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围绕垂直线旋转的剥壳法求解体积 | AP微积分AB | 可汗学院

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    函数y等于x减去3的平方，
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    乘以x减去1
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    我们要做的，是把函数
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    位于x等于1和x等于3之间
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    上方的部分旋转
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    x等于3和x等于0显然
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    是使得函数值为0，这里
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    我们把这个区域
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    围绕着y轴旋转
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    如果我这么做，会得到一个形状
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    看上去像这样
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    我们要算出它的体积
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    我们要用一个新方法来求解
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    我们称之为 剥壳法
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    我们使用剥壳法的原因是--
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    你可能会说，以前，
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    我们也把曲线围绕着一条垂直的线
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    我们使用圆盘法
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    我们把所有的都写成y的函数
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    等等
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    我们创建了所有的这些圆盘
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    计算每个圆盘的体积
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    但是问题是，它们
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    很难用y的函数来表达
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    在这里你如何清晰地用y表示？
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    所以，我们换成用x来表示
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    然后用不同的几何方法来视觉呈现
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    我们是如何计算体积的
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    我们将想象，
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    不是构建出圆盘，而是不同层的壳
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    我所说的壳是什么意思？
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    对于区间的每个x，在这个切面上，
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    我们可以构建出一个长方形
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    如果我们把这个长方形旋转会怎样？
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    所以，这里是个长方形
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    如果我们把它和其它部分一起来围绕y轴来转，
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    结果会怎样？
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    我尽量画出来
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    它看上去应该像这样
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    这个有些挑战我的绘图能力
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    大概是这样
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    它看上去和这里的这个
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    不会太不同
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    看上去像一个中空的筒状物
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    我想，这个就是我们称之为壳的原因
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    它有一定的深度
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    深度为dx
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    高度，这里，
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    就是我们的函数值
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    高度就是f(x)
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    在本题中，f(x)是x减去3的平方，乘以x减去1
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    我们如何计算像这样的一个圆筒的体积？
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    如果我们算出圆筒的周长，
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    然后用面积周长乘以高，
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    基本上，我们就
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    算出了筒状物的
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    外缘的面积
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    然后如果我们把圆筒外缘的面积乘以
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    无限小的深度
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    然后就可以得到体积
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    我不应该说筒，而应该说壳
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    我们来做一下
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    这个壳的周长是多少？
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    其中的一个壳，它的周长是多少？
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    它应该是2 pi 乘以壳的半径
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    我们要把它用x的函数来表达
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    是多少？
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    应该是2pi
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    然后，对于一个指定的x，它的半径是多少?
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    这里的半径应该是它介于
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    y轴和对应x之间的水平距离
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    所以，也就是x
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    所以，本例中，周长
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    应该是2 pi乘以x
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    现在，对于任何一个壳来说，高度是多少？
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    高度是f(x)
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    就是这里
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    那么，外缘的表面积是多少？
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    我们把它放到引号里面，围绕外缘的表面积
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    我们现在先不要操心深度，dx
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    我不是很担心上面和下面的部分
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    我们现在只关注围绕外缘的表面积
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    外缘的表面积
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    等于是周长乘以高
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    得到2 pi x乘以f(x)
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    在本题中，
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    我们目前在这里
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    它等于是2 pi x 乘以x 减去3的平方，
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    乘以x减去1
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    现在，体积是多少？
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    壳的体积，
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    等于所有的这些，乘以dx
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    所以是2 pi x，乘以 f(x) 再乘dx
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    现在，我们准备好了可以在这个区间积分了
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    整个形状的体积
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    它是一个定积分
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    我们将这个区间内的所有x计算积分
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    从x等于1到x等于3
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    我们可以把2pi提取到前面
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    我们把2pi放前面
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    在积分里面，是x乘以
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    f(x)，就是这块
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    它等于x乘以x减去3的平方乘以
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    乘以x减去1
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    然后，当然，有一个dx
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    就是这个
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    使用剥壳法，我们建立了一个定积分
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    来求解这里这个
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    奇怪形状的体积
Title:
围绕垂直线旋转的剥壳法求解体积 | AP微积分AB | 可汗学院
Description:

介绍一种通过剥壳法求解围绕垂直线旋转的体积。可汗学院创建

现在开始在可汗学院KhanAcademy.org上自行练习本课程：https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-applications-definite-integrals/ab-shell-method/e/volumes-of-solids-of-revolution-by-shells?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB
观看下一节课：https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-applications-definite-integrals/ab-shell-method/v/evaluating-integral-for-shell-method-example?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB
错过上一节课？https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-applications-definite-integrals/ab-washer-method/v/evaluating-integral-for-washer-method-around-vertical-line?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

可汗学院上的AP微积分AB：在马塞诸塞州安多福（Andover）的菲利普斯学院（Phillips Academy）里，Bill Scott 用可汗学院来教AP微积分，同时他也是开发可汗学院AP课程的教学团队的一员。菲利普斯学院是60年前第一批提供AP课程的学校之一。

关于可汗学院：可汗学院是一家非营利组织，其使命是为任何地方的任何人提供免费的世界级教育。 我们认为，各个年龄段的学习者都应该可以无限制地访问他们可以按照自己的进度掌握的免费教育内容。 我们使用智能软件，深度数据分析和直观的用户界面来帮助世界各地的学生和教师。 我们的资源涵盖从早期大学教育到学前教育，包括数学，生物学，化学，物理学，经济学，金融，历史，语法等。 我们与测试开发者学院董事会合作提供免费的个性化SAT考试准备。 可汗学院已被翻译成数十种语言，全球每年有1亿人使用我们的平台。 有关更多信息，请访问www.khanacademy.org，在Facebook上加入我们，或在Twitter上@khanacademy关注我们。 记住，您可以学到任何东西。

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
05:33

Chinese, Simplified subtitles

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