51
    탄젠트 함수의 정의역은
  • 8:51 - 8:53
    어떤 값이든지 될 수 있습니다
  • 8:53 - 8:56
    탄젠트 역함수에서는
  • 8:56 - 8:57
    1에서 여러 개의 치역을
    가질 수 없습니다
  • 8:57 - 8:59
    이 값들은 지워버립니다
  • 8:59 - 9:04
    Θ, 즉 치역의 범위를
  • 9:04 - 9:10
    -π/2부터 π/2로 제한합니다
  • 9:10 - 9:14
    치역의 범위를 양끝점을 제외한
  • 9:14 - 9:16
    값들로 제한할 것입니다
  • 9:16 - 9:18
    그러면 단 하나의 답을 얻습니다
  • 9:18 - 9:22
    어떤 값의 tan값이
    -1이 될까요?
  • 9:22 - 9:24
    이미 대답한 질문입니다
  • 9:24 - 9:25
    답은 오직 1개입니다
  • 9:25 - 9:28
    원을 계속 돌다보면
  • 9:28 - 9:29
    tan값이 -1이 되는 값을
    찾을 수 있겠지만
  • 9:29 - 9:35
    치역의 범위에 포함되지 않습니다
  • 9:35 - 9:38
    답이 맞는지 확인해봅시다
  • 9:38 - 9:40
    구하는 값은 π/4입니다
  • 9:40 - 9:42
    계산기를 써서 확인해봅시다
  • 9:42 - 9:50
    tan-1(-1)은 이 값이 됩니다
  • 9:50 - 9:53
    -π/4와 같은지 확인해봅시다
  • 9:53 - 9:58
    -π/4는 이 값이 됩니다
  • 9:58 - 9:59
    -π/4입니다
  • 9:59 - 10:02
    계산기를 쓰지 않고
    구한 것은 성과인데
  • 10:02 - 10:06
    이 숫자가 -π/4라는 것을
    알기 어렵기 때문입니다
Title:
Inverse Trig Functions: Arctan
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
10:07

Korean subtitles

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