Shell method for rotating around vertical line | AP Calculus AB | Khan Academy
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0:00 - 0:01함수 y=(x-3)²×(x-1)이 있습니다
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0:01 - 0:04함수 y=(x-3)²×(x-1)이 있습니다
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0:04 - 0:05함수 y=(x-3)²×(x-1)이 있습니다
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0:05 - 0:08구하고 싶은 것은
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0:08 - 0:10이 함수의 x=1부터 x=3부분까지의 부분을
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0:10 - 0:13회전시킨 것입니다
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0:13 - 0:15이 식에서 x=3이고 x=1일 때는
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0:15 - 0:19함수를 0으로 만드는 값들입니다
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0:19 - 0:23이렇게 생긴 영역을
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0:23 - 0:25y축에 대해 회전시켜 봅시다
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0:25 - 0:27회전시키면
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0:27 - 0:29이런 모양을 얻을 수 있습니다
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0:29 - 0:32이 모양의 부피를 구해봅시다
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0:32 - 0:34여기서 사용할 방법은
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0:34 - 0:37원주각 방법이라는 새로운 방법입니다
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0:37 - 0:40원주각 방법을 사용하는 이유는
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0:40 - 0:41예전에 배울 때는
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0:41 - 0:43수직선에 대해 회전시켰고
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0:43 - 0:45디스크 방법을 사용했습니다
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0:45 - 0:46모든 식을 y에 대한 함수로 표현했죠
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0:46 - 0:47모든 식을 y에 대한 함수로 표현했죠
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0:47 - 0:48모두 디스크 형태로 표현했습니다
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0:48 - 0:50그리고 각 디스크에 대해 부피를 구했고요
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0:50 - 0:53하지만 여기서 문제는
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0:53 - 0:56함수를 y에 대해 표현하기 어렵다는 것입니다
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0:56 - 1:00이 식을 어떻게 y만으로 표현할 수 있나요?
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1:00 - 1:02따라서 그 대신에 식을 x에 대한 항으로 남기고
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1:02 - 1:05다른 기하학적 시각화 방법으로
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1:05 - 1:07부피를 구해보자 합니다
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1:07 - 1:09디스크를 만드는 과정 대신에
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1:09 - 1:12껍질을 만드는 과정을 상상해 봅시다
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1:12 - 1:14껍질은 무엇을 뜻할까요?
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1:14 - 1:20적분 구간의 각 x 구간을 잘라
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1:20 - 1:22사각형을 만들 수 있습니다
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1:22 - 1:25이 사각형을 회전시키면 어떻게 될까요?
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1:25 - 1:29여기 이 직사각형입니다
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1:29 - 1:33이 모든 사각형을 y축을 따라서 회전시킨다면 어떻게 될까요?
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1:33 - 1:37이 모든 사각형을 y축을 따라서 회전시킨다면 어떻게 될까요?
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1:37 - 1:38최대한 그려보겠습니다
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1:38 - 1:43최대한 그려보겠습니다
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1:43 - 1:45이런 식으로 보이겠죠
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1:45 - 1:47이런 식으로 보이겠죠
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1:47 - 1:50왼쪽 그림과는 전혀 다른 모양입니다
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1:50 - 1:52왼쪽 그림과는 전혀 다른 모양입니다
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1:52 - 1:55마치 속이 빈 원기둥처럼 보입니다
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1:55 - 1:57그게 바로 이를 껍질이라고
부르는 이유일 겁니다 -
1:57 - 1:58껍질은 약간의 깊이를 가질 것이고
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1:58 - 2:00그 깊이는 dx 정도가 됩니다
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2:00 - 2:08그 깊이는 dx 정도가 됩니다
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2:08 - 2:10그리고 이 높이는 함숫값이 될 것입니다
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2:10 - 2:12그리고 이 높이는 함숫값이 될 것입니다
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2:12 - 2:13높이는 f(x)입니다
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2:13 - 2:17이 경우에서 f(x)=(x-3)²×(x-1)입니다
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2:17 - 2:22이런 원기둥 모양의 부피를 어떻게 알아낼까요?
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2:22 - 2:29만약 원기둥의 둘레를 알고 있다면
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2:29 - 2:32둘레에 원기둥의 높이를 곱하면 됩니다
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2:32 - 2:34둘레에 원기둥의 높이를 곱하면 됩니다
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2:34 - 2:37원기둥의 겉넓이를 구할 수 있다면
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2:37 - 2:38원기둥의 겉넓이를 구할 수 있다면
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2:38 - 2:41원기둥의 겉넓이에 미소 깊이를 곱해주어
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2:41 - 2:44원기둥의 겉넓이에 미소 깊이를 곱해주어
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2:44 - 2:45원기둥의 부피를 구할 수 있습니다
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2:45 - 2:48이제 원기둥가 아닌 껍질이라 부릅시다
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2:48 - 2:49이제 원기둥가 아닌 껍질이라 부릅시다
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2:49 - 2:52껍질의 둘레는 얼마입니까?
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2:52 - 2:56껍질의 둘레는 얼마입니까?
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2:56 - 2:58한 껍질의 둘레는 얼마나 될까요?
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2:58 - 3:03둘레는 껍질의 반지름의 2π배 만큼의 값을 가집니다
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3:03 - 3:05x에 대한 함수로 나타내 보죠
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3:05 - 3:07어떤 식으로 표현될까요?
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3:07 - 3:09처음에는 2π를 곱하고
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3:09 - 3:11주어진 x에 대해 반지름은 어떻게 표현될까요?
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3:11 - 3:15반지름은 각 x에 대해 y축과 떨어진 수평 거리인
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3:15 - 3:19반지름은 각 x에 대해 y축과 떨어진 수평 거리인
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3:19 - 3:20x입니다
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3:20 - 3:22따라서 이 경우의 둘레는
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3:22 - 3:272π×x입니다
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3:27 - 3:34이제 많은 껍질 중 어느 값이 높이가 될까요?
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3:34 - 3:37높이는 f(x)가 됩니다
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3:37 - 3:39바로 여기 f(x)입니다
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3:39 - 3:43껍질 외부 겉넓이는 어떻게 될까요?
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3:43 - 3:48"외부" 표면적 넓이로 표기합시다
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3:48 - 3:51"외부" 표면적 넓이로 표기합시다
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3:51 - 3:53지금은 깊이 dx에 대해 생각하지 말고
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3:53 - 3:55상단 부분과 하단 부분에 대해서도 생각하지 맙시다
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3:55 - 3:58그저 겉넓이에 대해서만 생각합시다
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3:58 - 4:00즉 겉넓이는
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4:00 - 4:02원주에 높이를 곱한 값이 됩니다
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4:02 - 4:08즉 2π×x×f(x)입니다
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4:08 - 4:10그리고 이 상황에서는
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4:10 - 4:11그리고 이 상황에서는
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4:11 - 4:182π×x×(x-3)²×(x-1)로 표현됩니다
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4:18 - 4:202π×x×(x-3)²×(x-1)로 표현됩니다
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4:20 - 4:21부피는 어떻게 될까요?
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4:21 - 4:27껍질의 부피는
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4:27 - 4:32이 식 전체에 dx를 곱한 값이 됩니다
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4:32 - 4:392π×x×f(x)×dx입니다
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4:39 - 4:42자 이제 적분할 준비가 다 됐습니다
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4:42 - 4:46따라서 전체 모양의 부피는
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4:46 - 4:48정적분이 될 것입니다
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4:48 - 4:50모든 간격의 x에 대해 적분합시다
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4:50 - 4:58x=1부터 x=3까지 모두 더해봅시다
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4:58 - 5:002π를 적분 기호 앞으로 꺼내고
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5:00 - 5:032π를 적분 기호 앞으로 꺼내고
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5:03 - 5:06적분 기호 안쪽에는
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5:06 - 5:10x×f(x)가 있습니다
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5:10 - 5:17즉 x×(x-3)²×(x-1)이고
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5:17 - 5:19즉 x×(x-3)²×(x-1)이고
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5:19 - 5:23그 뒤에 dx를 가지고 있습니다
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5:23 - 5:24그 뒤에 dx를 가지고 있습니다
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5:24 - 5:27원주각 방법을 이용해
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5:27 - 5:31이상한 모양의 부피를
정적분식으로 표현했습니다 -
5:31 - 5:32이상한 모양의 부피를
정적분식으로 표현했습니다 -
5:32 - 5:34커넥트 번역 봉사단 |
- Title:
- Shell method for rotating around vertical line | AP Calculus AB | Khan Academy
- Description:
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- Video Language:
- English
- Team:
- Khan Academy
- Duration:
- 05:33
Daniel Hollas edited Korean subtitles for Shell method for rotating around vertical line | AP Calculus AB | Khan Academy | ||
Fran Ontanaya edited Korean subtitles for Shell method for rotating around vertical line | AP Calculus AB | Khan Academy | ||
Fran Ontanaya edited Korean subtitles for Shell method for rotating around vertical line | AP Calculus AB | Khan Academy |