0:00:00.740,0:00:03.720
函数y等于x减去3的平方，

0:00:03.720,0:00:05.370
乘以x减去1

0:00:05.370,0:00:08.390
我们要做的，是把函数

0:00:08.390,0:00:10.480
位于x等于1和x等于3之间

0:00:10.480,0:00:13.130
上方的部分旋转

0:00:13.130,0:00:15.400
x等于3和x等于0显然

0:00:15.400,0:00:18.530
是使得函数值为0，这里

0:00:18.530,0:00:22.760
我们把这个区域

0:00:22.760,0:00:25.120
围绕着y轴旋转

0:00:25.120,0:00:27.460
如果我这么做，会得到一个形状

0:00:27.460,0:00:28.760
看上去像这样

0:00:28.760,0:00:31.880
我们要算出它的体积

0:00:31.880,0:00:34.480
我们要用一个新方法来求解

0:00:34.480,0:00:37.487
我们称之为 剥壳法

0:00:37.487,0:00:39.820
我们使用剥壳法的原因是--

0:00:39.820,0:00:41.236
你可能会说，以前，

0:00:41.236,0:00:43.450
我们也把曲线围绕着一条垂直的线

0:00:43.450,0:00:44.550
我们使用圆盘法

0:00:44.550,0:00:46.445
我们把所有的都写成y的函数

0:00:46.445,0:00:47.320
等等

0:00:47.320,0:00:48.360
我们创建了所有的这些圆盘

0:00:48.360,0:00:50.440
计算每个圆盘的体积

0:00:50.440,0:00:52.710
但是问题是，它们

0:00:52.710,0:00:55.980
很难用y的函数来表达

0:00:55.980,0:00:59.830
在这里你如何清晰地用y表示？

0:00:59.830,0:01:02.040
所以，我们换成用x来表示

0:01:02.040,0:01:05.129
然后用不同的几何方法来视觉呈现

0:01:05.129,0:01:06.746
我们是如何计算体积的

0:01:06.746,0:01:08.620
我们将想象，

0:01:08.620,0:01:11.820
不是构建出圆盘，而是不同层的壳

0:01:11.820,0:01:13.780
我所说的壳是什么意思？

0:01:13.780,0:01:19.770
对于区间的每个x，在这个切面上，

0:01:19.770,0:01:22.400
我们可以构建出一个长方形

0:01:22.400,0:01:25.010
如果我们把这个长方形旋转会怎样？

0:01:25.010,0:01:29.030
所以，这里是个长方形

0:01:29.030,0:01:33.460
如果我们把它和其它部分一起来围绕y轴来转，

0:01:33.460,0:01:36.740
结果会怎样？

0:01:36.740,0:01:38.430
我尽量画出来

0:01:38.430,0:01:43.480
它看上去应该像这样

0:01:43.480,0:01:45.130
这个有些挑战我的绘图能力

0:01:45.130,0:01:46.750
大概是这样

0:01:46.750,0:01:50.260
它看上去和这里的这个

0:01:50.260,0:01:52.420
不会太不同

0:01:52.420,0:01:54.930
看上去像一个中空的筒状物

0:01:54.930,0:01:56.720
我想，这个就是我们称之为壳的原因

0:01:56.720,0:01:58.200
它有一定的深度

0:01:58.200,0:01:59.525
深度为dx

0:02:08.294,0:02:09.669
高度，这里，

0:02:09.669,0:02:11.950
就是我们的函数值

0:02:11.950,0:02:12.960
高度就是f(x)

0:02:12.960,0:02:17.030
在本题中，f(x)是x减去3的平方，乘以x减去1

0:02:17.030,0:02:21.620
我们如何计算像这样的一个圆筒的体积？

0:02:21.620,0:02:28.570
如果我们算出圆筒的周长，

0:02:28.570,0:02:31.870
然后用面积周长乘以高，

0:02:31.870,0:02:33.970
基本上，我们就

0:02:33.970,0:02:36.890
算出了筒状物的

0:02:36.890,0:02:38.220
外缘的面积

0:02:38.220,0:02:40.730
然后如果我们把圆筒外缘的面积乘以

0:02:40.730,0:02:43.660
无限小的深度

0:02:43.660,0:02:45.080
然后就可以得到体积

0:02:45.080,0:02:47.714
我不应该说筒，而应该说壳

0:02:47.714,0:02:48.630
我们来做一下

0:02:48.630,0:02:51.630
这个壳的周长是多少？

0:02:55.560,0:02:58.150
其中的一个壳，它的周长是多少？

0:02:58.150,0:03:02.950
它应该是2 pi 乘以壳的半径

0:03:02.950,0:03:05.130
我们要把它用x的函数来表达

0:03:05.130,0:03:06.810
是多少？

0:03:06.810,0:03:08.720
应该是2pi

0:03:08.720,0:03:11.210
然后，对于一个指定的x，它的半径是多少?

0:03:11.210,0:03:15.150
这里的半径应该是它介于

0:03:15.150,0:03:18.540
y轴和对应x之间的水平距离

0:03:18.540,0:03:20.120
所以，也就是x

0:03:20.120,0:03:21.590
所以，本例中，周长

0:03:21.590,0:03:26.560
应该是2 pi乘以x

0:03:26.560,0:03:33.580
现在，对于任何一个壳来说，高度是多少？

0:03:33.580,0:03:37.100
高度是f(x)

0:03:37.100,0:03:38.710
就是这里

0:03:38.710,0:03:42.920
那么，外缘的表面积是多少？

0:03:42.920,0:03:47.830
我们把它放到引号里面，围绕外缘的表面积

0:03:50.690,0:03:53.007
我们现在先不要操心深度，dx

0:03:53.007,0:03:55.340
我不是很担心上面和下面的部分

0:03:55.340,0:03:58.237
我们现在只关注围绕外缘的表面积

0:03:58.237,0:03:59.820
外缘的表面积

0:03:59.820,0:04:01.778
等于是周长乘以高

0:04:01.778,0:04:07.670
得到2 pi x乘以f(x)

0:04:07.670,0:04:09.516
在本题中，

0:04:09.516,0:04:10.890
我们目前在这里

0:04:10.890,0:04:17.920
它等于是2 pi x 乘以x 减去3的平方，

0:04:17.920,0:04:19.630
乘以x减去1

0:04:19.630,0:04:21.250
现在，体积是多少？

0:04:21.250,0:04:26.690
壳的体积，

0:04:26.690,0:04:31.680
等于所有的这些，乘以dx

0:04:31.680,0:04:38.670
所以是2 pi x，乘以 f(x) 再乘dx

0:04:38.670,0:04:41.850
现在，我们准备好了可以在这个区间积分了

0:04:41.850,0:04:46.190
整个形状的体积

0:04:46.190,0:04:48.020
它是一个定积分

0:04:48.020,0:04:50.436
我们将这个区间内的所有x计算积分

0:04:50.436,0:04:58.480
从x等于1到x等于3

0:04:58.480,0:05:00.220
我们可以把2pi提取到前面

0:05:00.220,0:05:02.730
我们把2pi放前面

0:05:02.730,0:05:05.970
在积分里面，是x乘以

0:05:05.970,0:05:09.910
f(x)，就是这块

0:05:09.910,0:05:17.000
它等于x乘以x减去3的平方乘以

0:05:17.000,0:05:18.700
乘以x减去1

0:05:18.700,0:05:22.715
然后，当然，有一个dx

0:05:22.715,0:05:23.590
就是这个

0:05:23.590,0:05:26.740
使用剥壳法，我们建立了一个定积分

0:05:26.740,0:05:31.320
来求解这里这个

0:05:31.320,0:05:33.020
奇怪形状的体积